《图形与几何》综合测试卷

《图形与几何》综合测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)A. B. C. D.(第2题)2．如图所示为一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是(A)A. 三棱柱B. 立方体C. 三棱锥D. 长方体3．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(B)A. 10°B. 20°C. 50°D. 70°,(第3题)),(第3题解)) 【解析】如解图．∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°－50°＝20°.(第4题)4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB 于点D ，则CD ︵的长为(C )A. 16πB. 13πC. 23πD. 233π【解析】 ∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°， ∴BC ＝12AB ＝2，∠B ＝60°.∴lCD ︵＝60π×2180＝23π.(第5题)5．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD ＝8，tan ∠ABD ＝34，则线段AB 的长为(C )A. 7B. 27C. 5D. 10【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∴∠AOB ＝90°. ∵BD ＝8，∴OB ＝4.∵tan ∠ABD ＝OA OB ＝34，∴OA ＝3，∴在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝5.(第6题)6．如图，已知⊙O 的半径为1，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，OM ⊥AB 于点M.若OM ＝13，则sin ∠CBD 的值等于(B )A. 32B. 13C.223 D. 12【解析】 连结AO . ∵⊙O 的半径为1，∴OB ＝1.∵锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∴∠C ＝12∠AOB .∵OM ⊥AB ，∴∠BMO ＝90°，∠BOM ＝12∠AOB ，∴∠C ＝∠BOM .∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°＝∠BMO ， ∴∠CBD ＝∠OBM .∵OM ＝13，∴sin ∠CBD ＝sin ∠OBM ＝OM OB ＝13.(第7题)7．如图，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM 交AD 的延长线于点E.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为(B )A. 18B. 1095C.965 D. 253【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝AB ＝12，∠B ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠EAM ＝∠AMB .∵AM ⊥ME ，∴∠B ＝∠AME ＝90°， ∴△ABM ∽△EMA ，∴AM BM ＝EA MA .∵AB ＝12，BM ＝5，∴AM ＝AB 2＋BM 2＝13，∴135＝EA 13，∴EA ＝1695， ∴DE ＝EA －AD ＝1695－12＝1095.8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD ，EF 是⊙O 的弦，且AB ∥CD ∥EF ，AB ＝10，CD ＝6，EF ＝8，则图中阴影部分的面积是(A )A.252π B. 10π C. 24＋4π D. 24＋5π,(第8题)) ,(第8题解))【解析】 如解图，作直径CG ，连结OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，DG . ∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°， ∴DG ＝CG 2－CD 2＝102－62＝8.又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ，∴DG ︵＝EF ︵，∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF . ∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.9．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3)，点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，P 为斜边OB 上一动点，则P A ＋PC 的最小值为(B )A. 132B. 312 C.3＋192D. 27,(第9题)) ,(第9题解))【解析】 如解图，作点A 关于OB 的对称点D ，连结AD 交OB 于点M ，连结CD 交OB 于点P ，连结AP ，过点D 作DN ⊥OA 于点N ，则此时P A ＋PC 的值最小．∵DP ＝P A ，∴P A ＋PC ＝PD ＋PC ＝CD . ∵点B (3，3)，∴AB ＝3，OA ＝3， ∴OB ＝23，tan B ＝3，∴∠B ＝60°， ∴AM ＝AB ·sin60°＝32，∴AD ＝2AM ＝2×32＝3.∵∠AMB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAM ＝30°. ∵∠BAO ＝90°，∴∠OAM ＝60°. ∵DN ⊥OA ，∴∠NDA ＝30°， ∴AN ＝12AD ＝32，∴DN ＝32 3.∵点C ⎝⎛⎭⎫12，0，∴CN ＝3－12－32＝1. 在Rt △DNC 中，由勾股定理，得DC ＝12＋⎝⎛⎭⎫3232＝312，即P A ＋PC 的最小值是312.10．观察图①，它是把一个三角形分别连结这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法……将这种做法继续下去，则图⑥中挖去三角形的个数为(C ),(第10题))A. 121B. 362C. 364D. 729【解析】 由做法可知，图①挖去三角形的个数为1，图②挖去三角形的个数为1＋31＝4，图③挖去三角形的个数为1＋31＋32＝13……∴图⑥挖去三角形的个数为1＋31＋32＋33＋34＋35＝364. 二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ︵＝BC ︵.若∠AOB ＝58°，则∠BDC ＝__29°__．,(第11题)) ,(第11题解))【解析】 如解图，连结OC. ∵AB ︵＝BC ︵，∴∠BOC ＝∠AOB ＝58°， ∴∠BDC ＝12∠BOC ＝29°.(第12题)12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，请任意写出一组相等的线段：__BC ＝BE 或DC ＝DE __．【解析】 ∵BD 平分∠ABC ，∠C ＝90°，DE ⊥AB ， ∴BC ＝BE ，DC ＝DE .13．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图①)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅垂方向的边长称为该图形的高．如图②，菱形ABCD 的边长为1，边AB 水平放置．如果该菱形的高是宽的23，那么它的宽等于__1813__．（第13题）(第13题解)【解析】 在菱形ABCD 上建立如解图所示的矩形EAFC ， 设AF ＝x ，则CF ＝23x.在Rt △CBF 中，∵BC ＝1，BF ＝x －1，∴12＝(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2，解得x 1＝1813，x 2＝0(不合题意，舍去)，故它的宽等于1813.(第14题)14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点A′处．若EA′的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 的值为__1010__． 【解析】 ∵矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在点A ′处， ∴∠BA ′E ＝∠A ＝90°，A ′B ＝AB ＝6. ∵BC ＝10，∴A ′C ＝102－62＝8.∵AD ∥BC ，∴∠BEC ＝∠AEB ＝∠EBC ，∴CE ＝BC ＝10，. ∴AE ＝EA ′＝CE －A ′C ＝2，∴BE ＝62＋22＝210，∴sin ∠ABE ＝AE BE ＝2210＝1010.(第15题)15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，AD 与BE 相交于点F ，且AF ＝4，EF ＝2，则AC ＝__8105__．【解析】 如解图，过点E 作EG ⊥AD 于点G ，连结CF .(第15题解)∵AD ，BE 分别是∠BAC 和∠ABC 的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠ACB ＝90°， ∴2(∠2＋∠4)＝90°， ∴∠2＋∠4＝45°，∴∠EFG ＝∠2＋∠4＝45°. 在Rt △EFG 中，∵EF ＝2，∴FG ＝EG ＝1.又∵AF ＝4，∴AG ＝AF －FG ＝3，∴AE ＝AG 2＋EG 2＝10.∵AD 平分∠CAB ，BE 平分∠ABC ，∴CF 是∠ACB 的平分线，∴∠ACF ＝45°＝∠AFE . 又∵∠CAF ＝∠F AE ，∴△AEF ∽△AFC ， ∴AE AF ＝AF AC， ∴AC ＝AF 2AE ＝1610＝8105.(第16题)16．如图，在Rt △ACB 中，BC ＝2，∠BAC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在互相垂直的射线OM ，ON 上滑动．有下列结论：①若C ，O 两点关于AB 对称，则AO ＝23；②C ，O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动的路径长为π2.其中正确结论的序号是__①②③__．【解析】 在Rt △ABC 中，∵BC ＝2，∠BAC ＝30°， ∴AB ＝4，AC ＝2 3.若C ，O 两点关于AB 对称，则AB 是OC 的垂直平分线， ∴AO ＝AC ＝23，故①正确． 取AB 的中点D ，连结OD ，CD .∵∠AOB ＝∠ACB ＝90°， ∴OD ＝CD ＝12AB ＝2，∴当OC 经过点D 时，OC 最大， OC 的最大值为4，故②正确．若AB 平分CO ，设CO 与AB 相交于点F ，则CF ＝OF . ∵OD ＝CD ，∴DF ⊥CO ， ∴AB ⊥CO ，故③正确．斜边AB 的中点D 运动的路径是以点O 为圆心，2为半径的90°的圆弧， ∴l ＝90π×2180＝π，故④错误．综上所述，正确的结论是①②③. 三、解答题(共66分)17．(6分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画出以线段AB 为一边的矩形ABCD (不是正方形)，且点C 和点D 均在小正方形的顶点上．(2)在图中画出以线段AB 为一腰，底边长为22的等腰三角形ABE ，点E 在小正方形的顶点上．（第17题）【解析】 (1)如解图①，矩形ABCD 即为所求．（第17题解）(2)如解图②，△ABE 即为所求(答案不唯一)．(第18题)18．(6分)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点．求证：DE ＝DF 且DE ⊥DF.【解析】 ∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.在△BDG 和△ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC ，DG ＝DC ，∴△BDG ≌△ADC (SAS )，∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C .∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF ，∴DE ＝DF ，∠EDG ＝∠EGD ，∠FDA ＝∠F AD ，∴∠EDG ＋∠FDA ＝∠EGD ＋∠F AD ＝∠C ＋∠F AD ＝90°，∴DE ⊥DF . 综上所述，DE ＝DF 且DE ⊥DF .19．(8分)如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是E ，F .(1)求证：EF ＝AE －BE .(2)连结BF ，若AF BF ＝DFAD，求证：EF ＝EP.,(第19题)),(第19题解))【解析】 (1)如解图． ∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°. ∵BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，∴∠BEA ＝∠AFD ＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.在△ABE 和△DAF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BEA ＝∠AFD ，∠1＝∠3，AB ＝DA ，∴△ABE ≌△DAF (AAS )，∴BE ＝AF ， ∴EF ＝AE －AF ＝AE －BE . (2)如解图．∵AF BF ＝DFAD，AF ＝BE ， ∴BE BF ＝DF AD ，∴BE DF ＝BF AD . 又∵∠BEF ＝∠DF A ＝90°， ∴△BEF ∽△DF A ，∴∠4＝∠3. 又∵∠5＝∠1＝∠3， ∴∠4＝∠5，即BE 平分∠FBP . 又∵BE ⊥EP ，∴EF ＝EP .(第20题)20．(8分)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形．如图，在△CFE 中，CF ＝6，CE ＝12，∠FCE ＝45°，以点C 为圆心，任意长为半径作AD ︵，再分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径画弧，两弧相交于点G ，连结CG 并延长，交EF 于点B ，连结AB ，BD .(1)若AB ∥CD ，求证：四边形ACDB 为△EFC 的亲密菱形． (2)在(1)的条件下，求四边形ACDB 的面积．【解析】 (1)易得AC ＝CD ，∠ACB ＝∠DCB ， 又∵CB ＝CB ，∴△ACB ≌△DCB (SAS )，∴AB ＝DB . ∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＝∠DCB ， ∴∠ACB ＝∠ABC ，∴AC ＝AB ， ∴AC ＝CD ＝DB ＝AB ， ∴四边形ACDB 是菱形．∵∠ACD 与∠FCE 重合，∠ABD 的顶点B 在EF 上， ∴四边形ACDB 为△EFC 的亲密菱形． (2)设菱形ACDB 的边长为x . ∵AB ∥CE ，∴△F AB ∽△FCE ，∴F A FC ＝ABCE ，即6－x 6＝x 12，解得x ＝4. 过点A 作AH ⊥CD 于点H .在Rt △ACH 中，∵∠ACH ＝45°，∴AH ＝22AC ＝2 2.∴四边形ACDB 的面积为4×22＝8 2.(第21题)21．(8分)如图，在矩形ABCD 中，点F 在边BC 上，且AF ＝AD ，过点D 作DE ⊥AF ，垂足为E.(1)求证：DE ＝AB.(2)以点D 为圆心，DE 长为半径作圆弧交AD 于点G.若BF ＝FC ＝1，试求EG ︵的长． 【解析】 (1)∵DE ⊥AF ，∴∠AED ＝90°. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DAE ＝∠AFB ，∠AED ＝∠B. 又∵AD ＝FA ，∴△ADE ≌△FAB(AAS)． ∴DE ＝AB.(2)∵BF ＝FC ＝1，∴AD ＝BC ＝BF ＋FC ＝2. ∵△ADE ≌△FAB ，∴AE ＝FB ＝1，∴在Rt △ADE 中，AE ＝12AD ，∴∠ADE ＝30°.又∵DE ＝AD 2－AE 2＝22－12＝3，∴lEG ︵＝n πR 180＝30×π×3180＝36π.22．(8分)如图所示为某区域部分交通路线图，其中直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 与直线l 1，l 2，l 3都垂直，垂足分别为A ，B 和C ，l 2上的点M 位于点A 的北偏东30°方向上，且BM ＝ 3 km ，l 3上的点N 位于点M 的北偏东α方向上，且cos α＝1313，MN ＝213 km ，点A 和点N 是城际铁路线L 上的两个相邻的站点．（第22题）(1)求l 2和l 3之间的距离．(2)若城际火车平均时速为150 km/h ，求市民小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要多少小时(结果用分数表示)?【解析】 (1)如解图，过点M 作MD ⊥l 3于点D ，则DM ＝MN ·cos α＝213×1313＝2(km)． 答：l 2和l 3之间的距离为2 km.,(第22题解))(2)由(1)得CB ＝DM ＝2 km ， ∴DN ＝MN 2－DM 2＝4 3 km ，∴CN ＝CD ＋DN ＝BM ＋DN ＝5 3 km. ∵∠BAM ＝30°，∠ABM ＝90°，BM ＝ 3 km ， ∴AB ＝3 km ，∴AC ＝3＋2＝5(km)， ∴AN ＝CN 2＋AC 2＝10 km ，∴10÷150＝115(h)．答：小强乘坐城际火车从站点A 到站点N 需要115h.23．(10分)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．(1)等边三角形“内似线”的条数为__3__． (2)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，求证：BD 是△ABC 的“内似线”．(3)如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别在边AC ，BC 上，且EF 是△ABC 的“内似线”，求EF 的长．,(第23题))【解析】 (2)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 又∵BD ＝BC ＝AD ，∴∠BAD ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C.设∠A ＝x ，则∠ABD ＝x ，∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2x ，∠C ＝2x ，∠ABC ＝2x ，∠CBD ＝x.又∵∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°， ∴x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°， ∴∠A ＝∠DBC ＝36°，∠C ＝∠BDC ＝72°， ∴△ABC ∽△BCD .∵∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 平分∠ABC ， ∴BD 过△ABC 的内心， ∴BD 是△ABC 的“内似线”． (3)∵∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.作△ABC 的内切圆⊙O .设⊙O 的半径为r ，则S △ABC ＝12r ·(3＋4＋5)．又∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×4＝6，∴r ＝1.分两种情况讨论：①当△CEF ∽△CAB 时，如解图①，过点O 作直线EF ∥AB 分别交边AC ，BC 于点E ，F ，则EF 是△ABC 的“内似线”，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，则OM ＝ON ＝1，且ON ∥AC ，OM ∥BC .易证△EOM ∽△ABC ∽△OFN ， ∴OE OM ＝BA BC ＝53，OF ON ＝AB AC ＝54， ∴OE ＝53，OF ＝54，∴EF ＝53＋54＝3512.,(第23题解))②当△CEF ∽△CBA 时，如解图②. 同理可得OE ＝54，OF ＝53，∴EF ＝3512.综上所述，EF 的长为3512.(第24题)24．(12分)如图，已知P 为锐角∠MAN 内部一点，过点P 作PB ⊥AM 于点B ，PC ⊥AN 于点C ，以PB 为直径作⊙O ，交直线CP 于点D ，连结AP ，BD ，AP 交⊙O 于点E.(1)求证：∠BPD ＝∠BAC.(2)连结EB ，ED ，当tan ∠MAN ＝2，AB ＝25时，在点P 的整个运动过程中， ①若∠BDE ＝45°，求PD 的长．②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的BD 的长．(3)连结OC ，EC ，OC 交AP 于点F ，当tan ∠MAN ＝1，OC ∥BE 时，记△OFP 的面积为S 1，△CFE 的面积为S 2，请写出S 1S 2的值．【解析】 (1)∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠ABP ＝∠ACP ＝90°，∴∠BAC ＋∠BPC ＝180°. ∵∠BPD ＋∠BPC ＝180°，∴∠BPD ＝∠BAC .(2)①∵∠APB ＝∠BDE ＝45°，∠ABP ＝90°， ∴△ABP 是等腰直角三角形， ∴BP ＝AB ＝2 5. ∵∠BPD ＝∠BAC ， ∴tan ∠BPD ＝tan ∠BAC ， ∴BDDP＝2，∴BP ＝5PD ， ∴PD ＝BP5＝2.②Ⅰ.如解图①，当BD ＝BE 时，∠BED ＝∠BDE ， ∴∠BPD ＝∠BPE ＝∠BAC ， ∴tan ∠BPE ＝2.∵AB ＝25，∴BP ＝5，∴BD ＝2.（第24题解①）（第24题解②）Ⅱ.如解图②，当BE ＝DE 时，∠DBE ＝∠BDE. ∵∠APB ＝∠BDE ，∠DBE ＝∠APC ， ∴∠APB ＝∠APC ， ∴AC ＝AB ＝2 5.过点B 作BG ⊥AC 于点G ，则四边形BGCD 是矩形． ∵AB ＝25，tan ∠BAC ＝2，∴BD ＝GC ＝AC －AG ＝25－2.Ⅲ.如解图③，当BD ＝DE 时，∠DEB ＝∠DBE ＝∠APC . ∵∠DEB ＝∠DPB ＝∠BAC ，∴∠APC ＝∠BAC ，∴ACPC ＝tan ∠APC ＝tan ∠BAC ＝2.设PD ＝x ，则BD ＝2x ，AC ＝2x ＋2，PC ＝4－x ， ∴2x ＋24－x＝2， ∴x ＝32，∴BD ＝2x ＝3.综上所述，当BD 为2或3或25－2时，△BDE 为等腰三角形．（第24题解③）（第24题解④）(3)如解图④，过点O 作OH ⊥DC 于点H. ∵tan ∠BPD ＝tan ∠MAN ＝1，∴BD ＝DP .令BD ＝DP ＝2a ，PC ＝2b ，则OH ＝a ，CH ＝a ＋2b ，AC ＝BD ＋DC ＝4a ＋2b . 由OC ∥BE ，得CF ⊥AP ，∴EF ＝PF ，∠OCH ＝∠P AC . 又∵∠OHC ＝∠PCA ＝90°， ∴△OHC ∽△PCA ，∴OH PC ＝CHAC，即OH ·AC ＝CH ·PC ， ∴a (4a ＋2b )＝2b (a ＋2b )，∴AC ＝6a ，PC ＝2a ，CH ＝3a ， ∴AP ＝210a ，OC ＝10a ， ∴CF ＝AC ·PC AP ＝3105a ，∴OF ＝OC －CF ＝2105a ，∴S 1S 2＝12OF ·PF 12CF ·EF ＝OF CF ＝23.。