与椭圆有关的最值问题

与椭圆有关的最值问题

圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。

1 •定义法

2

与 i 的左右焦点分别为 F i 、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意

b 2 一点，则丨MP| + | MF 丨的最大值为 2a+ | PF i |，最小值为2a -| PF i 丨。

例2： 2 2

P(-2,6),F 2为椭圆x

y

i 的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求|

MP | + | MF |的最大值和

25 i6

最小值。

分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 i 。

解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | MF |连接PF i 并延长交椭圆于点 M i,则M 在M i 处时| MP | - | MF |取最大值| PF i |。二| MP | + | MF |最大值是i0+ , 37，最小值是,4i 。

2 2

结论2:设椭圆 笃 每 i 的左右焦点分别为F i 、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， a 2 b 2

则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF i |，最小值为 PF 2。

2. 二次函数法

2 2

例3•求定点A(a,0)到椭圆 务 £

i 上的点之间的最短距离。

a b

分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|

PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。

1

i

解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+i-

x 2= (x 2a)2+i-a 2

由椭圆方 2 2

2

例 i 。P(-2, .. 3 ),F 2为椭圆—

25 2

y i6

i 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求| MP| + | MF |的最大值

和最小值。

分析：欲求| MP| + | MF |的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F i 为椭圆的左焦点。

解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PF i 延长 PF i 交椭圆于点M i ,延长F i P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 -| PF |

| MP| - | MF |

2a=i0, | PF i | =2所以(| | PF i |当且仅当M 与M i 重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为

MP| + | MF |) ma>=i2,

(| MP I + | MF | ) min =8

2

x

结论i ：设椭圆 -

2 a

M i

M 2

2 2

3：椭圆1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式 a 2 b 2

I ，通过动点在椭圆上消去 y 或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。

3. 三角函数法

1上的点M(x,y)到直线I : x+2y=4的距离记为d,求d 的最值。

的参数方程，即三角换元。

2 2

结论4:若椭圆务与 1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时

，可通过椭圆的参数方程,

a b

统一变量转化为三角函数求最值。

4. 判别式法

例4的解决还可以用下面方法

把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。 解。令直线 m ： x+2y+c=0将x = - 2y - c 代入椭圆方程整理得

8y 2+4cy+c 2-4=0，由△ =0解得c=± 2^2 , c=-

2 2时直线m ： x+2y- 2. 2 =0与椭圆切于点P 则P 至憤线I 的距离为最小值，且最小值就是两平行

_4.5 2. 10

d mi n=—

5

c=2 ••一 2时直线m ： x+2y+2. 2 =0与椭圆切于点Q ,则Q 到直线I 的距离为最大值，且最大值就是两平行

程知x 的取值范围是卜、.2,、_2 ]

(1)

若 I a |w —,则 x=2a 时 I PA I min =』1

a 2

2 (2)

J 2

若 a> ,则 X=「J 2 时 I PA I min = I

2

a -

2 I

(3)

若 a<-

2

2

-H-*

,则 | PA | min = | 日+ 2 I

结论

2 x 例4:椭圆冷

4

分析：若按例3那样 d= x 2y 4

转化为x 或y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆

解：d=

x 2y

4 x5

x 2

x •••令

y 2cos sin

d=

2 cos 2sin 4

2

=5 、2 sin(

7)

当 sin (

-)=1 时,dm/5

2 10

4

当 sin (

斗 4 75 2怖

时,d max =—

直线m 与l 的距离，所以