常微分方程22 变量可分离方程

M
Q
设M ( x, y)为L上任一点，
RP O
x
切线MT斜率 : y, 法线MN斜率 : 1 ,
N
y
L
MOR 2MPR,

y x

2 / y ， 1 (1/ y)2
y x

2 y ， y2 1
26
y x

2 y ， y2 1
y y2 2x y y,
5
二、 齐次方程
齐次函数: 函数 f (x, y)称为m次齐次函数, 如果 f (tx,ty) tm f (x, y),t 0.
齐次方程: 形如 dy F ( y ) 的方程称为齐次方程。 dx x
求解思想: 引入一个新变量化为变量可分离方程。
6
事实上, 令 z y , 则 y xz, dy z x dz .
故感染者不能被及时隔离. 直升机将在60至72小时
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将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.
解 设y ( t )表示发现首例病人后 t 小时的感染人数。
设传染病的传播速度与受感染的人数及
未受感染的人数之积成正比.
dy k y (800 y), 其可中分k离>变0为量比微例分常方数程.
23
整理得
4
4
y

(ln x c1)2 (ln cx )2
其中 c ec1 .
该解在 x 0 无定义, 故通解在 x 0, x R中有定义.
注：求方程通解时，我们假设 g( y) 0
若 g( y) 0 时得 y 值也可能为方程的解。
所以要考虑 g( y) 的0情况，
该方程对应的解我们称为常数解.
y 1 e 800k t
800 y C
通解
y
800e 800k t e 800k t C

1

800
e C 800k
t
.
24
直升机将在60至72小时将疫苗运到,
试估算疫苗运到时患此传染病的人数。
y

1

800
e C 800k
t
，
y(0) 1 C 799.
y(12) 3 800 k
例2.2.4求方程 dy x y 1的通解。 dx x y 3
解：解方程组

x x

y y
1 0 30
得
x

y
1 2
令 x u 1, y v 2
代入原方程可得到齐次方程
dv u v
令 v uz 得 dx u v
u dz 1 z2 dx 1 z
再利用条件 V (0) 288 V (2) 36
确定出常数C和r代入关系式得
V (t) (12 3t)3
6 t的取值在 [0,4] 之间。
22
游船上的传染病人数.
初始条件: y(0) 1, y(12) 3
一只游船上有800人, 一名游客患了某种传染病,
12小时后有3人发病. 由于这种传染病没有早期症状,
dx
(a1 x b1 y) c2
令 z a1 x b1 y, 则
dz
dy
zc
ab ab f(
).
dx
dx
z c1
15
3. 对特殊方程 dy f (ax by c) dx
令 z ax by, 则 dz a bf (z c). dx
16
7
积分上式得 ln z 1 z2 ln x ln C
用 z y 代入得 x z 1 z2 Cx
y 1 y2 Cx
x
x2
利用初始条件 y(1) 0 可定出 C 1
代入上式解出
y 1 (x2 1) 2
8
求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
19
u X du 1 u , dX 1u
分离变量法得
X 2(u2 2u 1) C,
Y 2 2XY X 2 C,
x X 1 y Y 2.
u Y X
将 X x 1,Y y 2 回代， 原方程通解
( y 2)2 2( x 1)( y 2) ( x 1)2 C,
x
dx
dx
故有 z x dz F (z). 即 x dz F (z) z.
dx
dx
例2.2.3 求下面初始值问题
( y x2 y2 )dx xdy y(1) 0
解：方程为齐次方程，令 y xz
求导后得 x dz 1 z2
dx
分离变量得 dz 1 dx
1 z2 x
（y x）2 ( x)2 1. yy
dy x ( x)2 1, dx y y
dx x ( x)2 1, 令z x，
dy y y
y
z y dz z 1 z2 , dy
dy dz , y 1 z2
两边积分 ln y ln( z 1 z2 ) ln C
27
ln y ln( z 1 z2 ) ln C
y C(z z2 1), 平方化简，
( y Cz)2 C 2(z2 1), y2 C 2 2C y z,
代回 z x , y2 C(C 2x)
y
抛物线
所求旋转抛物面方程： y2 z2 C(C 2x).
dy dx

F
y x

解
改写方程：dy dx

xy x2 y2

y/ x 1 ( y / x)2
齐次方程
令 z y , 则 y x z, dy z x dz
x
dx
dx
方程变为：
z

x
dz dx

1
z z2
,
1 z2 z3
dz

1 dx x
两边积分：

1 2z2
x
x
解 令 z y， dy zdx xdz，
x
( x x z cos z)dx xcos z(zdx xdz) 0,
cos z dz dx , x
sin z ln x C,
微分方程通解： sin y ln x C. x
9
解方程 x y dx ( x2 y2 )dy 0
2
例 2.2.2 求微分方程 dx x(1 x )的通解.
dt
10
解: 变形为
dx x(1
x
)

dt
10
积分得:

dx x(1
x
)


dt

C1
10
求积分得:
x
ln 10 x
t C1
解得:
x eC1et
10 x
3
记 eC1 C2 , 则
10 x 1 C2et , C2 0. 因为 x(1 x ) 0可得 x 0, x 10.
dV (t)
kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t) (4 )3 33V 3
21
12
引入新常数r (4 )3 33 k 再利用题中的条件得
dV
2
rV 3
V (0) 288
V (2) 36
dx
分离变量积分得方程得通解为
V (t) 1 (C rt)3 27
10
故所有的解为:
x

10 1 C2et
,
x

0,
x
10.
4
求方程 dy 2x 1 y2 的所有解。 dx
解 当 y 1时，
1
1
dy y2


2x dx,
arcsin y x2 C
通解：
y sin( x2 C ),
另 y 1也是解（不能用通解表示）。
dY f ( a1 X b1Y ).
dX
a2 X b2Y
14
(2) 若 a1 b1 0 则存在实数 , 使得:
a2 b2
a2 a1, b2 b1, 或者有 a1 a2 , b1 b2 .
不妨是前者, 则方程可变为
dy f ( a1 x b1 y c1 ).
17
变量分离后积分
(1 z)dz 1 z2

du u
arctan z 1 ln(1 z2 ) ln u C 2
还原后得原方程通解为
arctan y 2 ln (x 1)2 ( y 2)2 C x 1
18
求 dy x y 1 的通解. 非齐次型方程. dx x y 3
通解：
y(z ez) C
x
x yey C
12
三、 可化为齐次方程的方程
形如 dy f ( a1 x b1 y c1 )的方程可化为齐次方程.
dx
a2 x b2 y c2
其中 a1,b1,c1,a2 ,b2 ,c2 都是常数.
1. 当 c1 c2 0 时, 此方程就是齐次方程.

ln
z
ln x C,
回代 z y . x

x2 2 y2

ln
y

C.
10
x
求方程 (1 e y ) y dx ( x y)dy 的通解。
分析 把 x 看作 y 的函数,求解比较方便.
解 dx dy
1
x
( x 1). y
dx F x dy y
一、 变量可分离方程的求解
当 g( y) 0方程（2.2.1）两边同除以 g( y) 得 dy f (x)dx g( y)
这样对上式两边积分得到

dy g( y)


f
(
x)dx

C
例2.2.1求微分方程
x
dy

3
y2
的通解。
dx
1
解：变量分离后得
3
y 2 dy

dx
.
1 x
上式两边积分得 2 y 2 ln x c1.
1 ln 799 12 2397
0.09176 .
y(t
)

1

800
799e 0.09176t
.
y(60)

1
800
799e0.0917660

188,
y(72)

1
800
799e0.0917672

385.
25
车灯的反射镜面--旋转抛物面 解 设旋转轴 ox轴
yT
光源在(0,0), L : y y( x)
dx
dy k y (800 y), y(0) 1, y(12) 3
dx
分离变量
dy k d t,
y(800 y)
1 1 1 dy k dt, 800 y 800 y
两边积分,
ln y ln(800 y) 800k t ln 1 , C
x2 2xy y2 2x 6 y C. 20
§2.2.3变量可分离方程的应用
例:雪球融化问题 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t 时刻雪球的体积为 V (t) ，表面积为 S (t)
2. 当 c12 c22 0 时, 并且 (1) a1 b1 0 a2 b2
13
此时二元方程组
aa12
x x

b1 b2
y y

c1 c2

0 0
有惟一解 x h, y k.
引入新变量 x X h, y Y k.
此时, 方程可化为齐次方程:
28
精品课件！
29
精品课件！
30
作业
P.50 1（1，4，5，9，15） 2（1，3），6
31
解
1

1 2 0,
11
方程组
h h

k k

1 3

0 0
h 1,k 2
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
dY X Y , dX X Y
齐次型方程. 令 u Y ， Y u X， X
方程变为 u X du 1 u , dX 1 u
齐次方程
1e y
令 z x , 则 x y z dx z y dz ,
y
dy
dy
方程变为 z y dz dy
1
1 ez
(z
1)
11
z

y dz dy

1
1 ez
(z
1)
分离变量
1 z

ez ez
dz


1 y
dy
两边积分 ln(z ez ) ln y lnC