单位圆的对称性与诱导公式推荐(课堂PPT)
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2019高中数学第一章单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版
,
2π 3
上是减少的,且
sin
-
π 6
=-12,sin23π =
23,
所以 y=sin x 在 x=-π6时取最小值-12,在 x=π2时取最大值 1.故 y=-
3sin x+1 在
-
π 6
,
2π 3
上的最大值是-3×
-
1 2
+1=52;最小值是-3×1+1=-2.
反思感悟对于形如y=asin x+b的函数性质的研究可借助y=sin x
一二三
【做一做1】 (1)函数y=-2sin x的定义域是
,值域
是
,最小正周期是
,在区间
上
是增加的,在区间
上是减少的.
(2)函数y=cos x-2的定义域是
,最大值为
,最小
值为
,在区间
上是增加的,在区间
上是减少的.
答案:(1)R [-2,2] 2π
π 2
,2������π
+
π 2
(k∈Z)
2������π
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2求下列三角函数值:
(1)cos 945°;
(3)cos
3π 2
+
π 3
;
(2)sin356π;
(4)sin
-
100π 3
.
解:(1)cos 945°=cos(2×360°+225°)
=cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°=- 22.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (1.9)
北师大版必修4 1.4.3-4.4 单位圆的对称性与诱导公式 课件(40张)
利用诱导公式化简式子 设 k 为整数，化简下面的式子： sin（kπ－α）·cos[（k－1）π－α]
sin[（k＋1）π＋α]·cos（kπ＋α）.
【解】 法一：当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，则原式 ＝ssiinn[（（22mmπ＋－1α））π·＋cosα[]（·co2sm（－21m）π＋π－α）α] ＝sin（sin－（απ）＋·cαo）s（·cπos＋αα）＝（－s－in sαin）α（·c－oscαos α）＝－1； 当 k 为奇数时，可设 k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得，原式＝－ 1.故不论 k 为奇数还是偶数，原式＝－1.
利用诱导公式化简的原则 (1)化简三角函数式的过程，实质上是“统一角”“统一函数名” 的过程，所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函 数名”的分析方法． (2)化简三角函数式时，若遇到 kπ±α 的形式时，需分 k 为奇数 和 k 为偶数两种情况进行讨论，然后再正确运用诱导公式进行 化简．常见的一些关于参数 k 的结论有
(4)正确．诱导公式中的角 α 为任意角，在化简时先限定α为锐
角． (5)正确．因为π4－α＋π4＋α＝π2，所以成立．
2．已知 sin x＝13，则 cosx－π2＝(
)
1
22
A.3
B. 3
2 C.3
D．－13
解析：选 A.cosx－π2＝cos－π2－x＝
cosπ2－x＝sin x＝13.
3．若 sin(π＋α)＋sin(－α)＝－m，则 sin(3π＋α)＋2sin(2π－α)
(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆， 其中：
①“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变．
②“奇”“偶”是对
5.3 诱导公式 课件(34张PPT)(2024年)
所以 x4 x1 , y4 y1.
根据三角函数的定义，得
y
y
sin y1 , cos x1 , tan 1 ;
x1
sin( ) y4 , cos( ) x4 , tan( )
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
所以 x3 x1 , y3 y1.
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于x轴的对称点P3
所以 x3 x1 , y3 y1.
根据三角函数的定义，得
y1
sin y1 , cos x1 , tan ;
x1
y
y3
sin( ) y3 , cos( ) x3 , tan( ) .
x3
sin( ) sin
公式三： cos( ) cos
tan( ) tan
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于y轴的对称点P4
2k ( )(k Z ).
终边相同的角，即：
以OP4 为终边的角 都是与角
即对于正弦和余弦的诱导公式，
式， 的终边不能落在y轴上，即 k
2
(k Z ).
追问2
探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想
是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系；
形
第二步，形的关系代数化，建立坐标之间的关系；
数
第三步，等量代换，得到三角函数值的关系.
根据三角函数的定义，得
y
y
sin y1 , cos x1 , tan 1 ;
x1
sin( ) y4 , cos( ) x4 , tan( )
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
所以 x3 x1 , y3 y1.
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于x轴的对称点P3
所以 x3 x1 , y3 y1.
根据三角函数的定义，得
y1
sin y1 , cos x1 , tan ;
x1
y
y3
sin( ) y3 , cos( ) x3 , tan( ) .
x3
sin( ) sin
公式三： cos( ) cos
tan( ) tan
P1 ( x1 , y1 )
O
x
P3 ( x3 , y3 )
作点 关于y轴的对称点P4
2k ( )(k Z ).
终边相同的角，即：
以OP4 为终边的角 都是与角
即对于正弦和余弦的诱导公式，
式， 的终边不能落在y轴上，即 k
2
(k Z ).
追问2
探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想
是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系；
形
第二步，形的关系代数化，建立坐标之间的关系；
数
第三步，等量代换，得到三角函数值的关系.
诱导公式ppt课件
课堂巩固
D 1.已知 cos
3 5
，0
2
，则 cos
2
的值为(
)
A. 4
B. 3
3 C.
4 D.
5
5
5
5
解析：因为 cos 3 ， 0 ，所以sin 4 ，
5
2
5
则 cos
2
sin
4 5
.故选：D.
2.若 为第二象限角,且 tan π 1 ,则
2
1 cos 1 sin( π
x2, tan(π )
y2 x2
.
从而得到公式二
sin(π ) sin
cos(π ) cos
tan(π ) tan
Hale Waihona Puke (2)如果作P关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么
结论?
如图，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以OP3 为终边 的角为 ，并且有
公式三
)
解：
tan( 180) tan[(180 )] tan(180 ) tan ，
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos ，
所以原式
cos sin ( tan )(cos )
cos
.
作 P1 关于直线
y=x
的对称点
P5，以
OP5 为终边的角
与角 π 2
根据三角形的定义，得
x5 y1 ， y5 x1
从而得
sin
π 2
y5
，
cos
π 2
x5
公式五
sin
π 2
cos
cos
π 2
高中数学 第一章 三角函数 1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)课件高一必修4数学课件
若例3中的条件不变改为求
sinπ－α－sinπ2＋α cos32π－α＋cos－π＋α
的值．
解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝－sisninαα－－cocos sαα ＝－22cocos sαα－－cocos sαα＝－c3ocsoαs α＝－3.
12/8/2021
第十九页，共三十一页。
4.4 单位(dānwèi)圆的对称性与诱导公式(二)
12/8/2021
第一页，共三十一页。
学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式 1.13～1.14解决(jiějué)简单的求值，化简与证明问题(难点)．
12/8/2021
第二页，共三十一页。
知识点 1 π2±α 的诱导公式
(2)sinπ2＋α.
12/8/2021
第二十七页，共三十一页。
解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.
(1)cosα－32π＝cos32π－α＝－sin α＝－13.
(2)sinπ2＋α＝cos α，cos2α＝1－sin2α＝1－19＝89.
∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．
第二十一页，共三十一页。
规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可 能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种 类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要 求值． 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择， 当三角函数式中含有 kπ±α，2kπ±α(k∈Z)时，要注意讨论 k 为奇数 或偶数.
12/8/2021
第十六页，共三十一页。
解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α，
1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式
A
sin
A
sin
A
cos
A
则 2
.
2
2
2
故选：A
）
1
7
cos
sin
6．已知 12 3 ，则 12 的值等于（
2 2
A．
3
1
B．
3
1
C．
3
）
2 2
D．
3
7
1
【详解】由诱导公式得 cos sin
去化简：“奇变偶不变，符号看象限”，
口诀中的“奇和偶”，指的是的奇偶，“变和不变”指的是变不变
三角函数名，
“符号”指的是化简后整个值的正负，“看象限”指的是看 + 所
在的象限.
(运用公式时，默认为锐角)
例如： + = ， + = −，
2
cos −
作 + ，其中n
=1，2 ， 3 ，4k(k∈Z).
只需注意，关于
− 和-
的诱导公式，在做了 +
和α-π的公式变化之后，还要借助于- a的诱导公式·
用这样的观点看诱导公式，得到如下结论:当n取奇数1
或3时，公式的等号两边一个是正弦函数，另一个是余弦
函数；当n取偶数2或4k(k∈Z)时，公式的等号两边都是
诱导公式ppt课件
利用诱导公式进行化简、求值
例 1 计算： (1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
1＋cos100°sin170° (2)cos370°＋ 1－sin2170°. • [分析] 利用诱导公式，先化简再求值．
[解析] (1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝34－1＋
sin
π 3
3； 2
（3）
sin
16π 3
sin 16π 3
sin
5π
π 3
sin
π 3
3； 2
（4） tan(2040) tan 2040 tan((180 60) tan 60 3 .
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
cos
.
• 诱导公式五
思考 1：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？ 提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称．
(2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
• 诱导公式六
• 口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
【对点练习】❶
sin－α－32π·sin32π－α·tan22π－α cosπ2－α·cosπ2＋α·cos2π－α .
[解析] 原式
＝sinc－osα＋ 2π－π2α·[·－cossinπ2＋π2＋αα·c]o·sta2nπ2－2πα－ α
＝csoinsαα··－－scionsαα··ctoasn22αα＝tsainn22αα＝co1s2α.
1.4.4单位圆的对称性与诱导公式(课件)高一数学同步备课系列(北师大版2019必修第二册)
2.已知
sin
α－π6
＝1，则 3
cos
α＋π3 的值为
A.－2 3 3
23 B. 3
1 C.3
解析
D.－13
cosα＋π3＝cosπ2＋α－π6 ＝－sinα－π6＝－13.
3．在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它 们的终边关于 y 轴对称 .若 sin α＝13，则 sin β＝________.
1 3
[α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝13.]
4、若cos(5－) 3 ，则 cos( ) =__________.
6
3
6
【解析】因为 ( ) (5－) ，
6
6
所以 ( ) －(5－)，
(2)对于k∈Z,cos（ k ）=sinα一定成立. ( )
2
(3)诱导公式中的角α只能是锐角.
()
提示: (1)√.借助单位圆可知正确. (2)×.由诱导公式可知结论不正确. (3)×.诱导公式中的角α可以是任意角,在应用口诀时,把它看作锐角分析.
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)sin330°的值是_______. (2) sin(－17) 的值是_______.
所以 cos A C cos( B) sin B .
2
22
2
3、cos25°+sin105°的值为( ) A.sin 5° B.cos 5° C.0 答案:C
D.2sin 5°
4、求值：cos[(2k＋1)－ ] (n∈Z) 3
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件
-10-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
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知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 1】 化简: π 11π sin(2π-������)cos(π + ������)cos 2 + ������ cos 2 -������ . 9π cos(π-������)sin(3π-������)sin(-������-π)sin 2 + ������
-6-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
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知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做 2-1】 sin A. − 2 B. −
答案:B
1 3 1 3 C. D. 2 2 2
19π 3
的值等于(
)
【做一做 2-2】 cos 300° 的值是( A. 2 B. − 2 C.
答案:A
1 1 3 3 D. − 2 2
)
-7-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
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知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
利用诱导公式化简
sin (������π -������ )cos [(������ -1)π -������ ] sin [(������ +1)π +������ ]cos (������π +������ )
)
-4-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
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知识梳理
典例透析
随堂演练
2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.4.4单位圆的对称性与诱导公式
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
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随堂演练
【变式训练 1】 化简: π 11π sin(2π-������)cos(π + ������)cos 2 + ������ cos 2 -������ . 9π cos(π-������)sin(3π-������)sin(-������-π)sin 2 + ������
-6-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
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随堂演练
【做一做 2-1】 sin A. − 2 B. −
答案:B
1 3 1 3 C. D. 2 2 2
19π 3
的值等于(
)
【做一做 2-2】 cos 300° 的值是( A. 2 B. − 2 C.
答案:A
1 1 3 3 D. − 2 2
)
-7-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
题型一 题型二 题型三
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随堂演练
题型一
利用诱导公式化简
sin (������π -������ )cos [(������ -1)π -������ ] sin [(������ +1)π +������ ]cos (������π +������ )
)
-4-
4.4 单位圆的对称性与诱 导公式
1
2
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随堂演练
2.诱导公式 (1)sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α,其中k∈Z. (2)sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. (3)sin(2π-α)=-sin α,cos(2π-α)=cos α. (4)sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α. (5)sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α.4.4单位圆的对称性与诱导公式
高中数学-1.4.4单位圆的对称性与诱导公式课件-北师大必修4
【即时练】
在单位圆中，角α的终边与单位圆交于点 P( 8 ,15)，则sin(π
17 17
－α)=________.
【解析】因为角α的终边与单位圆交于点 P( 8 所,15以)，sin α
17 17
= 15 又. 因为sin(π－α)=sin α，所以sin(π－α)=
17
15 . 17
答案：15
【探究提示】1.利用公式sin(-α)=-sin α转化.
2.利用公式先把负角转化为正角，再把角转化到0°～360°内求
解.
【自主解答】(1) sin(－4) sin(－－)
3
3
=－sin( ) sin 3 .
3
32
答案： 3
2
(2)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°· sin 1 050° =-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)=-sin 120° ·cos 210°-cos 300°·sin 330°=-sin(180°60°)·cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°
【解析】(1)正确.结合三角函数线可知，终边相同，三角函数 值相等. (2)错误.当角α与β终边关于y轴对称时，那么角β与π-α终 边相同，故应有β=2kπ+π-α(k∈Z)，所以结论错误. (3)正确.在△ABC中，A+B+C=π，所以cos(A+B)=cos(π-C)= -cos C，结论正确. 答案：(1)√ (2)× (3)√
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2
如图，利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交 于点 P a， b , 角 的终边与单位圆交于点P′，
2
由平面几何知识可知,
Rt△OPM≌Rt△POM,不难证明P坐标为b,a .
sin( ) cos 2
cos( ) sin 2
思考：如何得到下列两个等式
sin( ) cos 2
4
4
4
( sin
4
)
sin
4
2. 2
(2) cos 2 cos( ) cos 1 .
3
3
32
一般步骤： 变号 转化 求值
(3) cos( 31) cos 31 cos(4 )
6
6
6
cos( ) cos 3 .
6
62
探究点4 角α与 的正弦函数、余弦函数关系
（1.9）
sin(2 ) sin ,cos(2 ) cos
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( ) cos ,cos( ) sin
2
2
sin( ) cos ,cos( ) sin
提示：-α， α± π ，π－α的三角函数值，等于α的
同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
诱导公式作用：转化为 0°～90°的角
例1 求下列各角的三角函数值：
(1)sin( 7). (2) cos 2 . (3) cos( 31).
4
3
6
解：(1)sin( 7) sin 7 sin(2 )
1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程. （重点）
2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.（重点） 3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题.（难点）
探究点1 角α与角-α的正弦函数、余弦函数关系
思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终
边有什么关系？
y
α的终边
关键看两 角的对称
α的终边
P(x，y)
y
sin(α±π)=-y
cos(α±π)=-x
sin( ) sin
cos( ) cos
x
O
Q(-x，-y) sin( ) sin
cos( ) cos
α±π的终边
探究点3 角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系
思考1：利用π-α= π+（-α），结合上述公式，你 能得到什么结论？
(1)sin(5 ). 24
(2)sin( 55). 6
(3)sin 5 cos( ) sin 11 cos 5 .
6
4
64
解：(1)sin(5π+π)= sin(π+π)= cosπ=
24
24
4
2 2.
(2)sin(- 55π)= -sin 55π= -sin(8π+ 7π)
6
6
6
=
-sin
7π= 6
2
2
（1.10） （1.11） （1.12） （1.13）
（1.14）
公式1.8～1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公 式.
任意负角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8或1.9
任意正角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8
0～2 角的正弦函数、余弦函数
用公式1.10～1.14
锐角的正弦函数、余弦函数
例2 求下列函数值：
-sin(π+π)= 6
sinπ= 6ຫໍສະໝຸດ 1 2.(3)sin 5πcos(-π)+ sin 11πcos 5π
6
4
6
4
= sin(π-π)cosπ+ sin(2π-π)cos(π+π)
64
6
4
= sinπcosπ+(-sinπ)(-cosπ)
64
6
4
=
1 2
2 2
+
1 2
2 2
2 2.
sin(2 )cos(3 )cos(3 )
cos( ) sin 2
提示:
sin( 2
)
sin
2
()
cos()
cos
cos(
2
)
cos
2
()
sin()
sin
以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.”
对于任意角α，下列关系式成立：
sin(2k ) sin ,cos(2k ) cos （1.8）
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( )=sin cos( )= cos
这两个公式也可以由前两组公式推出：
sin( ) -sin( )=-(-sin )=sin cos( ) cos( )= cos
思考2：以上公式都叫作诱导公式，它们分别反映
了－α， α± π，π－α的三角函数与α的三角函数之
间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和 规律吗？
O
x
角α±π的终边与
角α的终边关于原 点对称
α±π的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则
角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
α的终边
P(x，y)
提示： 坐标互为 相反数
x
O
Q(-x，-y)
α±π的终边
思考3：根据三角函数定义，sin（ α±π ） ，
cos（ α±π ）的值分别是什么？
4.4 单位圆的对称性与 诱导公式
在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦 函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相
等，即sin(2kπ+α)＝sinα (k∈Z )，通过这个公式能
把任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角 的正弦函数值吗？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都 可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法 而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
例3 化简
2
sin( )sin(3 )cos( )
(-sinα)cos(π+α)cos(π+π+α)
解：原式 =
2
[-sin(π-α)]sin(π-α)cos[-(α+π)]
公式：
α的终边
y
sin() sin
P(x,y)
cos() cos
P(x,-y)
O
x
结论：
-α的终边
正弦函数y=sinx是奇函数
余弦函数y=cosx是偶函数
探究点2 角α与角α±π的正弦函数、余弦函数关系
思考1：对于任意给定的一个角α，角α±π的终边与角α
的终边有什么关系？
y
α的终边
提示： 如图
关系
O
x
-α的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y）， 则-
α的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
提示：如图， -α的 α的终边 终边与单位圆的交点
坐标为P（x，-y）.
P(x,y)
O
x
P(x,-y)
-α的终边
思考3：根据三角函数定义，－α的正弦函数、余弦
函数与α的正弦函数、余弦函数有什么关系？
如图，利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交 于点 P a， b , 角 的终边与单位圆交于点P′，
2
由平面几何知识可知,
Rt△OPM≌Rt△POM,不难证明P坐标为b,a .
sin( ) cos 2
cos( ) sin 2
思考：如何得到下列两个等式
sin( ) cos 2
4
4
4
( sin
4
)
sin
4
2. 2
(2) cos 2 cos( ) cos 1 .
3
3
32
一般步骤： 变号 转化 求值
(3) cos( 31) cos 31 cos(4 )
6
6
6
cos( ) cos 3 .
6
62
探究点4 角α与 的正弦函数、余弦函数关系
（1.9）
sin(2 ) sin ,cos(2 ) cos
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( ) cos ,cos( ) sin
2
2
sin( ) cos ,cos( ) sin
提示：-α， α± π ，π－α的三角函数值，等于α的
同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
诱导公式作用：转化为 0°～90°的角
例1 求下列各角的三角函数值：
(1)sin( 7). (2) cos 2 . (3) cos( 31).
4
3
6
解：(1)sin( 7) sin 7 sin(2 )
1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程. （重点）
2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.（重点） 3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题.（难点）
探究点1 角α与角-α的正弦函数、余弦函数关系
思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终
边有什么关系？
y
α的终边
关键看两 角的对称
α的终边
P(x，y)
y
sin(α±π)=-y
cos(α±π)=-x
sin( ) sin
cos( ) cos
x
O
Q(-x，-y) sin( ) sin
cos( ) cos
α±π的终边
探究点3 角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系
思考1：利用π-α= π+（-α），结合上述公式，你 能得到什么结论？
(1)sin(5 ). 24
(2)sin( 55). 6
(3)sin 5 cos( ) sin 11 cos 5 .
6
4
64
解：(1)sin(5π+π)= sin(π+π)= cosπ=
24
24
4
2 2.
(2)sin(- 55π)= -sin 55π= -sin(8π+ 7π)
6
6
6
=
-sin
7π= 6
2
2
（1.10） （1.11） （1.12） （1.13）
（1.14）
公式1.8～1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公 式.
任意负角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8或1.9
任意正角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8
0～2 角的正弦函数、余弦函数
用公式1.10～1.14
锐角的正弦函数、余弦函数
例2 求下列函数值：
-sin(π+π)= 6
sinπ= 6ຫໍສະໝຸດ 1 2.(3)sin 5πcos(-π)+ sin 11πcos 5π
6
4
6
4
= sin(π-π)cosπ+ sin(2π-π)cos(π+π)
64
6
4
= sinπcosπ+(-sinπ)(-cosπ)
64
6
4
=
1 2
2 2
+
1 2
2 2
2 2.
sin(2 )cos(3 )cos(3 )
cos( ) sin 2
提示:
sin( 2
)
sin
2
()
cos()
cos
cos(
2
)
cos
2
()
sin()
sin
以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.”
对于任意角α，下列关系式成立：
sin(2k ) sin ,cos(2k ) cos （1.8）
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( )=sin cos( )= cos
这两个公式也可以由前两组公式推出：
sin( ) -sin( )=-(-sin )=sin cos( ) cos( )= cos
思考2：以上公式都叫作诱导公式，它们分别反映
了－α， α± π，π－α的三角函数与α的三角函数之
间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和 规律吗？
O
x
角α±π的终边与
角α的终边关于原 点对称
α±π的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则
角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
α的终边
P(x，y)
提示： 坐标互为 相反数
x
O
Q(-x，-y)
α±π的终边
思考3：根据三角函数定义，sin（ α±π ） ，
cos（ α±π ）的值分别是什么？
4.4 单位圆的对称性与 诱导公式
在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦 函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相
等，即sin(2kπ+α)＝sinα (k∈Z )，通过这个公式能
把任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角 的正弦函数值吗？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都 可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法 而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
例3 化简
2
sin( )sin(3 )cos( )
(-sinα)cos(π+α)cos(π+π+α)
解：原式 =
2
[-sin(π-α)]sin(π-α)cos[-(α+π)]
公式：
α的终边
y
sin() sin
P(x,y)
cos() cos
P(x,-y)
O
x
结论：
-α的终边
正弦函数y=sinx是奇函数
余弦函数y=cosx是偶函数
探究点2 角α与角α±π的正弦函数、余弦函数关系
思考1：对于任意给定的一个角α，角α±π的终边与角α
的终边有什么关系？
y
α的终边
提示： 如图
关系
O
x
-α的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y）， 则-
α的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
提示：如图， -α的 α的终边 终边与单位圆的交点
坐标为P（x，-y）.
P(x,y)
O
x
P(x,-y)
-α的终边
思考3：根据三角函数定义，－α的正弦函数、余弦
函数与α的正弦函数、余弦函数有什么关系？