向量与圆锥曲线

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: .OA OM ;,;21型型型μλλλλ+====

例1.已知B A ,是椭圆1222=+y x 上的两点,并且点)0,2(-N 满足NB NA λ=,当⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈31,51λ时,求直线AB 斜率的取值范围.

例2.已知抛物线x y C 4:2

=,过抛物线的焦点F 的直线交C 于B A ,两点,交准线l 于点M ,已知

BF MB AF MA 21,λλ==,求21λλ+.

例3.已知椭圆2

2

2

33b y x =+,斜率为1且过右焦点F 的直线交椭圆于B A ,两点,M 为椭圆上任一点,且OB OA OM μλ+=, 求2

2

μλ+.

方法总结:

(1)若能得到21x x λ=, 则构造出两根之和与两根之积得⎩⎨⎧=+=+2

2

212

21)1(x x x x x x λλ消去得λ

λ2

21221)1()(+=

+x x x x ,再利用韦达定理应用; (2)若PQ PB PQ PA 21,λλ==,则可以用B A ,的横坐标21,x x 或纵坐标21,y y 来表示1λ和2λ,当

1λ和2λ满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于B A ,两点,若点M 满足OB μλ+=OA OM ,用B A ,两点的坐标来表示M ,如果M 在曲线上,则将M 的坐标表达式代入曲线方程,如果M 没有在曲线上,则必须把M 的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理. 课后练习:

1.已知定点)0,2(M ,若过点M 的直线l (斜率不为零)与椭圆13

22

=+y x 交于不同的两点F E ,(E 在点F M ,之间),记OMF

OME S S

∆∆=λ, 求实数λ的取值范围.

2.椭圆12322

22=+c

y c x 的两个焦点分别为)0,(1c F -和)0,(2c F ,过点)0,3(c E 的直线与椭圆交于B

A ,两点, 且||2||,//2121

B F A F B F A F =, 求直线AB 的斜率.

3.已知抛物线x y C 4:2

=,过点)2,0(M 的直线l 与抛物线交于B A ,两点,且直线l 与x 轴交于点C ,

设BC MB AC MA βα==,,试问βα+是否为定值, 若是, 求出此定值; 若不是, 请说明理由.

4.椭圆12

3:2

2=+y x C ,过右焦点F 的直线l 与C 交于B A ,两点,C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 转到某一位置时,有OB OA OP +=成立?若存在,求出所有P 的坐标与l 的方程;若不存在, 请说明

理由.

二.面积计算

求解圆锥曲线中三角形的面积,关键在于三角形面积公式的选取.

例1.如图,)1,1(M 是抛物线x y C =2

:上一点, B A ,是C 上的两点,线段AB 被直线OM 平分且

)2

1

,1(P , 求ABP ∆面积的最大值.

2.已知直线l 与椭圆122

22=+b

x a y 交于),(),,(2211y x B y x A 两点, 已知),(),,(2211by ax by ax ==,

若n m ⊥且椭圆的离心率23

=e , 又椭圆经过点⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1,23, O 为坐标原点. 试问AOB ∆的面积是否为定值? 如果是,请证明,如果不是,说明理由.

3.已知菱形ABCD 的顶点C A ,在椭圆432

2

=+y x 上,对角线BD 所在直线的斜率为1.

(1)当直线BD 过点)1,0(时,求直线AC 的方程; (2)当︒=∠60ABC 时,求菱形ABCD 面积的最大值.

4.如图，点)1,0(-P 是椭圆)0(1:22

221>>=+b a b

y a x C 的一个顶点，

1C 的长轴是圆4:222=+y x C 的直径.21,l l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于两点，

2l 交椭圆1C 于另一点D （1）求椭圆1C 的方程；

（2）求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程.

三．切线问题

1.如图，设椭圆C:)0(122

22>>=+b a b

y a x 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象

限.

（1） 已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；

（2） 若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为a b -.

2.如图，已知抛物线2

11C 4

x ：y=

，圆222C (y 1)1x +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.

(1)求点A ，B 的坐标； (2)求PAB ∆的面积.

3.已知椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x C ：的一个焦点为)0,5(，离心率为35.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）若动点),(00y x P 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.

4.如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为 直线y =-2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .

（1）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；

（2）已知当M 点的坐标为（2，-2p ）时，410AB =，求此时抛物线的方程；

（3）是否存在点M ，使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线2

2(0)x py p =＞上，其中，点

C 满足OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r

（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M 的坐标；若不存在，

请说明理由.

练习：如图，已知抛物线y x 42

=的焦点为F ，B A ,是抛物线上的两动点，且)0(>=λλFB AF ，

过B A ,两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，证明AB FM ⋅为定值.