数列与不等式综合练习(教师版)

（1）当
时，用
替换 中的 得到一个新的关系，利用
便可求出当
时 的表达式；
（2）当
时，
求出 ；
（3）对
时的结果进行检验，看是否符合
时 的表达式，如果符合，则可
以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分
与
两段来写．
2、错位相减法：若
，其中 是等差数列， 是公比为
的等比数
列，那么这个数列的前 项和即可用此法来求．
等号． 故选 D． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不
等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取 得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
9．设 满足约束条件
，则
的最大值是（ ）
A．-1
B．0
C．
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的使用条件，准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属
于中档试题．
{x−3y+4≥0
7．若实数 x,y满足约束条件 3x−y−4≤0，则 z=3x+2y的最大值是（ x+y≥0
）
A．−1
B．1
C．10
D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，
有
恒成立？若存在,求出 的最小值；
（3）若数列 满足
，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
；（2）存在，
；（3）
．
【解析】 试题分析： （1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首 项为 2，公比为 2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然
①
当
时，类比写出
②
由①-②得
，即
.
当
时，
，
，
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③-④得，
③ ④
（常数），
，
的最小值是
故选 C. 【点睛】 本题考查数列通项公式的求法和数列前 n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解 答，注意公式的合理选用.
1、已知数列 的前 项和 与 的关系式，求数列的通项公式的方法如下：
4．设
，
()
A．4 【答案】B 【解析】
B．5
C．6
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D．10
由于
，故原式
.
点睛：本题主要考查函数变换，考查倒序相加法.首先注意到要求值的式子的规律：第 一个自变量和最后一个自变量的和为 ，第二个自变量和倒数第二个自变量的和为 ，
依次类推.故猜想
的值为常数或者有规律的数，通过计算
注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点 的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数 z=3x+2y经过平面区域的点(2,2)时，
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z=3x+2y取最大值zmax=3×2+2×2=10.
有
立，即
恒成立，由
，解得
．
所以存在自然数 ，使得对于任意
有
立，此时， 的最小值为 16. （3）当 为奇数时，
恒成 恒成
当 为偶数时，
；
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.
因此
．
点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、 裂项相消法、错位相减法、分组求和等。
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A．
B．
C． 或
D．
【答案】A
【解析】
由题意可知：数列 1,a1,a2，4成等差数列，设公差为 d， 则 4=1+3d，解得 d=1， ∴a1=1+2=2，a2=1+2d=3. ∵数列 1,b1,b2,b3，4成等比数列，设公比为 q， 则 4=q4,解得 q2=2， ∴b2=q2=2.
则
.
本题选择 A选项.
数列前 项和
，则
，两式错位相减并整理即得.
6．设 A．1
，且
，则
B．2
的最小值是（ ）
C．3
D．4
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【答案】D 【解析】 【分析】
由
可求解，得到答案． 【详解】
因为
，∴
，
又由
，所以
，利用基本不等式，即
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值是 ，故选 D.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最小值，其中解答中根据题意，构造使用基本不等式
数列与不等式综合练习
未命名
评卷人 得分
一、单选题
1．已知数列 的通项公式是
，那么这个数列是
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．常数列
【答案】A
【解析】
【分析】
要判断数列的单调性，根据数列单调性的定义，只要判断 an与 an+1的大小，即只要判
断 an+1﹣an的正负即可
【详解】
an+1﹣an=
﹣
【点睛】 解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的 准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
8．设
，若 是
的等比中项，则
的最小值为（ ）
A．8
B．
C．1
D．4
【答案】D
【解析】
∵是
的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1．
a＞0，b＞0．
∴
=
=2
．当且仅当 a=b= 时取
数 m，满足条件，先求出
，将
问题转化成
可求得 的取值范围；（3）分 n是奇数、n是偶数两种情况求出
试卷第 பைடு நூலகம்页，总 3页
Tn，然后写成分段函数的形式。 试题解析：
（1）由
，即
．
又
，所以
.
当
时，上式成立，
因为
，所以
故
.
(2)由（1）知
，则
是首项为 2，公比为 2的等比数列，
.
假设存在自然数 ，使得对于任意
①若
，则
的最大值为 ；
②当
时，
；
③
的最小值为 ； ④当且仅当 均为正数时，
恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号) 【答案】①② 【解析】 【分析】 根据均值不等式依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】
①若
，则
的最大值为
，正确
②当
时，
，
时等号成立，正确
③
的最小值为 ，
D．2
【答案】D 【解析】 【分析】 根据线性约束条件，得可行域；由 z的几何意义可求得其最大值。 【详解】 由线性约束条件，画出可行域如下图
的几何意义是可行域内的点
与原点
连线的斜率，
由可行域可知，当取点 B时，与原点连线斜率最大
B（1,2），所以 的最大值为
所以选 D 【点睛】 本题考查了分式型非线性目标函数最值的求法，注意其几何意义的理解和应用，属于基 础题。
评卷人 得分
二、填空题
10．已知
，若
，则
的最小值为_______．
【答案】 【解析】 【分析】 利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】
令
，则
，
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所以
，
所以
，当且仅
当
时取等号，故
的最小值为 3.
【点睛】 本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对 数性质的合理运用． 11．下列命题中：
=
＞0，
∴an+1＞an． an＞0． 数列是递增数列． 故选 A． 【点睛】 本题主要考查了数列的单调性的定义在解题中的应用，解题的关键是要灵活应用数列的 单调性的定义，属于基础题．
2．已知数列{an}满足 a1>0，且 an＋1＝
an，则数列{an}最大项是( )
A．a1 C．a10 【答案】A 【解析】
B．a9 D．不存在
∵
，且
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∴
又∵
∴
∴此数列为递减数列，最大项为 . 故选 A. 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法： （1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；
（2）可以用
或
；
（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.
3．已知数列
成等差数列，
成等比数列，则
的值是 ( )
可知，手尾两项的和为 ，由此求得表达式的值.
5．已知数列 满足
．设
， 为数
列 的前 项和．若
（常数），
，则 的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 【分析】
当
时，类比写出
，两式相减整理
得
，当
时，求得
，从而求得数列 和 的通项公式.；
再运用错位相减法求出 ，结合 的性质，确定 的最小值. 【详解】
取
错误
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④当且仅当 均为正数时，
恒成立
均为负数时也成立. 故答案为① ② 【点睛】 本题考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.
评卷人 得分
三、解答题
12．已知数列 、 ，其中，
，数列 满足
,
，数列 满足
．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）是否存在自然数 ，使得对于任意