第 章保角变换 数学物理方法

的夹角 ,等于它们在映射 1下所映成的通
z
过原点 0的两条象曲线的,则夹分角式线
性映射是保.角的
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3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性 分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射
成扩充w平面上的圆周, 即具有保圆性.
注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周. 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无
保角变换
复变函数在几何意义上实际上相当于将平 面上的区域变成了平面上的另一个区域（简称 为映射）． 应用：利用复变函数（特别是解析函数）所构 成的映射来实现复杂区域的简单化，这将给实 际问题的研究带来很大的方便．而利用保角变 换法求解数学物理方程边值问题．
1
本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的 映射； 3）典型实例描述保角映射的应用．
3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
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5. 几个初等函数所构成的映射
1)幂函 w zn(数 n2). 映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原 点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
(z)
0 0
w zn zn w
(w)Hale Waihona Puke Baidu
n 0
0
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特殊地: wzn将角 0形 arz 域 g2共形w 映 平射 面成
重点： 分式线性变换及其映射特点
难点： 分式线性变换与初等函数相结合，求一
些简单区域之间的映射
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第一节 保角映射的概念
1. f (z) 的几何意义
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1 )导 f(数 z0)0 的A 幅 fr (z 角 0 g )是C 曲 经线 过 w f(z)映射 z0 处 后 的 在 . 转动角 2) 转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向 无关. 3)保角性
y
i
(w1 )
• O
1x
w1
z z
i i
1
•i O
i
30
yi • O
i
1x
1 wf(z) v (w)
(w1 ) • i w2iw 1 O
wew3
i (w2 )
O
w3w2
i (w3 )
Ou
放映结束，按Esc退出.
O
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穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周;如果 有一个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线.
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4）分式线性映射具有保对称性. 设z1,点 z2是关C 的 于一 圆对 周 ,那对 么
在分式,线 它性 们w 映 的 1,w 2也 射 象是 下 点关 C的象曲 的线 一对对 . 称点 这一性质称为保对称性.
故命题得证.
[证毕]
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例6 试将如图所示的区域映射到上半平面.
解 取分式线w 性 1 映 zzii射 , 将切 i映 点射 w1 为 ,并将 zi映射 w1 为 0.
yi
•
O
1x
由分式线性映射的保圆性知：
i
w 1将两相切两 的平 圆行 周 (且 w 的 映 1(1)直 射 i). 取旋转 w 2e变 2iw 1 换 iw 1将铅直带形域
w w 1:w 3 w 1z z1:z3 z1. w w 2 w 3 w 2 z z2 z3 z2
交比不变性
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对确定区域的映射
在分式线性映射下, C的内部不是映射成 C的内部便 C的 映外 射 . 部 成 判别方法:
方法1 在分式线性映射下, 如果在圆周C内任取 一 z0,点 若 z0 的C 象 内 ,在 则 部 C 的内部 C 的;若 内 z 0 的 部 C 象 外 ,则 在 C 部 的内部 为C的外. 部
例3 求一个分式线性映w射f(z) 映成圆w2i2 ，且满足条件
f( 2 ) i,af r ( 2 ) g 0 .
解 令 z2, w 22 iw 1,
w1g(), 1 w1g() w1 1,
0 w1i 22i2 i,
它z将2圆1
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当 w1g()时，
g1(w1)ei
w1i 2, 1iw1 2
相交z0于 的点 任意C 两 1与 C 条 2之曲 间线 的 夹角在其大小和方向上都等同于经过 wf(z)
映射 C 1 与 C 2 对 后应 跟 1 与 的 2 之曲 间 . 线 的 映射 wf(z)具有保持两的 曲大 线小 间和 夹 方向不变的性质, 此性质称为保角性.
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4）伸缩率
极限 f(z0)lz izm 0 s(s表C 示 上z点 0与 z间的 弧,长 表 示 上对w 应 0与 w 的 之间的 )的 弧 值 长 称
因 w e 为 iz e y (c x i o sx i s )n 所 u e 以 y cx o ,v s e y sx i ,n
u 2 v 2 e 2 y , v u ta x , n
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又 R z ) 因 x e C 1 ,I (z ) 为 m y C 2(
u 2 v 2 e 2 C 2 ,v u ta C 1 . n 由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，
解 因 z 1映成 w 1的映射为
w f(z)eiz a (a 1 ) 1 a z
因为a 1, 2
所以 wei2z1, 2z
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又因 f(z)ei(2 3z)2, 所以 f124e3i 0,
argf12 2 k π ( k 0 , 1 , 2 )
所求映 w 射 2z为 1. 2z
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称为分式线性映射. 任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的 分式映射复合而成:
(1)平移w 映 z 射 b;
(2)旋转与相似w映 a射 z; (3)反演映 w射 1.
z
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分式线性映射的性质 1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应. 2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.
如果规定两条伸向 远无 的穷 曲线z 在处
1Rw e1) (0映射为0 水 Im 平 w 2)(i带形
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取伸缩 w3变 w2换 ,将水平带形域 0Im w 2)(i映射为水 0Im 平 w 2)(带 i 形 取指数w 变 ew 换 3,将水平带形域
0Im w 3)(i映射为I上 m w) (半 0, 平面 从 w 而 e w 3 e w 2 e i1 w e iz z i i 为所求映射.
方法2 z 1 z 2 z 3与 w 1 w 2 w 3绕向 .
则 C的内部 C的 就内 映 . 若部 为 绕向相反, 则C
的内部就C映 的射 外. 为 部
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分式线性映射对圆弧边界区域的映射: 1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时, 这二
圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区 域.
2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二 圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域.
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4.唯一决定分式线性映射的条件
在z平面上任意给 异定 的三 z1点 ,z2个 ,z3,相
在 w平面上也任 个意 相给 异 w1,w 定 2 的 ,w3,三 点 那么就存在 线唯 性,一 将 映 zk的 (k 射 1分 ,2,3)式 依次映 w k(k 射 1,2,3成 ).
即 wa zb(adbc0)可由下:式给出 czd
1i 据分式线性映射称 不点 变的 对性质知
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w 0 在 z平面上 z1 的 (z1 逆 i对 w 象 应 )为 . 1i
由交比不变性知
(1,0,w , ) 1,1 1i,z,1i
即ww 1z z11 1i
1i1 1i 1
z 1 zi z i
,
1i
所以 w(i1)z1 为所 . 求 z(1i)
为曲 C在 线 z0的伸.缩率
f(z 0 )是经 w f 过 (z)后 映 通 z 0 的 射 过
的任 C 在 z 何 0 的曲 伸 ,它线 缩 与 C 的 率 曲 形 方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
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2.共形映射（保角映射）
设 w 函 f ( z ) 在 数 D 内 区 , z 0 为 解 D 域 内 , 析 一 且 f(z) 0 ,那末 w f(映 z)在 z0 具 射有两 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为
wei
z 1z
A z 1z
,
因 z 1 为 i时 ,w , 所 1 以 (1 i) 0 ,
1, 1,
1i
1i
故又 wz 1 时 i1z,w 1 111 i,z 所 (iz1以 ()A 1zi11 1 ) 为所 i,.求
1 i
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例2 求一个分式线性映射 wf(z)它将圆 z 1 映成圆 w 1,且满足条件 f( 1 2 ) 0 ,f( 1 2 ) 0 .
定义设wf(z)在z0的邻域内是 ,在解 z0 析 具有保角性和 变伸 性缩 ，率 w那 不 f末 (z)在 z0是共形的w， f或 (z)在 称z0是共形映射 也称为第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不 变而方向相反的映射, 称为第二类共形映射
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3.分式线性映射
定义 w a zb(a d b c0 ,a ,b ,c,d 均为 .) 常 c zd
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解2 利用不变对称点 因 z 1 i时 ,w , 所以 w azb ,
z(1i) 又 z 1 时 ,w 1 , 故 iab, 由对称点的不变性知， z 1 对w 应 0,
1i 故 b 1 ,a 1 i,
所w 以 (1i)z1(i1 )z1为所 . 求 z(1i) z(1i)
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(w)
0 特殊地: ( z )
2i
wez
0
(w)
we2
0 0
如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数.
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三、典型例题
例求 1 分式 ,使 线 z1映 性射 w 映 1,成 且 射使 z1,1i映射 w1,成 . 解1 利用分式线性映射不变交比和对称点
因 w 为 0 与 w 是关 w 1 于 的圆 对 , 周 称 又z1i关于 z 圆 1的周 对称 1, 点为
n
除去正实 . 轴的区域
(z)
(w)
2 n
0
w zn
zn w
0
因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利 用幂函数 wzn(或根式w函 n z数 )所构成的共 形映射.
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2) 指数函 w数 ez.
映射特点: 把水平的 0I带 m z) (形 a映域 射成
角形 0a域 r w ga.
ai (z)
z2ei (w 2i)2i2 , 1(i2)(w (2i)2)
所z以 2ei2(w i)(w),
2iw
f (z)与(w)互为反函数，
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由 arfg (2)0，
arg (i)arg 1 0,
f(2)
(i)2ei22(w iw i) 2ei 3, wi
得0. 所以 z22(wi)，
2iw 故 w z(2i) .
iz2(1i)
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例问 4 分式w 线 性 z 将 映 单 射 位 z1圆 映盘 z1
射w 成 平面上的 ? 什么区域
解 由已知 z条 1,故 件 从所给z解 映:出 射中
z w ,
w z 1
w 1 w1
即 w 2 w 1 2 ( w 1 )w ( 1 )w 2(w w )1 ,
所w 以 w 11(ww)1, 即Rew()1,
2
2
2
故 z1映w 为 平面上的 Rw e半 )(1平 . 面 2
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例5 试证明在映射 weiz下, 互相正交的直线族 Rze) (C1与 Im z) (C2依此映射成互相正交的直 线族与圆族 u 2 v 2 e 2 C 2. 证 设 z x i,y w u i,v
R z ) e x ,I(z m ) y ,(