北京市北京四中0910学年高二上学期期末考试(数学理)1

北京市北京四中09-10学年高二上学期期末考试（数学理）（试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分，满分共计150分）

考试时间：120分钟

卷（I）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1．椭圆的焦距等于（）

A． B．C． D．

2．“”是“直线平行于直线”的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若双曲线的焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）

A． B． C．D．

4．圆与直线相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A． B．C．D．

5．空间中，若向量、、共面，则（）

A． B．C．D．

6．棱长为的正方体中，顶点到平面间的距离（）

A．B．C．D．

7．直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，该椭圆的离心率等

于（）

A．B．C． D．

8．矩形中，，，，，那么二面角的大小为（）

A．B．C．D．

9．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）

A．B．C．D．

10．直三棱柱中，，，则与平面所成角的

余弦值为（）

A．B．C．D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

11．二面角的大小为，为异面直线，若，则所成的角为_____．12．若经过点的双曲线C与椭圆有相同的焦点，则双曲线C的方程为______．13．抛物线上的点到直线距离的最小值是__________．

14．正方体中，给出下列四个命题：

①；

②；

③和的夹角为；

④正方体的体积为。其中错误命题的序号为____________．

三．解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分

15．已知：直线：与抛物线交于两点，

求：的面积（为坐标原点）．

16．已知：正方体中，棱长，、分别为、的中点，、是、的中点，

（1）求证：//平面；

（2）求：二面角的大小．

17．已知：双曲线的左、右焦点分别为、，动点满足。

（1）求：动点的轨迹的方程；

（2）若是曲线上的一个动点，求：的最大值和最小值．

卷（Ⅱ）

一．选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

1．直线m、n和平面、.下列四个命题中，

①若m∥，n∥，则m∥n；②若m，n，m∥，n∥，则∥；

③若，m，则m；④若，m，m，则m∥，

其中正确命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（）

A． B． C． D．

3．三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则

与底面所成角的正弦值等于（）

A． B．C．D．

二．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

4．以椭圆的中心为顶点，上焦点为焦点的抛物线方程是___________．

5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是___________．

6．正三角形中，若点、分别为、的中点，则以、为焦点，且过点、的双曲线的离心率为__________．

三．解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分

7．已知：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是AB的中点，

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求证：AC 1//平面CDB1。

（3）若，求：异面直线与所成的角．

8．已知：经过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，

（1）求证：；

（2）记、、的面积分别为、、，试判断是否成立，并

证明你的结论．

参考答案：

卷（I）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

三．解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分

15．。

16．（1）以、、为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

平面的法向量，，

∵，∴，∴//平面；

（2）平面的法向量为，平面的法向量为

则，即为。

17．（1）；

（2）

∴当时，最大值为1，当时，最小值为2。

卷（II）

1、B

2、D

3、C

4．； 5．9； 6．；

7．以CA、CB、CC1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则、、、、、、

（1），，∵，∴。∴AC⊥BC1；

（2），，，

∵，∴与共面，∴AC 1//平面CDB1。

（3）∴异面直线与所成的角为。

8．（1）由抛物线的定义得

如图，设准线l与x的交点为

而

即

，故

（2）成立，证明如下：

设，

则由抛物线的定义得

，

于是

将与代入上式化简可得

，此式恒成立。

故成立。