张量算符

三、球张量
球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的
对
由于
r
采用 nˆ V (nx Vx , ny Vy , nz Vz )
对应算符的变换结果：
定义k阶球张量算符为 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有
不难看出
是磁量子数为q的k阶球张量。
但 Tqk 包括更普遍的球张量形式（如 (U x iU y )(Vx iVy )）。
3n 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换
3独立分量J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定 数量不可约空间的直和。
例如：
将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量， 分量，是二阶笛卡张量。
, 有9个
笛卡张量具有可约性的缺陷，即可分解为具有不同转动变 换性质的几部分，如
三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张 量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此， 球张量更基本。
其中<α’j’||T(k)||αj>与m,m’及q无关，而
<jk;mq|jk;j’m’>为CG系数.
该定理表明其矩阵元可分为两部分，一部分只依赖于体系 的取向而与具体张量无关，另一部分与取向无关，但依赖 于张量及径向分布。
证明思路：利用
和J±对|jm>
的作用结果，可知<α’j’m’|T(kq)|αjm>与
证：据Wigner-Eckart定理，
'
jm' jm'
| |
Vq Jq
| |
jm jm
'
j j
|| ||
v
Vv || J ||
j j
vv
'
jm
|
J
V
|
v
jm
'
jm
|
J0V0
v
J V பைடு நூலகம் 1
J V 1 1
|
jm
C jm ' j || V || j C j ' j || V || j
证：
六、张量算符的矩阵元
1）磁量子数选择定则：
这是因为：
T (k) q
|
jm 是Jz
的本征矢（但一般不是
J 2 的本征矢）
可以证明：
T (k) q
|
j'mq
kj 'qm q |
jm
-->
|%jm
q
是 (J 2 , J z ) 的共同本征矢
2）Wigner-Eckart定理：
张量算符在角动量本征态的矩阵元满足
<jkmq|jkj’m’>满足相同的一阶线性齐次方程，从而成
比例。
Wigner-Eckart定理的简单应用： a) 对标量S，则
即标量不改变j,m b) 对矢量k=1，q=1,0,-1，由CG系数知
（但00跃迁不发生
3)投影定理 (Lande公式)：
径向积分只牵涉标量，角度部分则是已知的。
vv
T (0) 0
U V v3 v
U V 1 1
U V 1 1 3
U 0V0
T (1) q
(U V )q i2
T (2) 2
U1V1;
T (2) 1
U 1V0
U0V1 2
;
T (2) 0
U V 1 1
2U0V0 6
U V 1 1
一般的有：
该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方 法（与角动量叠加中基函数变换关系相似）
矢量算符对易关系也决定了其有限转角下的变换行为
（
，
）
二、直角张量和不可约张量
将矢量变换推广,定义直角张量Tijk的转动变换性质：
指标ijk…的数目称为张量的“阶”（“秩”）。 相比 对应于
D (R)Tijk...D(R) D (R)UiD(R)D(R)VjD(R)D(R)WkD(R)...
注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：
J1 J / 2, J0 Jz , J1 J / 2
J2 v
v
(
J1J
1
J1J1)
J
2 0
U V (U1V1 U1V1) U0V0
四、球张量与角动量的对易关系
对无穷小转动 得 即 上两式也可作为球张量的定义
五、张量的乘积
由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如
jm |
J2
|
jm
Cj
j
|
v
J |
j
v
'
jm'
| Vq
|
jm
'
j j
|| Vv || J
|| ||
j j
jm'
|
Jq
|
jm
v
Cj ' jm
j ||V ||
| J2 |
j
jm
jm'
|
Jq
|
jm
vv
'
jm | JV |
h2 j( j 1)
jm
jm'
|
Jq
|
jm
作业
3.29, 3.30
§3.11 张量算符
一、矢量算符
矢量在转动下其分量Vi按 j RijVj 变换，要求量子力学中
的矢量算符之期望值在转动下具有与经典矢量在转动下的
变换行为：
即
对无穷小角转动
分析x,y,z分量可得出:
上式可作为矢量算符的定义。
因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量 算符。类似地，x, p也是矢量算符。