【函数】第二讲：二次函数

综上（1）（2）（3）可得：实数 m 的取值范围是： m 3 . 4
例 2：解析：【解】：由于 2 0 及条件（1），所以对称轴 x b 3 ，解得 b 6 ； 42
由条件（2），令 f (x) 2x2 6x c 0
36 8c 0 c 9...... （1） 2
ì ï
第二讲：二次函数
知识梳理： 一、定义
一般地，把形如 y ax2 bx c(a 0) 的函数称为二次函数，其中自变量 x 的取值范围是任意实数， 它的图像是一条抛物线。
二、基本公式
（1）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像的顶点坐标为 ( b , 4ac b2 ) ； 2a 4a
①当 a
0 时，
x
b 2a
，
ymin
4ac b2 4a
；
②当 a
0 时，
x
b 2a
，
ymax
4ac b2 4a
。
（4）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像与 y 轴的交点坐标为 (0, c) 。
（5）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像与 x 轴的交点情形：
1 8a 5
再由 a2 a 1 0 得 64(a2 a 1) 0 ，变形为 64a2 64a 65 1
即 (8a 5)(8a 13) 1 ，所以 a6 1 13 8a 8a 5
（2）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的增减性：
①当 a 0 时，在区间 (, b ] 上是减函数，在区间 ( b ,) 上是增函数；
2a
2a
②当 a 0 时，在区间 (, b ] 上是增函数，在区间 ( b ,) 上是减函数。
2a
2a
（3）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的最大、最小值：
①当 0 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点；
②当 0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；
③当 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。
1
例题精讲： 例 1 已知当 1 x 0 时，二次函数 y x2 4mx 3 的函数值恒大于 1，求实数 m 的取值范围。
例 2 已知二次函数 f (x) 2x2 bx c 满足下列两个条件：
例 6 关于 x 的方程 x2 ax a 1 0 在1 £ x £ 2 有解，求实数 a 的取值范围。
3
同步练习： 1、已知抛物线 y x2 3x 1 与直线 y kx 不想交，求实数 k 的取值范围。 2、二次函数 y 4x2 4x m 的图像与 x 轴的两个交点和顶点构成等边三角形，求二次函数的解析式。
（1）当 x 2 时，它是增函数，当 x 3 时，它是减函数；
3
2
（2）若方程 f (x) 0 的两根为 x1、x2 ，且|x1 x2 | 2 ， 求二次函数的表达式。
例 3 已知抛物线 y x2 (2a 1)x 2a 5 与 x 轴只有一个公共点， 4
（1）求实数 a 的值； （2）求代数式 a18 323a6 的值。
3、已知 x £ a ，求二次函数 f (x) x2 2x 的最大值。
4
4、是否存在二次函数，使其同时满足下列两个条件：
（1） f (1) 0 ；（2）对一切实数 x ，均有 x £ f (x) £ 1 (x 2 1) 成立。若存在，求出二次函数的解析式；若不存 2
在，说明理由。
5、二次函数 f (x) 满足条件：f (1 x) f (1 x) 且 f (x)max 15 ，方程 f (x) 0 的两个根的立方和为 17，求 f (x) 的
解析式。
6、已知二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 满足条件：f (0) 2 ，f (1) 1 ，其图像在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ，
求二次函数的解析式。
5
参考答案
【例题部分】 例 1：解析：【解】：二次函数 y x2 4mx 3 的对称轴是直线 x 2m ， （1）若 2m £ 1 时，即 m £ 1 ，当 x 1 时， y 1 4m 3 4m 4 1,
化简得 a2 a 1 0 ，解得 a1
1 2
5 ,a2
1 2
5
；
（2） 由（1）得 a2 a 1 0 ，则 a4 (a 1)2 a2 2a 1 3a 2
同理 a8 21a 13 ， a18 2584a 1597 ，
a6
1 a6
1 a4 ia2
1 (3a 2)(a 1)
（2）二次函数的解析式的顶点式为： y a(x b )2 4ac b2 (a 0) ；
2a
4a
（3）二次函数的解析式的交点式为： y a(x x1)(x x2 )(a 0) 。
三、 基本结论
（1）二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像的对称性：关于直线 x b 成轴对称图形。 2a
2
例 4 抛物线 y x2 (k 1)x k 1 与 x 轴的两个交点分别为 A、B，顶点为 C，求△ABC 面积的最小值。
例 5 已知关于 x 的方程 x2 (2m 3)x m 4 0 的两实根为a, b ,若
（1） 两根都为正数； （2） 两根异号； （3） 两根都大于 1； （4） 一根不大于 1，另一根不小鱼 1.求实数 m 的取值范围。
x 1
x 2
3
í îï
x 1
ix 2
c 2
代入
|x1 x2 | x1 +x2 2 -4x1x2 =2
所以 9-2c=4 ，解得 c 5 ，满足结论（1），所以 f (x) 2x2 6x 5 。
2
2
6
例 3： 解析：【解】：
（1） 由题设条件得， x2 (2a 1)x 2a 5 0 ， 4
2
解得： m 3 ， 3 £ m £ 1 ，
4
4
2
（2）若 1 2m 0 时，即 1 m 0 ，当 x 2m 时，只需 y 12 16m2 1 即可
2
4
解得： 2 m 2 ， 1 m 0 ，
2
2
2
（3）若 2m 0 时，即 m 0
百度文库
当 x 0 时，只需 y 3 1 即可，所以 m 0 ；