一元二次方程的几何应用

实际问题与一元二次方程

面积问题

一、选择题

1.有一张画的尺寸是12×18，要在它的四周镶上一样宽的银边.如果使银边的面积正好与画面积相等，那么银边应当有多宽？设银边的宽为x ，根据题，如下四个方程中，错误的是（ ）

A. ()181********

⨯=++x x x B. ()181********⨯=⨯++x x x C. ()()[]181212182⨯=+++x x x D. ()()121812182

1⨯=++x x 2.小明家的饭桌桌面是一个长方形，其长为150㎝，宽为80㎝，现要在桌面上铺一块桌布，已知桌布的面积是桌面面积的2倍，全桌面四周垂下的边均为x ㎝，则所列方程为（ ）

A.()()2801502802150⨯⨯=++x x

B. ()()28015080150⨯⨯=++x x

C. ()()8015080150⨯=++x x

D. ()80150801502⨯=+x x

3.有一个面积为16㎝2的梯形，它的一条底边长为3㎝，另一条底边长比它的高线长1㎝，若设这条底边长为x ㎝，依据题意，列出整理后得（ ）

A. 03522=-+x x

B. 07022=-+x x

C. 03522=--x x

D. 07022

=+-x x

4.从一块正方形的铁版上剪掉2㎝宽的长方形铁片，剩下的面积是48㎝2，则原来铁片的面积为（ ）

A.64㎝2

B.100㎝2

C.121㎝2

D.144㎝2

二填空题

5.用22㎝长的铁丝折成一个面积为30㎝2的矩形，若这个矩形的长为x ㎝，依题意可列一

元二次方程.

6.如图①，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），

把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m 2，求道路宽为多少？

设宽为x m ，从图②的思考方式出发列出的方程是；

三、解答题

7.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m

长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花① ②

园的面积为300m 2

．

8.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

9.某小区有一长100m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下：阴影区域为绿化区（四块绿化区是全等矩形），空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m ，不大于60m ．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．

（1）设一块绿化区的长边为x m ，写出工程总造价y 与x 的函数关系式（写出x 的取值范围）．

（2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．（参考值：3 ≈1.732），

参考答案

1.D ；

2.A ；

3.A ；

4.A ；

5.()3011=-x x ；

6.()()57020232=--x x ；

7.解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．

根据题意可得，x（50﹣2x）=300，

解得：x1=10，x2=15，

当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，

故x1=10（不合题意舍去），

答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．

8.设小道进出口的宽度为x米,根据题意有：

（30-2x）（20-x）=532．

整理得：x2-35x+34=0．

解得：x1=1,x2=34．（∵34＞30,∴不合题意,舍去）

∴x=1．

∴小道进出口的宽度应为1米

9.解：（1）矩形的宽为

()

2

2

100

80x

-

-

=x﹣10，

∴y=50·x（x﹣10）·4+60[100×80﹣4x（x﹣10），

即：y=﹣40x 2 +400x+480000，

∵x>0，x﹣10>0，50≤100﹣2x≤60，

即：x的取值范围是20≤x≤25．

答：工程总造价y与x的函数关系式是y=﹣40x 2 +400x+480000，x的取值范围是20≤x≤25；（2）46.9万元=469000元，

根据题意得：﹣40x 2+400x+480000≤469000，

即：（x﹣5） 2﹣300≥0，

解得：x≤﹣12.32，或x≥22.32，

∵由（1）知20≤x≤25，22.32≤x≤25，

∴x能取23、24、25．

所以只有3种方案：①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；

③当x=25时，y=445000．

答：如果小区投资46.9万元，能完成工程任务．x为整数的所有工程方案是：

①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；③当x=25时，y=445000．