7-2磁场定理
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S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（故磁场是无源场.）
例1 如图载流长直导线的电流为
形面积的磁通量.
解 先求
I , 试求通过矩 B ，对变化磁场
给出dΦ 后积分求Φ
B
B 0I
B // S
2π x
I
d1 d2
o
l
dΦ BdS 0I ldx
2π x
Φ
S
B dS
百度文库
Ii
, 将 B从积分号中提出,最后解出磁感应强度 B 的i分1 布。
13
2. 应用举例
例1、求 无限长载流圆柱体的磁场。
解: (1) 对称性分析
(2)当 r R 时
Bdl
l
0I
B 0I
2π r
当 0rR 时
Ñl
vv Bdl
0
π r2 π R2
I
B
0 Ir
2π R2
例2 无限长载流圆柱面的磁场。
2. 磁通量
为了描述磁场的强弱, 规定磁场中某点处垂直
于
B
的单位面积上通过的磁力线数目,
等于该点
的
B
数值。
B
dS
B
S B
s
B ΔN ΔS
dΦ B dS
BdS cos
B dS1
1 B1 S
B2
2
dS2
磁场高斯定理
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
2.因为是无限长, 在与轴等距离的平行线上磁 感应强度相等。
16
取 L 矩形回路, ab 边、cd
c
d
边与轴平行,另外两个边bc
、da 垂直于轴。
Bb
a
根据安培环路定理
B dl B dl B dl B dl B dl
L
ab
bc
cd
da
管内为均匀磁场, 任一点的磁感应强度为
a）回路包围电流
vv
B dl Bdl cos
0I rd 0I d
2πr
2π
B dl
l
0I
B
I • d dl
r
P
L
设闭合回路l为任意形状， 且 (l与I成右螺旋关系)
若电流流向与回路绕行方向没有构成右螺旋关系 ，则
vv B dl
0 I
d
2π
vv
Ñ B dl l
0I
0 (I )
7
B1
R
无限长直载流密绕螺线管可以看作螺绕环的半径
时趋于无穷大时的极限情况。
19
§7.3~7.4磁场定理
一 磁场的高斯定理
1. 磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I
I
I
I
S
I
S
N
N
特点 （1） 磁场中的磁力线不会相交。 （2） 磁力线是闭合曲线, 没有起点, 没有终点。 （3） 磁力线和电流满足右手螺旋法则。
11
讨论
(1) 环路上各点的磁场为所有电流的贡献；但环流仅 与回路包围的电流有关。
(2) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系。
满足右螺旋关系时 Ii 0 ,反之 Ii 0 。
(3) 磁场是有旋场 — 电流是涡旋场的源
(4) 安培环路定律仅适用于稳恒的闭合电流。
注意：
B
dl不代表磁力的功,是磁场与电流的关系。
0Il
2π
d2
d1
dx x
x
Φ 0Il ln d2
2π d1
二 安培环路定理
vv
Ñ 静电场:
E dl 0
静电场的环流为零，静电场是保守场。
n
磁 场:
B dl
l
0
Ii
i 1
在真空的恒定磁场中, 磁感强度 B 沿任一闭合
路径的积分的值, 等于0乘以该闭合路径所穿过的
各电流的代数和。
6
1. 证明 以无限长载流直导线为例，回路L为任意形状。
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解: 0 r R, B d l 0 l
B0
r R,
Bdl
l
0I
B 0I
2π r
15
例3、 求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。
单位长度上有 n 匝的
无限长直螺线管由于是
密绕, 故每匝视为圆线
B
圈，且管外磁场为零。
由对称性,分析场结构 1.磁场只有与轴平行的水平分量；
B2
d
I
r1
dl1
dl2
r2
l
b)若电流在回路之外
v B2
v dl2
0I
2π
d
v B1
v dl1
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
电流在环路以外，它对磁场的环流没有贡献。
c)积分环路不平行垂直平面
I
dl// dl2
dl
磁场环流为
B dl B (dl// dl )
B dl B dl//
B dl
0I
等效于把磁场对环路的投影的积分。
9
d)多个线电流情况
I1
I2
I3
I4
P
dl
P 点的磁感应强度为
B B1 B2 B3 B4
磁场环流为
LB dl
L (B1 B2 B3 B4 ) dl
L
B1
dl
L
B2
L
12
利用安培环路定理, 可以计算具有一定对称性分 布的载流导线周围的磁场分布。
1.根据电流的对称性, 分析磁场分布的对称性。
2.选取适当的闭合回路L
3.规定回路L的饶行方向, 根据右手螺旋法则判定 电流的正负, 从而求出闭合回路所包围电流的代数和。
n
4.根据安培环路定理列出方程
B dl
l
0
Bab ab onI ab B 0nI
方向与电流满足右手螺旋法则。 17
例4、 求载流螺绕环内的磁场。
解: (1) 对称性分析:环内 B 线为同心圆, 环外
B 为零。
d
R
18
（2）选回路
vv
Ñl B dl 2 π rB 0NI
B 0NI
2πr
令 L 2πr
d
B 0 NI L 0nI
dl
L B3 dl L B4 dl
0(I3 I2)
0 I内
10
综上所述，得：
n
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中, 磁感强度 B 沿任一闭合路径
的积分的值, 等于0 乘以该闭合路径所穿过的各电
流的代数和。
注意电流 I 正负的规定: I 与 l 成右螺旋时, I 为正; 反之 I 为负。
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零
（故磁场是无源场.）
例1 如图载流长直导线的电流为
形面积的磁通量.
解 先求
I , 试求通过矩 B ，对变化磁场
给出dΦ 后积分求Φ
B
B 0I
B // S
2π x
I
d1 d2
o
l
dΦ BdS 0I ldx
2π x
Φ
S
B dS
百度文库
Ii
, 将 B从积分号中提出,最后解出磁感应强度 B 的i分1 布。
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2. 应用举例
例1、求 无限长载流圆柱体的磁场。
解: (1) 对称性分析
(2)当 r R 时
Bdl
l
0I
B 0I
2π r
当 0rR 时
Ñl
vv Bdl
0
π r2 π R2
I
B
0 Ir
2π R2
例2 无限长载流圆柱面的磁场。
2. 磁通量
为了描述磁场的强弱, 规定磁场中某点处垂直
于
B
的单位面积上通过的磁力线数目,
等于该点
的
B
数值。
B
dS
B
S B
s
B ΔN ΔS
dΦ B dS
BdS cos
B dS1
1 B1 S
B2
2
dS2
磁场高斯定理
dΦ1 B1 dS1 0
dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
2.因为是无限长, 在与轴等距离的平行线上磁 感应强度相等。
16
取 L 矩形回路, ab 边、cd
c
d
边与轴平行,另外两个边bc
、da 垂直于轴。
Bb
a
根据安培环路定理
B dl B dl B dl B dl B dl
L
ab
bc
cd
da
管内为均匀磁场, 任一点的磁感应强度为
a）回路包围电流
vv
B dl Bdl cos
0I rd 0I d
2πr
2π
B dl
l
0I
B
I • d dl
r
P
L
设闭合回路l为任意形状， 且 (l与I成右螺旋关系)
若电流流向与回路绕行方向没有构成右螺旋关系 ，则
vv B dl
0 I
d
2π
vv
Ñ B dl l
0I
0 (I )
7
B1
R
无限长直载流密绕螺线管可以看作螺绕环的半径
时趋于无穷大时的极限情况。
19
§7.3~7.4磁场定理
一 磁场的高斯定理
1. 磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感 强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强度 B 的大小.
I
I
I
I
S
I
S
N
N
特点 （1） 磁场中的磁力线不会相交。 （2） 磁力线是闭合曲线, 没有起点, 没有终点。 （3） 磁力线和电流满足右手螺旋法则。
11
讨论
(1) 环路上各点的磁场为所有电流的贡献；但环流仅 与回路包围的电流有关。
(2) 积分回路方向与电流方向呈右螺旋关系。
满足右螺旋关系时 Ii 0 ,反之 Ii 0 。
(3) 磁场是有旋场 — 电流是涡旋场的源
(4) 安培环路定律仅适用于稳恒的闭合电流。
注意：
B
dl不代表磁力的功,是磁场与电流的关系。
0Il
2π
d2
d1
dx x
x
Φ 0Il ln d2
2π d1
二 安培环路定理
vv
Ñ 静电场:
E dl 0
静电场的环流为零，静电场是保守场。
n
磁 场:
B dl
l
0
Ii
i 1
在真空的恒定磁场中, 磁感强度 B 沿任一闭合
路径的积分的值, 等于0乘以该闭合路径所穿过的
各电流的代数和。
6
1. 证明 以无限长载流直导线为例，回路L为任意形状。
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解: 0 r R, B d l 0 l
B0
r R,
Bdl
l
0I
B 0I
2π r
15
例3、 求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。
单位长度上有 n 匝的
无限长直螺线管由于是
密绕, 故每匝视为圆线
B
圈，且管外磁场为零。
由对称性,分析场结构 1.磁场只有与轴平行的水平分量；
B2
d
I
r1
dl1
dl2
r2
l
b)若电流在回路之外
v B2
v dl2
0I
2π
d
v B1
v dl1
0 I
2π
d
B1 dl1 B2 dl2 0
l B d l 0
电流在环路以外，它对磁场的环流没有贡献。
c)积分环路不平行垂直平面
I
dl// dl2
dl
磁场环流为
B dl B (dl// dl )
B dl B dl//
B dl
0I
等效于把磁场对环路的投影的积分。
9
d)多个线电流情况
I1
I2
I3
I4
P
dl
P 点的磁感应强度为
B B1 B2 B3 B4
磁场环流为
LB dl
L (B1 B2 B3 B4 ) dl
L
B1
dl
L
B2
L
12
利用安培环路定理, 可以计算具有一定对称性分 布的载流导线周围的磁场分布。
1.根据电流的对称性, 分析磁场分布的对称性。
2.选取适当的闭合回路L
3.规定回路L的饶行方向, 根据右手螺旋法则判定 电流的正负, 从而求出闭合回路所包围电流的代数和。
n
4.根据安培环路定理列出方程
B dl
l
0
Bab ab onI ab B 0nI
方向与电流满足右手螺旋法则。 17
例4、 求载流螺绕环内的磁场。
解: (1) 对称性分析:环内 B 线为同心圆, 环外
B 为零。
d
R
18
（2）选回路
vv
Ñl B dl 2 π rB 0NI
B 0NI
2πr
令 L 2πr
d
B 0 NI L 0nI
dl
L B3 dl L B4 dl
0(I3 I2)
0 I内
10
综上所述，得：
n
B dl 0 Ii
i 1
在真空的恒定磁场中, 磁感强度 B 沿任一闭合路径
的积分的值, 等于0 乘以该闭合路径所穿过的各电
流的代数和。
注意电流 I 正负的规定: I 与 l 成右螺旋时, I 为正; 反之 I 为负。