圆锥中的内接正棱柱正式版
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乡的天空下开车，会突然感到纳闷：我在哪儿？这就是我家吗？ 我家，在不同的路标之间。
旋转体中的内接几何体 （一）
------圆锥中的内接正棱柱
苏州第二高级中学 潘敏荣
一、圆锥中的四棱柱（1）
P
• 例1. 底面直径
与高都是1的圆
锥的内接正方 体的棱长为多
D'
C'
A'
O' B'
少？
F
D O
C
E
A
B
略解 设正方体的棱x,长 由为 轴截面可知
PO 1, EF 1 O O A A C C x ,
只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存在只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来 我和这个世界不熟。 这并非 是我安静的原因。 我依旧有很多问题， 问南方，问故里，问希望，问距离。我和这个世界不熟。 这并非是我绝望的原因。 我依旧有很多热情， 给分开，给死亡， 给昨天，给安寂。 我和这个世界不熟。 这并非是我虚假的原因。 我依旧有很多真诚， 离不开，放不下，活下去，爱得起。 我和这个世界不熟。 这并非是我孤 寂的原因。 我依旧有很多诉求， 需慰藉，待分享，惹心烦，告诉你。 我和这个世界不熟。 这并非是我冷漠的原因。 我依旧有很多动情， 为时间，为白为天黑， 畏天命。那时我们有梦，一切都是命运，一切都是烟云一切都是没有结局的开始，一切都是稍纵即逝的追寻，一切欢乐都没有微笑，一切苦难都没有泪痕，一切 语言都是重复，一切交往都是初逢，一切爱情都在心里，一切往事都在梦中，一切希望都带着注释，一切信仰都带着呻吟，一切爆发都有片刻的宁静，一切死亡 都有冗长的回声。 走吧，落叶吹进深谷，歌声却没有归宿。走吧，冰上的月光，已从河面上溢出。走吧，眼睛望着同一片天空，心敲击着暮色的鼓。走吧，我们
• 2、求底面半径为5 cm，高为12 cm 的圆锥的内接正三棱柱的侧面积的 最大值。
第1题答案 : 3hr 第 2题答:9案 3cm 2
h 3r
四、课堂小结
• 一、圆锥中的内接正棱柱的“内接” 概念。
• 二、寻找合适的轴截面位置，建立 相似比。
• 三、建立目标函数，求最值。
诗歌是一种忧郁的媒体，而诗人的使命是孤独的。垂下的头颅只是为了让思想扬起，你若有一个不屈的灵魂，脚下就会有一片坚实的土地。 只要春天还在我就不 会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来
没有失去记忆，我们去寻找生命的湖。走吧，路呵路，飘满了红罂粟。 我不相信，生活是沼泽，我不相信，生命旅途不能一路高歌；我不相信，成长是懦弱，
我不相信，双手握不住执着的绳索。人生一世，草木一秋，我们就跟大树上的叶子一样，早晚会枯黄陨落。树叶虽小但见证了春秋，既目睹了繁花似锦，也目睹 了大树凋零。我们都是很相似的树叶，因为人生就是这样，生老病死是谁都要经过的。 如果你是条船，漂泊就是你的命运，可别靠岸。谁校对时间 谁就会突然 老去 虽生犹死的寂寞让生命都凋零了人总要慢慢成熟，将这个浮华的世界看得更清楚，看穿伪装的真实，看清隐匿的虚假，很多原本相信的事便不再相信。但是， 要相信，这个世界里美好总要多过阴暗，欢乐总要多过苦难，还有很多事，值得你一如既往的相信。人生不能像做菜，把所有的料都准备好了才下锅 卑鄙是卑鄙 者的通行证高尚是高尚者的墓志铭 早上，灿亮的阳光扑进来，他还睡着。我打开窗帘，看窗外那一片平凡而现实的风景。心想，在平凡和现实里，也必有巨大的 美的可能吧。那时我们还年轻。穿过残垣断壁苍松古柏，我们来到山崖上。沐浴着夕阳，心静如水，我们向云雾飘荡的远方眺望。其实啥也看不到，生活的悲欢 离合远在地平线以外，而眺望是一种青春的姿态。 才子当然心里冰雪般的透彻：有些事，只能一个人做。有些关，只能一个人过。有些路啊，只能一个人走。 不必向我诉说春天我的心里并没有秋寒不必向我解释色彩我的眼里自有一片湛我叹世事多变幻世事望我却依然 我和这个世界不熟。 这并非是我逃避的原因。 我 依旧有很多憧憬， 对梦想，对记忆，对失败，对希冀。 我和这个世界不熟。 这并非是我卑微的原因。 我依旧有很多勇敢， 不信输，不信神，不信天，不信地。 我和这个世界不熟。 这并非是我失落的原因。 我依旧有很多高昂， 有存在，有价值，有独特，有意义。说实话离开故乡久了，家的概念变得混乱。有时我在他
2r(dh)h d
4 2r (dhh2) d
4 2r[(hd)2d2]
E
A
O
C
F
d
24
0hd当h d时,
2
Smax4d2rd42
2dr
三、圆锥中的三棱柱
P
• 例3. 求底面半
径为4 cm，高
为12 cm的圆锥 的内接正三棱 B'
C'
O'
A'
柱的表面积的
最大值。
D O
C
F
E
A
B
略解 设正四棱柱的底面边为长 x,高为h
由轴截面可知 , 则AC 2x,OOh, EF2r,
POd, P O dhAC//EF POAC
P
POEF
(dh):d 2x:2rx 2r(d h)
d
A'
O'
C'
S側面积 4xh4
P
则 PO1x ACAC 2x,
AC//EF POAC POEF
A'
O' C'
1 x 2x 11
x 1 21 21
EA
O
CF
二、圆锥中的四棱柱（2）
P
• 例2. 求底面半 径为r，高为d 的圆锥的内接 正四棱柱的侧 面积的最大值。
D'
C'
A'
O' B'
3x(12 3x) 3x2 2
0x4 3
A'
O'
PO
12
h
AO3 3
x
D ' 12
4
5 3 x2 36x 2
5 3(x123)221
2
5
5
h12 3x
EA
OD
F 当 x1523cm ,Sma x 251c6m 2
思考与练习
• 1、圆锥底面半径r，高为h，内接一 正三棱柱，且该正三棱柱侧面是正 方形，求三棱柱的側棱长。
C
Fwk.baidu.com
O
B
A
E
略解 由轴截,P 面 O 1可 ,2 O知 E OF 4
设正三棱柱的底面边 为长 x, 高为h 则ADAD 3x,
2
AOAO
0 3 x 4, 3
3x, 3
P
PO 1 2h
A O //AOS表面积 3xh2
3x2 4
PO AO
旋转体中的内接几何体 （一）
------圆锥中的内接正棱柱
苏州第二高级中学 潘敏荣
一、圆锥中的四棱柱（1）
P
• 例1. 底面直径
与高都是1的圆
锥的内接正方 体的棱长为多
D'
C'
A'
O' B'
少？
F
D O
C
E
A
B
略解 设正方体的棱x,长 由为 轴截面可知
PO 1, EF 1 O O A A C C x ,
只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存在只要明天还在我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来 我和这个世界不熟。 这并非 是我安静的原因。 我依旧有很多问题， 问南方，问故里，问希望，问距离。我和这个世界不熟。 这并非是我绝望的原因。 我依旧有很多热情， 给分开，给死亡， 给昨天，给安寂。 我和这个世界不熟。 这并非是我虚假的原因。 我依旧有很多真诚， 离不开，放不下，活下去，爱得起。 我和这个世界不熟。 这并非是我孤 寂的原因。 我依旧有很多诉求， 需慰藉，待分享，惹心烦，告诉你。 我和这个世界不熟。 这并非是我冷漠的原因。 我依旧有很多动情， 为时间，为白为天黑， 畏天命。那时我们有梦，一切都是命运，一切都是烟云一切都是没有结局的开始，一切都是稍纵即逝的追寻，一切欢乐都没有微笑，一切苦难都没有泪痕，一切 语言都是重复，一切交往都是初逢，一切爱情都在心里，一切往事都在梦中，一切希望都带着注释，一切信仰都带着呻吟，一切爆发都有片刻的宁静，一切死亡 都有冗长的回声。 走吧，落叶吹进深谷，歌声却没有归宿。走吧，冰上的月光，已从河面上溢出。走吧，眼睛望着同一片天空，心敲击着暮色的鼓。走吧，我们
• 2、求底面半径为5 cm，高为12 cm 的圆锥的内接正三棱柱的侧面积的 最大值。
第1题答案 : 3hr 第 2题答:9案 3cm 2
h 3r
四、课堂小结
• 一、圆锥中的内接正棱柱的“内接” 概念。
• 二、寻找合适的轴截面位置，建立 相似比。
• 三、建立目标函数，求最值。
诗歌是一种忧郁的媒体，而诗人的使命是孤独的。垂下的头颅只是为了让思想扬起，你若有一个不屈的灵魂，脚下就会有一片坚实的土地。 只要春天还在我就不 会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来
没有失去记忆，我们去寻找生命的湖。走吧，路呵路，飘满了红罂粟。 我不相信，生活是沼泽，我不相信，生命旅途不能一路高歌；我不相信，成长是懦弱，
我不相信，双手握不住执着的绳索。人生一世，草木一秋，我们就跟大树上的叶子一样，早晚会枯黄陨落。树叶虽小但见证了春秋，既目睹了繁花似锦，也目睹 了大树凋零。我们都是很相似的树叶，因为人生就是这样，生老病死是谁都要经过的。 如果你是条船，漂泊就是你的命运，可别靠岸。谁校对时间 谁就会突然 老去 虽生犹死的寂寞让生命都凋零了人总要慢慢成熟，将这个浮华的世界看得更清楚，看穿伪装的真实，看清隐匿的虚假，很多原本相信的事便不再相信。但是， 要相信，这个世界里美好总要多过阴暗，欢乐总要多过苦难，还有很多事，值得你一如既往的相信。人生不能像做菜，把所有的料都准备好了才下锅 卑鄙是卑鄙 者的通行证高尚是高尚者的墓志铭 早上，灿亮的阳光扑进来，他还睡着。我打开窗帘，看窗外那一片平凡而现实的风景。心想，在平凡和现实里，也必有巨大的 美的可能吧。那时我们还年轻。穿过残垣断壁苍松古柏，我们来到山崖上。沐浴着夕阳，心静如水，我们向云雾飘荡的远方眺望。其实啥也看不到，生活的悲欢 离合远在地平线以外，而眺望是一种青春的姿态。 才子当然心里冰雪般的透彻：有些事，只能一个人做。有些关，只能一个人过。有些路啊，只能一个人走。 不必向我诉说春天我的心里并没有秋寒不必向我解释色彩我的眼里自有一片湛我叹世事多变幻世事望我却依然 我和这个世界不熟。 这并非是我逃避的原因。 我 依旧有很多憧憬， 对梦想，对记忆，对失败，对希冀。 我和这个世界不熟。 这并非是我卑微的原因。 我依旧有很多勇敢， 不信输，不信神，不信天，不信地。 我和这个世界不熟。 这并非是我失落的原因。 我依旧有很多高昂， 有存在，有价值，有独特，有意义。说实话离开故乡久了，家的概念变得混乱。有时我在他
2r(dh)h d
4 2r (dhh2) d
4 2r[(hd)2d2]
E
A
O
C
F
d
24
0hd当h d时,
2
Smax4d2rd42
2dr
三、圆锥中的三棱柱
P
• 例3. 求底面半
径为4 cm，高
为12 cm的圆锥 的内接正三棱 B'
C'
O'
A'
柱的表面积的
最大值。
D O
C
F
E
A
B
略解 设正四棱柱的底面边为长 x,高为h
由轴截面可知 , 则AC 2x,OOh, EF2r,
POd, P O dhAC//EF POAC
P
POEF
(dh):d 2x:2rx 2r(d h)
d
A'
O'
C'
S側面积 4xh4
P
则 PO1x ACAC 2x,
AC//EF POAC POEF
A'
O' C'
1 x 2x 11
x 1 21 21
EA
O
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二、圆锥中的四棱柱（2）
P
• 例2. 求底面半 径为r，高为d 的圆锥的内接 正四棱柱的侧 面积的最大值。
D'
C'
A'
O' B'
3x(12 3x) 3x2 2
0x4 3
A'
O'
PO
12
h
AO3 3
x
D ' 12
4
5 3 x2 36x 2
5 3(x123)221
2
5
5
h12 3x
EA
OD
F 当 x1523cm ,Sma x 251c6m 2
思考与练习
• 1、圆锥底面半径r，高为h，内接一 正三棱柱，且该正三棱柱侧面是正 方形，求三棱柱的側棱长。
C
Fwk.baidu.com
O
B
A
E
略解 由轴截,P 面 O 1可 ,2 O知 E OF 4
设正三棱柱的底面边 为长 x, 高为h 则ADAD 3x,
2
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0 3 x 4, 3
3x, 3
P
PO 1 2h
A O //AOS表面积 3xh2
3x2 4
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