【弹塑性力学】5 弹性应力应变关系

• 对于线性弹性材料，应力与应变是线性关系 x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy+ c15yz+ c16zx y =c21x+ c22y+ c23z+ c24xy+ c25yz+ c26zx z =c31x+ c32y+ c33z+ c34xy+ c35yz+ c36zx xy =c41x+ c42y+ c43z+ c44xy+ c45yz+ c46zx yz =c51x+ c52y+ c53z+ c54xy+ c55yz+ c56zx zx =c61x+ c62y+ c63z+ c64xy+ c65yz+ c66zx
E
(1 )(1 2)
纯剪实验
0 xy 0
ij yx 0 0
0
0 0
使用物理方程，xy = 2Gxy，
G xy xy xy 2 xy
G是剪切模量。
• 单轴应变实验
• 有唯一应变分量 11
• 约束模量：
M 11 2G 11
• 各向同性弹性本构关系用其他参数表示：
ij
• 正交各向异性材料
具有三个相互正交的弹性对称面。独立弹性常数减少到9个
x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c22y+ c23z z =c13x+ c23y+ c33z xy = c44xy yz = c55yz zx = c66zx
各种增强纤维复合材料和木材等属于这类材料
• 横观各向同性材料
或者用应力表示为
1
1
W = 2K (0)2+ 2G J2
应变能函数W应是正定的，即W0，
• 应变余能
(ij )
d ij
0 ij ij
• 对任意非线性弹性，应变能和应变余能
之和为 ijij
• 例5-1：对非线性弹性的单轴应力-应变 关系
b n
• n为常数，求 W 与 的比值。
Leabharlann Baidu
W
d ij
0 ij ij
根据能量平衡，单位体积的应变能应是
所以
W
ij dW
0
d ij
0 ij ij
dW=ijdij
对于弹性体，应变能只取决于状态，是应变状态的单值
函数W=W(ij)，应变能增量dW必须是全微分
dW＝ W ij
d ij
于是对于任意的应变增量dij都应成立：
W ij ij
5 本构关系
5.1 弹性应力应变关系
• 5.1.1 一般表示 • 5.1.2 材料对称性 • 5.1.3 各向同性弹性体 • 5.1.4 弹性常数的测定 • 5.1.5 矩阵形式表达 • 5.1.6 弹性应变能
5.1.1 一般表示
• 应力只取决于应变状态，与达到该状态的过程无关 x= x(x，y，z，xy，yz，zx) y= y (x，y，z，xy，yz，zx) ……. zx= zx (x，y，z，xy，yz，zx)
[D]
[D]
E
(1 )(1 2 )
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
对
(1 2 ) / 2
0
0
称
(1 2 ) / 2
0
(1 2 ) / 2
• 平面应力情况
z yz zx 0
x y
xy
E
1
2
1
0
1 0
(1
0 0
)
/
2
x y
xy
z
E
( x
y
)
1
( x
存在一个弹性对称轴，在垂直该轴的平面内材料各向同 性。 将x，y轴互换时，材料弹性关系不变 c11=c22， c13=c23， c55=c66 将坐标系绕z轴旋转450，剪切应力应变关系不变，得 c44=0.5(c11 c12)
x =c11x+ c12y+ c13z y =c12x+ c11y+ c13z z =c13x+ c13y+ c33z xy =0.5(c11 c12) xy yz = c55 yz
zx - zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
-
1 2
xz
y
-
1 2
yz
-
1 2
zy
z
以最后一个方程为例 zx 反号，而x，y，z和xy不变，c61＝c62＝c63＝c64＝0
x =c11x+ c12y+ c13z+ c14xy y =c12x+ c22y+ c23z+ c24xy z =c13x+ c23y+ c33z+ c34xy xy =c14x+ c24y+ c34z+ c44xy yz = c55yz+ c56zx zx = c56yz+ c66zx 13个独立常数
5.1.4 弹性常数的测定
静水压缩实验
11
22
33
1 3
kk
体积模量
K kk / 3 3 2G 2 G
kk
3
3
• 单轴拉伸实验
x 0 0
ij
0
0
0
0 0 0
使用物理关系，有弹性模量和泊松比：
E x G(2G 3)
x
G
相反，有
y x 2(G )
G E 2(1 )
令
c12=， c11 c12=2G 、G称为Lame（拉梅）弹性常数
x=2Gx + y=2Gy + z=2Gz + =x + y + z 是体积应变
xy =Gxy yz = Gyz zx = Gzx
• 广义Hooke定律的张量形式 ij=kkij +2Gij ij =Cijklkl Cijkl=ijkl+G(ikjl+iljk)
0=K 式中 K = (3+2G)/3 是体积变形模量。
• 偏应力与偏应变关系
x=2Gx +
sx+0=2G(ex
+
1 3
)+
将体应力与体应变关系代入：
sx=2Gex 同理可得：
sy=2Gey
sz=2Gez
张量形式表示为
sij = 2Geij 在线弹性范围内，偏应力只产生偏应变，即只产生形 状改变，体积应力只产生体应变，即只产生体积改变 。
y
)
• 平面应变情况（重力坝）
z yz zx 0
x y
xy
(1
E )(1
2
)
1
0
1
0
(1
0 0
2
)
/
2xxyy
yz zx 0, z ( x y )
5.1.6 弹性应变能
• 一维情况
一细长杆，长度L，横截面积S，两端受拉力P作用，伸长 量为L，外力功为
• 即材料弹性不可压缩，如橡胶。
5.1.5 矩阵形式表达
x
x E
y z E
xy
21
E
xy
y
y E
z x
E
yz
21
E
yz
z
z E
x y E
21
zx E zx
[C]
1 0
0
0
1
0
0
0
[C]
1 E
对
1
0
2(1 )
0 0
0
0
称
2(1 ) 0
2(1 )
系数cmn共36个，取决于材料弹性性质，与坐标系选取 有关
• 张量形式表示
ij =Cijklkl 其中Cijkl称为四阶弹性张量，共81个分量。 同样也取 决于坐标系，服从四阶张量的坐标变换定律
• 弹性张量的对称性 （1）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cjikl （2）根据应力张量和应变张量的对称性 Cijkl= Cijlk 独立的分量也是36个。
1 2
C
ijkl
ij
k
l
W=
C12ijklijkl = 12ijij
1
W 2 x x y y zz xy xy yz yz zx zx
E
2 1
1 2
x y z
2
2 x
2 y
2 z
1 2
2 x
y
2 yz
2 zx
• 应变能分解 应变能可分解为体积改变能和形状改变能。
某个面上的剪切应力为零时，剪应变也为零 应力的主方向与应变的主方向重合
• 应变用应力表示
kk=(3+2G)kk
ij
1 2G
ij
ij 2G(3 2G
)
kk
• 体积应力与体积应变关系 将等式对应相加，可得平均应力与体积应变的 关系：
30=(2G+3) 式中0=(x+ y+z)/3是平均应力。
zx = c55 zx
独立的弹性常数减少到5个。例如：层状结构的岩体。
5.1.3 各向同性弹性体
• 广义Hooke定律
将x轴与z轴互换，或将y轴与z轴互换时，材料弹性关 系不变，
c11=c33， c12=c13， c55=c66=0.5(c11 c12) 于是，独立的弹性常数减少到2个
x =c11x+ c12y+ c12z y =c12x+ c11y+ c12z z =c12x+ c12y+ c11z xy =0.5(c11 c12) xy yz =0.5(c11 c12) yz zx =0.5(c11 c12) zx
这是从能量角度出发建立的弹性物体的应力-应变关系
kl
W
ij
ij
W
kl
可导出如下对称性
ij kl kl ij
Cijkl= Cklij
将物理方程ij =Cijklkl代入dW=ijdij，考虑对称性，则
dW
Cijklkldij
1 2
C
ijkld
ij
kl
1 2
C
ijkl
ij
d
kl
d
1
1
1
1
1
W = 2 ijij = 2 (sij +0ij)(eij + 3 kkij)= 2 0kk+ 2 sijeij
第一项是体积应力在体积应变上做的功，称为 体积改变能（体变能）；
第二项是偏应力在偏应变上做的功，称为形状
改变能（畸变能）。
在各向同性情况下，应变能由应变表示为
1
1
W = 2 K(kk)2+ 2 (2G)eijeij
• 弹性系数cmn也应具有对称性
cmn＝cnm
5.1.2 材料对称性
• 弹性对称面 该面对称的两个方向具有相同的弹性关系
x
xy
xz
yx y yz
zx
zy
z
x
1 2
yx
1 2
zx
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2
xz
1 2
yz
z
x
xy
-
xz
yx y - yz
L
U Pd (L) 0
由于应力x=P/S，x=L/L，上式可写成
x
U SL xd x 0
• 单位体积的应变能W为
W U SL
x
xd x
0
x
W
1 2
E
2 x
x
W x
W x
• 求应变能相对应变的偏导
x
W x
• 三维情况 考察微小六面体，应力分量ij产生的应变分量ij，各应 力分量ij都只在与它相同的应变分量ij上做功，
（3）应变能存在，则弹性张量关于ij和kl也应对称 Cijkl= Cklij
独立的弹性常数共有21个
• 两种表示方式之间的关系
弹性系数c的下标 1、 2、 3、 4、 5、6 对应于张量C的指标11、22、33、12、23、31 例如： c11＝C1111 c12＝C1122 c13＝C1133 c14＝C1112
E
1
ij
(1
E
)(1
2
)
k
k
ij
ij
1
E
ij
E
kk
ij
• 正应力只产生正应变；剪应力只产生剪应变。
• 每个应变等于各个应力单独作用时产生的应变
之和。
• 弹性常数的限制 • 实验结果表明，E、G、K总为正值，有
1 0.5
• 大多数材料为正值，而 0.5 ，有
G E , 1/ K 0 3