高考数学复习知识点专题讲解13---空间向量与立体几何综合(培优版)

B. 2
C. 3
D. 1
【解析】B 因为向量 OP 在平面 OAB 的法向量投影的绝对值为 P 到平面 OAB 的距离，
d =| OP ⋅ a |= 6 = 2 |a| 3
所以 4、如图，空间四边形 ΑΒCD 中， Μ ， G 分别是 ΒC ，
CD
的中点，则
uuur ΑΒ
+
1
uuur ΒC
+
1
uuur ΒD
uur 易知平面 BDEF 的一个法向量 n2 = (1, 0, 0)
ur uur
∴
|
cos
<
ur n1,
uur n2
>|=
| |
nur1 n1
• ||
nuur2 n2
| |
=
cos
60o
解得 h = 2 4
uuur ∴ CF = (
3,1, 22
2 4
)
，易知面
ABCD
的一个法向量
uur n3
=
(0,
0,1)
，
uuur uur
2
∴ sinθ
uuur uur =| cos < CF , n3
>|=
| CuuFur • nuur3 | | CF || n3 |
=
4 32
=
1 3
4
∴直线
CF
与面
ABCD
所成角的正弦为
1 3
.
11、如图，已知边长为 6 的菱形 ABCD, ∠ABC = 1200 , AC 与 BD 相交于 O ，将菱形 ABCD
平面
PAD
的法向量为
p
=
(0,1,
0)
，所以
cos<n,
p>
=
|
n⋅ n ||
p p
|
=
1 2
.
由题知二面角 B − PD − A 为锐角，所以它的大小为 π . 3
（III）由题意知 M (−1, 2,
2
)
，
D(2,
4,
0)
，
uuuur MC
=
(3,
2,
−
2).
2
2
uuuur
设直线
MC
与平面
BDP
6= 3• 5
10 5
又平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的平面角为锐角，故所求二面角的平面角的余弦值
10
为。 5
9、如图，在斜三棱柱 ABC − A1B1C1 中，点 O 是 A1C1 的中点， AO ⊥ 平面 A1B1C1 . 已知 ∠BCA = 90o , AA1 = AC = BC = 2 . (1)求证： AB1 ⊥ A1C ; (2)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.
，， 设 P ( x，y) ，则 x2 = 2 y −1（其中 x ∈[−3 1]
y
∈
1 2
,
7 2
，
＝ PK 2
=
x2
+
(
y
−
4)2
=
2y
−1+
y2
−8y
+ 16
=
y2
−
6y
+ 15
当
y
=
3∈
1 2
,
7 2
时，
PK 2
|min
6，
＝ ＋ ＝ 故 HP2 |min 16 6 22 ．
三、解答题 7．（2017 年北京卷理）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，平面 PAD ⊥平面 ABCD，点 M 在线段 PB 上，PD//平面 MAC，PA=PD= 6 ，AB=4． （I）求证：M 为 PB 的中点； （II）求二面角 B-PD-A 的大小； （III）求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．
∵ AB / /CD ，∴ ∆AOB ∽ ∆COD .
∴ BO = AB = 2 ，∴ BO = 2 BD = EF ，
DO CD
3
又 EF / / BD ，∴四边形 BOEF 为平行四边形.
∴ EO / / FB .
又∵ EO ⊂ 面 ACE ， FB ⊄ 面 ACE ，
∴ FB / / 面 ACE .
又∵ PG ∩ DG = G ∴ AB ⊥ 面PGD
P
又∵ PG ⊂ 面PGD ∴ AB ⊥ PD
………5
分
B
C
（2）又∵ PG ⊥ AB ， 面PAB ⊥ 面ABCD ， A
且 面PAB ∩ 面ABCD = AB
D
G
∴ PG ⊥ 面ABCD
∴以 G 为原点，GA，GD，GP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 z
A．21
B．22
C．23
D．25
2 / 32
【答案】B
【解析】在 BB1 上取点 K ，使得 B1K＝1 ，则 HK ⊥ 面 BCC1B1 ，连结 PK ，则
＝ ＋ ＝ ＋ HP2 HK 2 PK 2 16 PK 2 ．在平面 BCC1B1 上，以 CC1 所在直线为 x 轴，以 GF 所在直
线为 y 轴，由题意可知， P 点轨迹为抛物线，其方程为 x2＝2 y −1， K 点坐标为 (0，4) ，
为菱形， AD = 2 ， ∠BAD = 600 .
（1）求证： AB ⊥ PD ； B
（2）求平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦值。
【解析】（1）证：取 AB 边中点 G，连接 PG，DG，DB。A
C D
∵ PA = PB = 3 ∴ PG ⊥ AB
………2
分
又∵四边形 ABCD 为菱形且 ∠BAD = 600 ∴ ∆ABD 为等边三角形 ∴ DG ⊥ AB
【解析】建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz,
( ) ( ) 则 A 0, 0, 3 , A1 (0, −1, 0) , C1 (0,1, 0) , B1 (2,1, 0) , C 0, 2, 3
( ) ( ) uuuur
uuuur
uuuur uuuur
（1）Q AB1 = 2,1, − 3 ,Q A1C = 0,3, 3 ,∴ AB1 ⋅ A1C = 0 ,∴ AB1 ⊥ A1C
因为 PA = PD ，所以 OP ⊥ AD .
又因为平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ，且 OP ⊂ 平面 PAD ，所以 OP ⊥ 平面 ABCD .
因为 OE ⊂ 平面 ABCD ，所以 OP ⊥ OE .
因为 ABCD 是正方形，所以 OE ⊥ AD .
如图建立空间直角坐标系 O − xyz ，则 P(0, 0, 2) ， D(2, 0, 0) ， B(−2, 4, 0) ，
3 )
3
uuuur r ∴sinθ = − cos < A1C1, n >=
21 7
6 / 32
∴ A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值为
21 . 7
10、如图，四边形 ABCD 中， AB / /CD ，∠ABD = 30o ， AB = 2CD = 2AD = 2 3 ，DE ⊥ 面 ABCD ， EF / / BD ，且 EF = 2 BD .
14 ×
14 × 3
5 =6
5.
源自文库
7
6、如图，已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 棱长为 4，点 H 在棱 AA1 上，且 HA1 = 1，在侧面
BCC1B1 内作边长为 1 的正方形 EFGC1 ， P 是侧面 BCC1B1 内一动点，且点 P 到平面
CDD1C1 距离等于线段 PF 的长，则当点 P 运动时，| HP |2 的最小值是（ ）
∴G(0，0，0), P(0,0, 2) ， C(−2, 3,0) ， D(0, 3,0)
P
∴ PC = (−2, 3,− 2) ， PD = (0, 3,− 2)
∵ 面PAB ⊥ 面ABCD ，且 面PAB ∩ 面ABCD = AB ， DG ⊥ AB ∴ DG ⊥ 面PAB
B
G
A
∴ GD 为 面PAB 的法向量，且 GD = (0, 3,0)
等于（
）
22
uuur A． ΑD
uuur B． GΑ
1 / 32
uuur C． ΑG
uuuur D． ΜG
【答案】C
【解析】
试题分析： 如图所示，连结 BG,AG ，则由 G 是 CD 的中点
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 可得 BC+BD=2BG ，又 AB+BG=2AG ，故
所成角为α
，则 sin α
=|
uuuur cos<n, MC> |=
|
n ⋅ MuuCuur|
=
2
6.
| n || MC | 9
4 / 32
所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 2 6 . 9
8．如图，在四棱锥 P—ABCD 中， 面PAB ⊥ 面ABCD ，PA = PB = 3 ，且四边形 ABCD P
（2）∵ DE ⊥ 面 ABCD
7 / 32
∴ DE ⊥ DA ， DE ⊥ DB ， 分别以 DA, DB, DE 所在直线建立如图所示空间直角坐标系，
则 B(0, 3, 0),C(− 3 , 3 , 0) ，设 DE = h ，则 F (0, 2, h) 22
uuur ∴ BC = (−
3
,
−
∴(k −1, k, 2) (3, 2, −2) = 5k − 7 = 0, 解得 k = 7 ，故选 D． 5 r
3、在空间直角坐标系 o − xyz 中，平面 OAB 的法向量为 a = (2, − 2,1) , 已知 P (－1, 3, 2) ，
则 P 到平面 OAB 的距离等于 （ ）
A． 4
x
C D
y
5 / 32
设 n = (x1, y`, z1) 为 面PCD 的法向量 − 2x1 + 3y1 − 2z1 = 0 3y1 − 2z1 = 0
令 z1 = 3 ，则 y1 = 2 ，且 x1 = 0
∴ n = (0,
2, 3) ∴ cos < GD, n >= GD • n = GD • n
高考数学复习知识点专题讲解
第十三讲 空间向量与立体几何综合 A组
一、 选择题
rr
r
rr
r
1、已知 a, b 是非零向量，若向量 a 是平面α 的一个法向量，则“ a ⋅b = 0 ”是“向量 b 所在
的直线平行于平面α ”的（
）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
【解析】（I）设 AC, BD 交点为 E ，连接 ME .
∥ ∥ 因为 PD 平面 MAC ，平面 MAC I 平面 PBD = ME ，所以 PD ME .
3 / 32
因为 ABCD 是正方形，所以 E 为 BD 的中点，所以 M 为 PB 的中点.
（II）取 AD 的中点 O ，连接 OP ， OE .
uuur
uuur
BD = (4, −4, 0) ， PD = (2, 0, − 2) .
设平面
BDP
的法向量为
n
=
(x,
y,
z)
，则
n
⋅
uuur BD uuur
=
0
，即
4 x
−
4
y
=
0
.
n ⋅ PD = 0 2x − 2z = 0
令 x = 1 ，则 y = 1， z = 2 .于是 n = (1,1, 2) .
沿对角线 AC 折起，使 BD = 3 2 ．
8 / 32
( ) uuuur
uuuur
uuuur
(2) 设 A1C1 = (0, 2, 0) A1B1 = (2, 2, 0) A1A = 0,1, 3 , 设 平 面 AA1B1 的 一 个 法 向 量 是
r n
=
(
x,
y,
z
)
，则
uuuur uAu1uBur1
r ⋅n r
=
0
，
A1A ⋅ n = 0
r 令 x = 1，得 n = (1, −1,
【答案】 6 5
【解析】
因
为
rr cos < a, b >=
rr ra ⋅br
= 2 × (−2) + 3×1+ (−1) × 3 = − 2
,
所
以
| a || b |
14 × 14
7
rr sin < a,b >=
1− (− 2)2 = 3
5
,故所求的平行四边形的面积为
77
rr
rr
| a || b | sin < a,b >=
答案：B
2、已知向量 a = (1,1,0) ，b =(−1,0,2) ，且 k a + b 与 2a − b 互相垂直，则 k 的值是（ ）
A．1
B. 1
C. 3
D. 7
5
5
5
【解析】 D k a + b = (k −1, k, 2), 2a − b = (3, 2, −2), k a + b 与 2a − b 互相垂直，
3
,
0)
，
uuur BF
=
(0,
−1,
h)
，
22
ur 设平面 BCF 的法向量为 n1 = (x0, y0 , z0 ) ，则
nuurr1
•
uuur BC uuur
=
0
，即
−
3 2
x0
−
3 2
y0
=
0
，
n1 • BF = 0
− y0 + hz0 = 0
ur 取 z0 = 1 ，有 n1 = (− 3h, h,1)
( ) uuur
ΑΒ
+
1
uuur ΒC
+
1
uuur ΒD
=
uuur ΑΒ
+
1
uuur uuur ΒC + ΒD
uuur uuur uuur = ΑΒ + ΒG = ΑG
22
2
二、填空题
r
r
rr
5、若 a = (2,3, −1) , b = (−2,1,3) ,则 a,b 为邻边的平行四边形的面积为
．
3 （1）求证： FB / / 面 ACE ；
（2）若二面角 C − BF − D 的大小为 60o ，求 CF 与面 ABCD 所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：设 AC 交 BD 于 O ，连接 EO ，在 ∆ABD 中，由余弦定理可得：DB = 3 .
∴ AD2 + BD2 = AB2 ，∴ AD ⊥ DB ，