确定性库存模型

Q
O
T
精品课程《运筹学》
图7.2.1
t
第二节 确定性库存模型
设货物的单价或生产成本为 p ，所以一个运
行周期内（订货一次）货物存储费用为 b ， ' ' 货物的买价为 Qp ，储存费用为1 （ 为一 Qb b 2 个周期内单位货物的储存费）。由于不存在缺 货，所以一个运行周期的总成本为存储费用、 买价、储存费用之和。 设在计划期内共订货 次，由 n 1 T 知 计划期内总费用最小的储存模型为
③总费用在减少。此时
f
*

2abDR/(b R) PD
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第二节 确定性库存模型
④如让 R 则两模型最优解一致。 T * 2a / Db T1* 2a / bD
和T
的函数，式(7.2.5) 变为
2 2 1 min f 1 bQ / DT R ( DT Q ) / DT a / T PD 1 1 2 2
解之得：
*
T 2a(b R) / RDb
2aD(b R) / Rb 2aDR/ b(b R) 2abD/ R(R b) 2aR / b(b R)D
全年共采购30次，总成本为 1200800+20150+30100=966000（元）
§2.2 瞬时供货，允许缺货的经济批量模型
本模型允许缺货，但缺货损失可以定量计 算，其余条件和模型(7.2.1) 相同。缺货时存储 量为零，由于允许缺货，所以可以减少订货和 存储费用；但缺货会影响生产与销售，造成直 接与间接损失。
第二节 确定性库存模型
§2.1 瞬时供货， 不允许缺货的经济批量模型 §2.2 瞬时供货，
允许缺货的经济批量模型
§2.3 供应速度有限的不缺货库存问题 §2.4 供应速度有限允许缺货的库存问题
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第二节 确定性库存模型
本节假定在单位时间内(或称计划期)的需求 量、货物供应速率、订货费、缺货费为常数。 在每个区间开始订购或生产货物量，形成循环 存储策略。
当(7.2.3) 非整时，采购次数可选用[ Db / 2a ]或 [ Db / 2a ]+1两个整数中使采购费用较少者作 为最优选择。
第二节 确定性库存模型
略去常数项 p D 后，记
D Q f1 1 Qb a 2
f
下降
上升
f1பைடு நூலகம்
1 2
Qb
aD / Q
* 图7.2.2 Q
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2 aD b
第二节 确定性库存模型
(7.2.2)是总费用最小的订货批量，称其为经济订 货批量（Economic Ordering Quantity),缩写 为EOQ。 当采用最佳批量时，计划期应采购的次数、费用 为n Db / 2a
f * 2aDb pD
(7.2.3)
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Q1T1b ' / 2T
，
1 min f 1 T bD 2 1 2 RD(Q Q1 )(T T1 ) / Q aD / Q PD
(7.2.5)
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第二节 确定性库存模型
Q DT , Q1 DT1 , Q, Q1 , T , T1 0
将其视为 Q1
n
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第二节 确定性库存模型
瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型为
D min f (Q) 1 Qb a 2 Q pD
(7.2.1)
(Q 0)
由微分学知识，f (Q ) 在 Q * 处有极值的必要条件 df 为 dQ* 0 解之并舍去负根，得
Q
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*

(7.2.2)
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第二节 确定性库存模型
在一个周期内的平均存量为Q1T1 / 2T ，平均缺货 量为ST2 / 2T ，或者表示为S (T T1 ) / 2T。在一个周
期内的费用为存储费 ， 缺货 ' R (Q Q1 )(T T1 ) / T ，订 货费 费SR' (T T1 ) / 2T 1 2 QP a 买价 总费用最小的存储模型为
订货的成本为100元，每吨材料年平均储存成 本为150元，每吨材料买价为800元，要求计算 经济批量及全年最小总成本。
已知
D =1200, p =800 , a=100 , b=150
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第二节 确定性库存模型
经济批量 Q * =
2 1200100/ 150 =40（吨）
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第二节 确定性库存模型
图：
Q
Q1
S
T1
t
T2
图7.2.3
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第二节 确定性库存模型
假设周期 T T1 T2 ， Q1 为周期 T 内的最大存
储量， S 为周期 T 内的最大缺货量，并设单 位时间缺货费用为 R ，则 T1 为存储量为正的 时间周期， T2 为存储量为负的时间周期.采用缺 货预约存储策略，所以在一个周期内的订货量 仍为 Q DT，在 T1 内有存量，需求 为 Q1 DT1 ，在 T2 内缺货量为 S DT2 ，不 难看出 Q Q1 S D(T1 T2 ) (7.2.4)
§2.1 瞬时供货，不允许缺货的经济批量模型
①需求是连续均匀的，设需求速率为 D ；
②当存储量降至零时，可立即补充，不会造成缺货 （即认为供应速率为无穷）； ③每次订货费为 a ，单位货物的存储费为 ，都为常 数； ④每次订货量都相同，均为 Q 。 精品课程《运筹学》
b
第二节 确定性库存模型
存储状态的变化图：
第二节 确定性库存模型
从上图看出：在
1 处， Q 2 Qb aD / Q 。 * * df * df1 Q 当 Q Q , dQ 0 ；当 Q Q , dQ 0 。这说明 左 侧，成本递减，在 Q *右侧，成本递增， Q* 处 成本最小 。
*
1
例7.2.1 设大华工厂全年需甲料1200吨，每次
(7.2.6)

Q* * Q1 S* T1*
(7.2.7)
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第二节 确定性库存模型
可以看出此模型有如下特点： ① 订货周期延长，订货次数在减少。
T*
2a(b R) / RDb
2a / Db
2aD / b
② 订货量在增加。 Q* 2aD(b R) / Rb