专题22.3 实际问题与二次函数-2020-2021学年九年级数学上册课时同步练(人教版)(解析版)

第二十二章二次函数

实际问题与二次函数

一、基础巩固

1.二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的

函数值y的最大值为﹣3，则a的值是（）

A．B．﹣C．2D．﹣2

【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣8ax＝a（x﹣4）2﹣16a，

∴该函数的对称轴是直线x＝4，

又∵二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，

∴a＞0，

∵在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，

∴当x＝2时，a×22﹣8a×2＝﹣3，

解得，a＝，

故选：A．

【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值

2.二次函数y＝x2﹣2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（）

A．抛物线开口向下

B．当x＝0时，函数的最大值是﹣2

C．抛物线的对称轴是直线x＝2

D．抛物线与x轴有两个交点

【解答】解：A、a＝1＞0，则抛物线y＝x2﹣2的开口向上，故本选项错误，不符合题意；

B、当x＝0时，函数的最小值是﹣2，故本选项错误，不符合题意；

C、抛物线的对称轴为直线x＝0，故本选项错误，不符合题意；

D、当y＝0时，x2﹣2＝0，此方程有两个不相等的实数解，即抛物线与x轴有两个交点，故本

选项符合题意；

故选：D．

【知识点】抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值

3.已知二次函数y＝x2﹣2mx+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最

小值为﹣2，则m的值为（）

A．或或﹣2B．或﹣2C．或﹣2D．以上均不对

【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+1＝（x﹣m）2﹣m2+1，

∴该函数的对称轴为x＝m，函数图象开口向上，

当m＜﹣1时，

∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，

∴当x＝﹣1时，（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+1＝﹣2，得m＝﹣2；

当﹣1≤m≤2时，

∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，

∴当x＝m时，﹣m2+1＝﹣2，得m1＝﹣（舍去），m2＝；

当m＞2时，

∵当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，与其对应的函数值y的最小值为﹣2，

∴当x＝2时，22﹣2m×2+1＝﹣2，得m＝（舍去）；

由上可得，m的值为﹣2或，

故选：C．

【知识点】二次函数的性质、二次函数的最值

4.小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函

数来刻画．经侧试得部分数据如下表：

x/分… 2.66 3.23 3.46…

y/米…69.1669.6268.46…

下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）

A．7分B．6.5分C．6分D．5.5分

【解答】解：最值在自变量大于2.66小于3.23之间，

所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6分钟．

故选：C．

【知识点】二次函数的应用

5.如图所示，抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝5，且与x轴的左交点为（1，0），则下列说

法正确的有（）

①C（9，0）②b+c＞﹣10 ③y的最大值为﹣16a④若该抛物线与直线y＝8有公共交点，则a的取值范

围是a≤

A．①②③④B．①②④C．①③④D．①④

【解答】解：∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝5，且与x轴的左交点为（1，0）∴抛物线L与x轴的交点C为（9，0）

故①正确；

∵抛物线L与x轴的左交点为（1，0）

∴a+b+c＝0

∴b+c＝﹣a＞0＞﹣10

故②正确；

∵抛物线L：y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x＝5

∴﹣＝5，即b＝﹣10a

又∵a+b+c＝0

∴c＝9a

∴＝＝﹣16a

故③正确；

若该抛物线与直线y＝8有公共交点，则有8≤﹣16a，

∴a≥﹣2

故④错误．

故选：B．

【知识点】二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系

6.如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，

AH交DG于点P，已知BC＝6，AH＝4．当矩形DEFG面积最大时，HP的长是（）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：设HP＝x，则DE＝GF＝x，

∵四边形DEFG是矩形，

∴DG＝EF，DE＝GF＝HP＝x，DG∥EF，

∵AH⊥BC，

∴AH⊥DG，

∵DG∥EF，

∴△ADG∽△ABC，

∴＝，

∴＝，

解得：DG＝6﹣x，

∴矩形DEFG的面积S＝DG×DE＝（6﹣x）x＝﹣（x﹣2）2+6，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，当x＝2时，S的最大值是6，

即当HP＝2时，矩形DEFG的面积最大，

故选：B．

【知识点】矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值

7.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是

抛物线y＝﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为（）

A．12B．9C．15D．16

【解答】解：菱形顶点C的坐标为（4，3），

则OC＝5，则BC＝OC＝5，

设点D（x，﹣x2+6x），

△BCD的面积＝×BC×（y D﹣y C）＝×5×（﹣x2+6x﹣3）＝﹣（x﹣3）2+15，

∵﹣＜0，故△BCD面积有最大值为15，

故选：C．

【知识点】菱形的性质、二次函数的最值、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点

8.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣3）2﹣与y轴交于点A，顶点为B，直线l：