二次函数求面积

二次函数中常见图形的面积问题(1)

1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？

例2. 解答下列问题：

如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；

（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB

；

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △P AB ＝8

9

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

x

y

O M E N

A

图五

O x

y

D

C 图四

x

y

O

D

C

E

B

图六

P

x

y

O A B

D

图二

E

x

y O

A

B

C 图一

x

y

O

A B

图三

B

C

铅垂高

水平宽

h

a 图2

A x

C

O y A

B D

1

1

1．（2013哈尔滨，24，6分）

某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB (单位：米)，现以AB 所在直线为x 轴，以抛物线的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O ，已知AB =8米，设抛物线解析式为y =ax 2-4． (1)求a 的值；

(2)点C (-1,m )是抛物线上一点，点C 关于原点O 的对称点为点D ，连接CD 、BC 、BD ，求△BCD 的面积．

2、抛物线322

+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积.

（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）

3.已知二次函数322

--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.

（1）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （2）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,

若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；

若不存在，请说明理由.

A y

B

O

C

变式一图

C

P

O A

B

y

(D)

4. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH,

设小正方形EFGH 的面积为，AE 为，则关于的函数图象大致是 （ ）

5．（10分）（2013•佛山）如图①，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （0，3），B

（3，0），C （4，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图②中阴影部分）．

s x s x 图1

二次函数中常见图形的的面积最值问题(2)

例3.如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

1．如图1，抛物线y＝x2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图1、图2为解答备用图）

（1）k＝_____________，点A的坐标为_____________，点B的坐标为_____________；

（2）设抛物线y＝x2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

\

2.如图，二次函数2

y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点(A 在B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为M ， 图象的对称轴为直线2-=x ，点是抛物线上位于,A C 两点之间的一个动点，则PAC ∆的面积的最大值为（ ） A ．

274 B ．112 C ． 278

D ．3

P