向量组的线性组合PPT讲稿

又因解为x1７， x2５ ， x３０
所以 b ７a1５a2 ０a３
例6．判断向量b1(4, 3, -1, 11) T与b2(4, 3, 0, 11) T是否 各为向量组a1(1, 2, -1, 5) T，a2(2, -1, 1, 1) T的线性组合。
若是，写出表示式。
解：(1)考虑线性方程组x1a1x2a2 b1。因为
例2．任何一个n维向量a(a1, a2, , an) T都是n维向量组 e1(1, 0, , 0) T ，e2(0, 1, , 0) T ， ，en(0, 0, , 1) T的线
性组合。
这是因为aa1e1 a2e2 an en。 向量组e1，e2， ，en称为n维单位向量组或n维基本向量组 结论：任何一个n维向量a(a1, a2, , an)都可由n维单位向
aHale Waihona Puke Baidu1 a12
a21
a22
an1 an2
线性方程组 Ax = b 有解
a1m 1
a2m
2
b
anm
m
R( A) R( A,b)
17
4。向量组的等价．
定义：设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若 向量组 B 中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称向 量组 B 能由向量组 A 线性表示． 若向量组 A 与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个向量 组等价．
2 -1 3 0 -5 -5 0 1 1
-1 1 0
034
034
5 1 11
0 -9 -9
000
124 011 ，
001 000
秩(a1 a2 b2)秩(a1 a2)，所以b2不能由a1，a2线性表示。
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例7．设向量a1(1, 2, 3) ， a2(0,1,4) ， a3(2, 3, 6) b(-1,1, 5)，证明b由向量组a1，a2， a3线性表示并写出具体
1 1 1 1 1 0 3 2
(
A,
b)
1
2
-1
0
r
~
0
1
-2
-1
2 1 4 3 0 0 0 0
2 3 0 1 0 0 0 0
因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示．
15
1 1 1 1 1 0 3 2
(
A,
b)
1
2
-1
0
r
量组或n维基本向量组线性表示
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1 0 0
例：设
E
e1 , e2 , e3
0
1
0
0 0 1
e1, e2, e3的 线性组合
2 1 0 0
那么
b
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0 0
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3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法：
定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示
的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程 组
x1a1 x2a2 xm am b
有解。 ➢➢➢
a11x1 a12x2 a1mxm b1
x1a1 x2a2 xm am b
的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程
组 x1a1T x2a2T xm amT bT有解。 ➢➢➢
推论：
（1） n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示 秩(a1 a2 am)=秩(a1 a2 am b)
（2） n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示 秩(a1T a2 T amT)=秩(a1T a2T amT bT)
向量组的线性组合课件
(一)、向量组的线性组合 1。向量组： 定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成
的集合称为向量组．
2。向量组的线性组合与线性表示
定义1 对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。
a21x1 a22x2 a2mxm b2
讨论： 上述线性方程组在什么情an况1x1下 有an2解x2？ anmxm bn
提示： 线性方程组 x1a1 x2a2 xm am b
有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，
即矩阵(a1 a2 am)与矩阵(a1 a2 am b)的秩相等。
的表示式。
解：考虑线性方程组x1a1Tx2a2T x3a3T bT。因为
1 0 2 -1 1 0 0 1 ( a1T a2Ta3T bT) 2 1 3 1 0 1 0 2
3 4 6 5 0 0 1 -1
秩( a1T a2Ta3T bT) 秩( a1T a2Ta3T)，所以b可由a1，a2 ， a3
0
0
En
0
0
1
0
0 0 0
1
n 阶单位矩阵 En 的列向量叫做 n 维单位坐标向量．
6
定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。
定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。 。
例1．设 a1(1, 0, 0)，a2(0, 1, 0)，a3(0, 0, 1)，则 ∵b2a1-a2a3 2(1, 0, 0)-(0, 1, 0)(0, 0, 1) (2, -1, 1)， b(2, -1, 1)是向量组a1，a2 ，a3的一个线性组合， 也就是b可由a1，a2 ，a3线性表示。
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例5
设
2
1
-1
2
b 3 ,a1 -1,a2 2 ,a3 - 3
-1
2
-
3
6
判断向量b是否为向量组a1 ，a2 ， a３ 的线性组合。
若是，写出表示式。
解：设x1a1x2a2 x３a３b 由此可得线性方程组
-xx11
- x2 2x2
2x3 - 3x3
b1,b2,
, bl a1, a2 ,
, am
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
kml ml
20
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
线性表示。 因为线性方程组的解为x11， x22， x3-1，
所以b a12a2 -a3
1
1
1 1
例：设
a1
1 2
,
a2
2 1
,
a3
-1 4
,
b
0
3
2
3
0
1
证明向量 b 能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式．
解：向量 b 能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) ．
a11 a21
a12 a22
a1l a2l
b1T b2T
rmT
am1
am 2
aml
blT
结论：矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示， A 为这一线性表示的系数矩阵．
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例6．判断向量b1(4, 3, -1, 11) T与b2(4, 3, 0, 11) T是否 各为向量组a1(1, 2, -1, 5) T，a2(2, -1, 1, 1) T的线性组合。
若是，写出表示式。
解： (2)考虑线性方程组x1a1x2a2 b2。因为
( a1 a2 b2)
124
124
124
22
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
则
r1T r2T
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3。 b可由a1，a2， ，am线性表示的判定方法：
定理 n维列向量b可由n维列向量组a1，a2， ，am线性表示
的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程
组 x1a1 x2a2 xm am b有解。 ➢➢➢ 定理′ n维行向量b可由n维行向量组a1，a2， ，am线性表示
例3．零向量是任何一组向量的线性组合。
这是因为o=0a1 0a2 0 am 注意：对k1，k2， ，km未加任何限制；特别是未限制 k1，k2， ，km不全为零。 例4．向量组a1，a2 ， ，am中的任一向量i(1im)都是
此向量组的线性组合。
这是因为ai0a1 1ai 0 am 。
设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 b2 k12a1 k22a2
km1am km2am
bl k1la1 k2la2 kmlam
线性表示的 系数矩阵
k11 k12
16
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
x1a1 x2a2
xmam a1, a2 ,
x1 a11 a12
, am
x2
a21
a22
xm an1 an2
a1m x1
a2m
x2
anm xm
b 1a1 2a2 mam
P.83 定理1 的结论： 向量b 能由 向量组 A 线性表示
18
例1．向量组a1 =(1, 2) T ，a2 = (1, 1) T ，a3 = (2, 3) T可以由 基本向量组e1(1, 0) T，e2(0, 1) T 线性表示； 同时因为向量组e1(1, 0) T =-a1 T+2a2 T，e2(0, 1) T = a1 T-a2T，即向量组e1 ， e2可由向量组a1，a2，线性表示； 所以向量组a1，a2与向量组e1，e2等价
2 3
2x1
- 3x2
6x3
-1
解此线性方程组
-xx11
- x2 2x2
2x3 - 3x3
2 3
2x1 - 3x2 6x3 -1
∵增广矩阵 1 -1 2 2
（a1a2a３b ） -1 2 - 3 3
2
-3
6
-1
1 0 0 7
0 1 0 5
0
0
1
0
因为线性方程组有解，所以b 可由a1，a2 ，a３线性表示
~
0
1
-2
-1
2 1 4 3 0 0 0 0
2
3
0
1
0
0
0
0
行最简形矩阵对应的方程组为
x1
3x3 2 x2 - 2x3 -1
-3 2 -3c 2
通解为
x
c
2
-1
2c - 1
1 0 c
所以 b = (－3c + 2) a1 + (2c－1) a2 + c a3 ．
( a1 a2 b1)
124
124
124
2 -1 3 0 -5 -5 0 1 1
-1 1 -1
033
000
5 1 11
0 -9 -9
000
102 011 ，
000 000
秩(a1 a2 b1)秩(a1 a2)，所以b1可由a1，a2线性表示。 因为线性方程组的解为x12， x21，所以使2a1a2 b。
0
b2
0
1
0
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn
0
bn 0 0 0
1
5
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
1 0 0
0
0
1
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
b11 b12
b1n
则
c1,c2,
, cn a1, a2 ,
, al
b21
b22
b2n
bl1 bl 2
bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．
注意（：1）向量组a1，a2 ，a3 的线性组合有无穷多个 （2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示； 也有可能不能由向量组a1，a2 ，a3 的线性表示。
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定义1对于向量组a1，a2， ，am ，如果有一组数
k1，k2， ，km，使
bk1a1k2a2 kmam， 则称向量b是向量组a1，a2 ， ，am的一个线性组合， 或称b可由向量组a1，a2 ， ，am线性表示。