菱形难题组卷答案

答案

四．填空题（共29小题）

1．（2012沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF 的面积为16cm2．

考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．

专题：压轴题．

分析：连接BD，可得△ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：如图，连接BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），

∴△ABD是等边三角形，

∴DE=AD=×8=4cm，

根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，

×8×4=16cm2．

故答案为：16．

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键．

2．（2012•湖州）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若=，则△ABC的边长是12．

考点：菱形的性质；等边三角形的性质．

专题：压轴题；规律型．

分析：

设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的

面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．

解答：

解：设正△ABC的边长为x，则高为x，

S△ABC=x•x=x2，

∵所分成的都是正三角形，

∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）=x﹣1，

∴黑色菱形的面积=（x﹣）（x﹣1）=（x﹣2）2，

∴==，

整理得，11x2﹣144x+144=0，

解得x1=（不符合题意，舍去），x2=12，

所以，△ABC的边长是12．

故答案为：12．

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．

3．（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（﹣5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标（8，0）或（，0）．

考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．

专题：压轴题．

分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP=OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8，

∴在Rt△AOD中，AD==10，

∵E为AD中点，

∴OE=AD=×10=5，

①当OP=OE时，P点坐标（﹣5，0）和（5，0）；

②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；

③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点

P，

∴EK∥OA，

∴EK：OA=ED：AD=1：2，

∴EK=OA=3，

∴OK==4，

∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，

∴△POF∽△EOK，

∴OP：OE=OF：OK，

即OP：5=：4，

解得：OP=，

∴P点坐标为（，0）．

∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：（8，0）或（，0）．

故答案为：（8，0）或（，0）．

点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．

4．（2012•鄂尔多斯）如图，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是．

考点：菱形的性质．

专题：压轴题．

分析：作出图形，确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时，菱形的周长最大，设菱形的边长为x，表示出AB，然后利用勾股定理列式进行计算求出x，再根据菱形的四条边都相等解答．

解答：解：如图，菱形的周长最大，

设菱形的边长AC=x，则AB=4﹣x，

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，

即x2=（4﹣x）2+12，

解得x=，

所以，菱形的最大周长=×4=．

故答案为：．

点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，确定出菱形的周长最大时的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．

5．（2012•杭州）已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为15 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为1或9cm．

考点：菱形的性质；认识立体图形；几何体的展开图．

专题：压轴题．

分析：由底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，由体积=底面积×高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，即可求得底面菱形的周长与BC边上的高AE的长，由勾股定理求得BE的长，继而求得CE的长．

解答：解：∵底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，

∴这个棱柱的下底面积为：150÷10=15（cm2）；

∵该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，

∴底面菱形的周长为：200÷10=20（cm），

∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5（cm），

∴AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3（cm），

∴BE==4（cm），

∴如图1：EC=BC﹣BE=5﹣4=1（cm），

如图2：EC=BC+BE=5+4=9（cm），

故答案为：15；1或9．

点评：此题考查了菱形的性质、直棱柱的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意审题，掌握直棱柱体积与侧面积的求解方法．