第八章 阻抗和导纳

结论
i2 (t ) 3 cos( 100 π t 30 )
0
四.周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 理 意 义
直流I
R
交流 i
R
W RI T
2
W 0 Ri (t )dt
2
T
均方根值
例
解
计算下列两正弦量的相位差。
两个正弦量 进行相位比 较时应满足 0 i2 (t ) 10 sin(100 π t 15 ) 同频率、同 0 (3) u1 (t ) 10 cos( 100 π t 30 ) 函数、同符 w w 1 2 0 0 i2 (t ) 10 3cos( 100 t t 150 号，且在主 u cos( 200π π 45 ))不能比较相位差 2 0 0 0 0 值范围比较。 j (150 120 (4) i1 (t ) 530 cos( 100 π t )30 )
1 1 t T 2 0 2
T
2
I m 2I
1 2 T Im I Im 0.707 I m T 2 2
i(t ) I m cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U Um 2
或
U m 2U
若交流电压有效值为 U=220V ，
.
i(t ) I m cos(wt yi )
2I cos(wt yi )
I m I m y
有效值相量
u (t ) U m cos(w t Ψ ) 2U cos(w t Ψ )
U m U m y 2Uy
有效值相量：
.
U Uy
.
振幅相量与有效值相量的关系：
复数知识回顾
1. 复数的表示形式 b 代数式 o
Im F |F|
F a jb
F | F | e
j
(j 1 为虚数单位)
指数式

a 三角函数式 Re
F | F | e | F | (cos j sin ) a jb
j
F | F | e | F |
u (t ) 300cos(314t 60o )V
试用振幅相量表示i(t)、u(t) 解
Im 10030 A,
o


Um 300 60o V

例2 已知 I m 5015 A, f 50Hz .

试写出电流的瞬时值表达式。 解
i(t ) 50cos(314t 15 ) A
(1) i1 (t ) 10 cos( 100 π t 3π 4) 0 0 3 π10 4 cos( (100 100 π2 ) 5 ππ42 ( t ) π t )) i2 (tij ) 10 cos( π t 105 2 j 0 5π 4 20 π 3π 4 0 0 (2) i1 (j t) 30 10 cos( 100 135 30 ) ( 105π)t
和差角公式：
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
和差化积公式：
sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2
8.1 正弦量的基本概念
一.正弦量的余弦表示 瞬时值表达式
i
0
T
波形
i(t)=Imcos(w t+y)
正弦量为周期函数
t
f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
1 f T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒(s) 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)(Hz)
正弦交流电路
三.同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
规定： |j | (180°)
等于初相位之差

j >0， u超前i j 角，或i 滞后 u j 角, (u 比 i 先
f (t ) Ak cos( kwt k )
k 1
n
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理论价 值和实际意义。
二.正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (振幅、最大值) Im
反映正弦量变化幅度的大小。 (2) 角频率 ω 相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
180.2 j126.2 2.238 j6.329
182.5 j132.5 225.536

③旋转因子 复数
ej =cos +jsin =1∠
F• ej
F• ej
Im 旋转因子 0

F Re
特殊旋转因子
jF
Im
π , 2 π π e cos jsin j 2 2
i、 Im 、 I
u、 Um 、 U
8.2 振幅相量、有效值相量
正弦电压可以表示为：
u (t ) U m cos(wt y ) U cos(2ft y )
m
利用欧拉公式：
2 U m cos( t y ) T
j ( wt y )
u (t ) Re[U m e
.
]
Re(U m e jy e jБайду номын сангаасt )
j1
j 2
F1 F2 e
jθ1
j(1 2 )
F1 F2 1 2
1
模相乘 角相加
2
F1 | F1 | θ1 | F1 | e | F1 | j( θ θ ) e jθ 2 F2 | F2 | θ2 | F2 | e | F2 | |F1| θ1 θ2 |F2|

相量图
在复平面上用向量表示相量的图
i(t ) Im cos(ω t Ψ ) Im Im Ψ
m Umθ u(t ) Umcos(w t θ ) U
模相除 角相减
例1
解
547 10 25 ?

原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226) 12.47 j0.569 12.48 2.61

(17 j9) (4 j6) 220 35 ? 例2 20 j5 19 . 24 27 . 9 7 . 211 56 . 3 解 原式 180.2 j126.2 20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
j
极坐标式
几种表示法的关系： Im
F a jb
F | F | e | F |
j
b |F|
F

o a Re
| F | a 2 b 2 a | F | cos b 或 b | F | sin θ arctan a
2. 复数运算
若 则
Re[U m e jwt ] Re(U m wt )
. .
U m U m e jy U m y
正弦电压 的振幅 正弦电压 的初相
电压振幅相量 U m
.
u(t ) U m cos(wt y u )
2U cos(wt yu )
振幅 有效值
U m U m y
.
.
电流振幅相量 I m
Um 2U
.
.
注意 任意一个正弦电压、电流时间函数都有
唯一与其对应的复数函数。
振幅相量的模表示余弦量的振幅
振幅相量的幅角表示余弦量的初相位
正弦电压与相量的对应关系：
u (t ) Um cos(w t θ ) Um Umθ
振幅相量是正弦波的变换式，并非正弦波本身

例1
o 已知 i (t ) 100 cos(314t 30 ) A
I
def
1 T

T
0
i (t )dt
2
定义电压有效值：
1 T 2 U u ( t ) d t 0 T
def
正弦电流、电压的有效值 设
i(t)=Imcos(w t+ )
1 T 2 2 I I cos ( w t Ψ ) d t m T 0 T T 1 cos 2(w t Ψ ) 2 0 cos ( w t Ψ ) dt 0 dt
电路分析基础
第八章
阻抗和导纳
复数知识回顾
本章重点
8.1 正弦量的基本概念 8.2 振幅相量 8.3 基尔霍夫定律相量形式 8.4
R/L/C VCR的相量形式
8.6 8.7 8.8 8.9
8.10
相量模型
正弦稳态混联电路分析
相量模型分析方法 相量模型等效 相量图法
8.5 阻抗和导纳
重点：
1. 正弦量的表示、相位差等基本概念 2. 正弦量的相量表示 3. KCL、KVL的相量形式 4. 相量模型的网孔分析和节点分析
i(t ) 100 cos( 10 t y ) t 0 50 100 cosy
3
100 50 o
i
y π 3
π y 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
π i (t ) 100 cos( 10 t ) 3
当 10 t1 π 3 有最大值
3
π3 t1＝ 3 ＝ 1.047 ms 10
Im F2
①加减运算 —— 采用代数式
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
F1+F2
Im
F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
F1 Re
F1-F2 -F2
②乘除运算 —— 采用极坐标式
若 则:
F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
F1 F2 F1 e F2 e
到达最大值)；

j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角, i 比 u 先
到达最大值）。
u, i u
i
o
yu
wt yi j
特殊相位关系
j = (180 ) 反相
u u i o i wt
o
j ＝ 0 同相
o
wt
u
j= /2：u 领先 i /2
i o
wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路 （正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
研究正弦电路的意义
1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
(3) 初相位 y
w 2π f 2π T
单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
y =0
一般规定：|y |
o
y y =/2
wt
y =－/2
例
解
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
注意
U=380V 其最大值为 Um311V Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。 ③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
j π 2
F
Re
jF
0
π j π π π 2 , e cos( ) jsin( ) j 2 2 2
F
π , e
注意
j π
cos( π) jsin( π) 1
+j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
诱导公式： 函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα