高等代数-6.4基变换与坐标变换

3）若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1,2 , ,n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
( 1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )B 则有，( 1, 2 , , n ) ((1,2 , ,n ) A)B
下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn ) 与 ( x1 , x2 , , xn ) ，
§6.4 基变换与坐标变换
即，
(1, 2 ,
x1
,
n
)
x2
与
(1, 2 ,
xn
x1 a11 a12
则
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n x1 a2n x2
练习：已知 P 22 的两组基：
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵，
过渡矩阵．其中
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.
解：∵
1 1 2
2
2
n
§6.4 基变换与坐标变换
④
比较③ 、④两个等式，有
§6.4 基变换与坐标变换
(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )BA
(1,2 , ,n ) (1,2 , ,n ) AB 1,2 , ,n; 1, 2 , , n 都是线性无关的,
AB BA E. 即，A是可逆矩阵,且A－1＝B.
反过来，设 A (aij )nn 为P上任一可逆矩阵，
2
,3
,
4
)
(
1
,
2
,
3
,
4
)
1 0 1
1 2 2
1 1 2
3
1 2
从而有
1 1 1 11 2 0 2 1
(1
,
2
,
3
,4
)
(1
,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
1 1 1 11 2 0 2 1
(1
,2
,3
,4
)
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
引入
我们知道，在n维线性空间V中，任意n个线性 无关的向量都可取作线性空间V的一组基．V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的坐 标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要知 道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系，即 随着基的改变，向量的坐标是如何变化的.
证明：若 1,2 , ,n; 1, 2 , , n 为V的两组基,
且由基 1,2 , ,n到1, 2 , , n 的过渡矩阵为A，
即 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
③
又由基 1, 2 , , n到1,2 , ,n 也有一个过渡矩阵,
设为B，即 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n )B
的过渡矩阵，其中
1 (1,2,1,0) 2 (1,1,1,1) 3 (1,2,1,1) 4 (1,1,0,1)
1 (2,1,0,1) 2 (0,1,2,2) 3 (2,1,1,2) 4 (1,3,1,2)
§6.4 基变换与坐标变换
解：设 1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0),
1)1,2 , ,n V ,a1,a2 , ,an ,b1,b2 , ,bn P
(1,2 ,
a1
,
n
)
a2
(1
,
2
,
an
b1
,
n
)
b2
(1
,
2
,
bn
a1 b1
,
n
)
a2
b2
an bn
若1,2 , ,n 线性无关，则
(1,2 ,
a1
,
n
)
a2
(1
,
2
,
n n n
∴(1,2 , 而，(1, 2 ,
,n ) (1, 2, , n ) (1,2 ,
1 0
,
n
)
1 1
1 1
1 0
,n
)
1 1
1 1
0 0 1
0 1 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
(1,2 , ,n ) 0 1 1
0
0 0 0
1
§6.4 基变换与坐标变换
故，由基 1,2, ,n 到基 1,2, ,n 的过渡矩阵为
1, 2 , , n 为V中的两组基，若
,n ；
1
a11 1
a21 2
an1 n
2
a12 1
a22 2
an2 n
①
n a1n1 a2n 2 ann n
即，
§6.4 基变换与坐标变换
(1, 2 ,
, n ) (1, 2 ,
a11 a12
,
n
)
a21
a22
an1 an2
a1n
1 0 0
1 1 0
1 1
1
由基1,2, ,n 到基 1,2, ,n 的过渡矩阵为
1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 0
1
§6.4 基变换与坐标变换
(a1,a2 , ,an )在基 1, 2 , , n下的坐标就是
(a1,a2 , ,an )
设 在基 1,2 , ,n下的坐标为 ( x1, x2 , , xn )，则
an
b1 a1 b1
,
n
)
b2
a2
b2
bn an bn
§6.4 基变换与坐标变换
2) 1,2 , ,n；1, 2 , , n为V中的两组向量，
矩阵 A, B P nn，则
((1,2 ,
(1,2 ,
,n )A)B (1,2, ,n )( AB)；
,n )A1 0
1 11
5
4 2
1 1 0 0 3 8
0 0 0
1 0 0
1 1 0
0
1 1
5 4 2
1 2 2
即A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为(8,1, 2, 2).
§6.4 基变换与坐标变换
3 (0,0,1,0), 4 (0,0,0,1)
则有
1 1 1 1
(1,2
,3
,4
)
(1,
2
,
3
,
4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
或
1 1 1 11
(1,2,3,4 )
(1,2
,3
,4
)
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
，
§6.4 基变换与坐标变换
2 0 2 1
(1
,
ann xn
x1
,
n
)
x2
xn
⑥
x1 a11 a12
或
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n 1 x1
a2n
x2
⑦
ann xn
称⑥或⑦为向量ξ在基变换⑤下的坐标变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
例1 在Pn中，求由基1, 2 , , n 到基1,2 , ,n 的过渡矩阵及由基1,2 , ,n 到基 1, 2 , , n 的
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，1,2, ,n 为
V中的一组向量， V ，若
x11 x22 xnn
则记作
(1,2 ,
x1
,
n
)
x2
xn
§6.4 基变换与坐标变换
2、V为数域 P 上 n 维线性空间，1,2, ,n ；
1, 2, , n 为V中的两组向量，若
2 1 0
1 1 1
2 1 1
1
0 1
1 1
0 1
2 2
1 1 2
3
1 2
§6.4 基变换与坐标变换
1 0 0 1
(1
,2
,3
,4
)
1 0 0
1 1 0
0 1 1
1
1 0
∴由基 1,2,3,4 到基1,2,3,4 的过渡矩阵为
1 0 0 1
1 1 0 1
0 0
1 0
1 1
1 0
§6.4 基变换与坐标变换
并求矩阵 A
3 4
5 2
在基 F11, F12 , F21, F2下2 的矩阵.
§6.4 基变换与坐标变换
解：
F11 E11
F12 F21 F22
E11 E11 E11
E12 E12 E12
E21 E21
E22
1 1 1 1
(
F11
,
F12,
F21
,
F22
)
(
E11
,
E12,
a2n
②
ann
则称矩阵
a11 a12
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
为由基1, 2 , , n到基 1, 2 , , n 的过渡矩阵；
称 ① 或 ② 为由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , , n
的基变换公式．
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
1,2,
,n与1, 2 ,
,
等价.
n
故 1, 2, , n 线性无关，从而也为V的一组基.
并且A就是1,2 , ,n到1, 2 , , n 的过渡矩阵.
2）若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , n 过渡矩阵为A, 则由基1, 2 , , n到基1,2 , ,过n 渡矩阵为A-1.
§6.4 基变换与坐标变换
任取V的一组基 1,2 , ,n ,
n
令 j aiji , j 1,2, , n
i 1
于是有， (1, 2 , , n ) (1,2 ,
, n ) A
§6.4 基变换与坐标变换
由A可逆，有 (1,2, ,n ) (1, 2, , n )A1
即，1,2 , ,n也可由 1, 2 , , n 线性表出.
(1,2 , ,n )( A B)；
(1,2 , ,n ) A (1, 2 , , n ) A
(1 1,2 2 , ,n n ) A ；
若1,2 , ,n 线性无关，则
(1,2 , ,n )A (1,2 , ,n )B A B.
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，1, 2 ,
E21
,
E22
)
0 0 0
1 0 0
1 1
1 0
11
又 A 3E11 5E12, 4E21 2E22
设A在基 F11, F12,F21, F22下的坐标为( x1, x2 , x3 , x4 ),
§6.4 基变换与坐标变换
x1 1 1 1 11 3
则
x2 x3 x4
0 0 0
x1 x2 xn
1 1 0
0
0 1 1
0
0 0 1
0
0 0 0
1
a1 a2 an
a1 a2 a1 an an1
所以 在基 1,2 , ,n 下的坐标为
(a1,a2 a1, ,an an1 )
§6.4 基变换与坐标变换
例2 在P4中，求由基1,2 ,3 ,4到基1,2 ,3 ,4
(1,2 , ,n ) AB
§6.4 基变换与坐标变换
三、坐标变换
1、定义：V为数域P上n维线性空间 1, 2 , , n;
1, 2 , , n 为V中的两组基，且
(1, 2 ,
, n ) (1, 2 ,
a11 a12
,
n
)
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
⑤
ann
设 V且ξ在基 1, 2 , , n与基 1, 2 , , n
1 a111 a212
2
a121
a22 2
n a1n1 a2n2
an1n an2n annn
则记作
(1 , 2 ,
, n ) (1,2 ,
a11 a12
,
n
)
a21
a22
an1 an2
a1n
a2n
ann
§6.4 基变换与坐标变换
注： 在形式书写法下有下列运算规律