单位圆的对称性与诱导公式推荐(课堂PPT)

例3 化简
2
sin( )sin(3 )cos( )
(-sinα)cos(π+α)cos(π+π+α)
解：原式 =
2
[-sin(π-α)]sin(π-α)cos[-(α+π)]
（1.9）
sin(2 ) sin ,cos(2 ) cos
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( ) sin ,cos( ) cos
sin( ) cos ,cos( ) sin
2
2
sin( ) cos ,cos( ) sin
4.4 单位圆的对称性与 诱导公式
在上几节课中，我们已经学习了任意角的正弦 函数的定义，以及终边相同的角的正弦函数值相
等，即sin(2kπ+α)＝sinα (k∈Z )，通过这个公式能
把任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角 的正弦函数值吗？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都 可以转化为锐角三角函数求值，并通过查表方法 而得到最终解决，本课就来讨论这一问题．
(1)sin(5 ). 24
(2)sin( 55). 6
(3)sin 5 cos( ) sin 11 cos 5 .
6
4
64
解：(1)sin(5π+π)= sin(π+π)= cosπ=
24
24
4
2 2.
(2)sin(- 55π)= -sin 55π= -sin(8π+ 7π)
6
6
6
=
-sin
7π= 6
2
2
（1.10） （1.11） （1.12） （1.13）
（1.14）
公式1.8～1.14叫作正弦函数、余弦函数的诱导公 式.
任意负角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8或1.9
任意正角的正弦函数、余弦函数
用公式1.8
0～2 角的正弦函数、余弦函数
用公式1.10～1.14
锐角的正弦函数、余弦函数
例2 求下列函数值：
-sin(π+π)= 6
sinπ= 6
1 2
.
(3)sin 5πcos(-π)+ sin 11πcos 5π
6
4
6
4
= sin(π-π)cosπ+ sin(2π-π)cos(π+π)
64
6
4
= sinπcosπ+(-sinπ)(-cosπ)
64
6
4
=
1 2
2 2
+
1 2
2 2
2 2.
sin(2 )cos(3 )cos(3 )
2
如图，利用单位圆作出任意锐角α与单位圆相交 于点 P a， b , 角 的终边与单位圆交于点P′，
2
由平面几何知识可知,
Rt△OPM≌Rt△POM,不难证明P坐标为b,a .
sin( ) cos 2
cos( ) sin 2
思考：如何得到下列两个等式
sin( ) cos 2
1.理解正弦函数、余弦函数的诱导公式的推导过程. （重点）
2.能了解诱导公式之间的关系，能相互推导.（重点） 3.能利用诱导公式解决化简、求值等问题.（难点）
探究点1 角α与角-α的正弦函数、余弦函数关系
思考1：对于任意给定的一个角α，－α的终边与α的终
边有什么关系？
y
α的终边
关键看两 角的对称
cos( ) sin 2
提示:
sin( 2
)
sin
2
()
cos()
cos
cos(
2
)
cos
2
()
sin()
sin
以上两组诱导公式口诀:“函数名改变,符号看象限.”
对于任意角α，下列关系式成立：
sin(2k ) sin ,cos(2k ) cos （1.8）
sin( ) sin ,cos( ) cos
O
x
角α±π的终边与
角α的终边关于原 点对称
α±π的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点P（x，y），则
角α±π的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
α的终边
P(x，y)
提示： 坐标互为 相反数
x
O
Q(-x，-y)
α±π的终边
思考3：根据三角函数定义，sin（ α±π ） ，
cos（ α±π ）的值分别是什么？
提示：-α， α± π ，π－α的三角函数值，等于α的
同名函数值，再放上原函数的象限符号. 简化成“函数名不变，符号看象限”的口诀．
诱导公式作用：转化为 0°～90°的角
例1 求下列各角的三角函数值：
(1)sin( 7). (2) cos 2 . (3) cos( 31).
4
3
6
解：(1)sin( 7) sin 7 sin(2 )
4
4
4
( sin
4
)
sin
4
2. 2
(2) cos 2 cos( ) cos 1 .பைடு நூலகம்
3
3
32
一般步骤： 变号 转化 求值
(3) cos( 31) cos 31 cos(4 )
6
6
6
cos( ) cos 3 .
6
62
探究点4 角α与 的正弦函数、余弦函数关系
公式：
α的终边
y
sin() sin
P(x,y)
cos() cos
P(x,-y)
O
x
结论：
-α的终边
正弦函数y=sinx是奇函数
余弦函数y=cosx是偶函数
探究点2 角α与角α±π的正弦函数、余弦函数关系
思考1：对于任意给定的一个角α，角α±π的终边与角α
的终边有什么关系？
y
α的终边
提示： 如图
α的终边
P(x，y)
y
sin(α±π)=-y
cos(α±π)=-x
sin( ) sin
cos( ) cos
x
O
Q(-x，-y) sin( ) sin
cos( ) cos
α±π的终边
探究点3 角α与π-α的正弦函数、余弦函数关系
思考1：利用π-α= π+（-α），结合上述公式，你 能得到什么结论？
sin( )=sin cos( )= cos
这两个公式也可以由前两组公式推出：
sin( ) -sin( )=-(-sin )=sin cos( ) cos( )= cos
思考2：以上公式都叫作诱导公式，它们分别反映
了－α， α± π，π－α的三角函数与α的三角函数之
间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和 规律吗？
关系
O
x
-α的终边
思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y）， 则-
α的终边与单位圆的交点坐标如何？
y
提示：如图， -α的 α的终边 终边与单位圆的交点
坐标为P（x，-y）.
P(x,y)
O
x
P(x,-y)
-α的终边
思考3：根据三角函数定义，－α的正弦函数、余弦
函数与α的正弦函数、余弦函数有什么关系？