标准正交基

m
n
mn
( , ) ( xii , x j j )
xi x j ( i , j ) 0
i 1
jm1
i1 jm1
V1 V2 .
§9.5 子空间
即 V2 为 V1的正交补.
再证唯一性. 设 V2 ,V3 是V1 的正交补，则
V V1 V2 V1 V3
对 V2 , 由上式知 V1 V3
取 V1 的一组正交基 1, 2 ,L , m ,
§9.5 子空间
由定理1，它可扩充成V的一组正交基
1, 2 ,L , m , m1,L , n ,
记子空间 L m1,L , n V2 .
显然, V1 V2 V .
又对 x11 x2 2 L xm m V1,
xm1 m1 L xn n V2 ,
3．内射影
设W是欧氏空间V的子空间，由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使 1 2
称 1 为 在子空间W上的内射影.
§9.5 子空间
则称向量 与子空间 V1 正交，记作 V1.
§wenku.baidu.com.5 子空间
注：
① V1 V2 当且仅当 V1 中每个向量都与 V2 正交． ② V1 V2 V1 I V2 {0}.
Q V1 I V2 ( , ) 0 0.
③ 当 V1 且 V1 时，必有 0.
§9.5 子空间
§9.5 子空间
一、正交子空间 二、子空间的正交补
§9.5 子空间
一、欧氏空间中的正交子空间
1．定义：
1) V1 与V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对
V1, V2 , 恒有 ( , ) 0,
则称子空间 V1 与 V2为正交的，记作 V1 V2 .
2) 对给定向量 V , 如果对 V1, 恒有 ( , ) 0,
注：① 子空间W的正交补记为 W . 即
W V W
② n 维欧氏空间V的子空间W满足: i) (W ) W ii) dimW dimW dimV n iii) W W V ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间.
但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.
§9.5 子空间
§9.5 子空间
二、子空间的正交补
1．定义：
如果欧氏空间V的子空间 V1,V2 满足 V1 V2 , 并且 V1 V2 V , 则称 V2 为 V1 的正交补.
2．n 维欧氏空间V的每个子空间 V1 都有唯一正交补.
证明：当 V1 {0} 时，V就是 V1 的唯一正交补． 当 V1 {0} 时，V1 也是有限维欧氏空间.
2．两两正交的子空间的和必是直和．
证明：设子空间 V1,V2 ,L ,Vs 两两正交， 要证明 V1 V2 L Vs , 只须证：
V1 V2 L Vs 中零向量分解式唯一．
设 1 2 L s 0, i Vi , i 1, 2,L , s
Q Vi Vj ,i j
(i ,0) (i ,1 2 L s ) (i ,i ) 0 由内积的正定性，可知 i 0, i 1,2,L , s.
即有 1 3 , 1 V1, 3 V3
又 V1 V2 , V1 V3 1 3 , 1,
从而有 ( ,1 ) (1 3 ,1 ) (1,1 ) (3 ,1)
(1,1 ) 0 由此可得 1 0, 即有 V3
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
§9.5 子空间
V2 V3 . 唯一性得证.