北京大学弹性力学讲义

“弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。

所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。

弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。

弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。

授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。

目前网上给出如下一些教案示例：
1.“第一章矢量与张量”
2.“第二章应变分析”
3.“第三章应力分析
4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5)
5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4)
弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。

弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。

弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。

人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。

弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。

本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。

第一章矢量与张量
本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。

§1 向量代数
1.1向量的定义
从几何观点来看，向量定义为有向线段。

在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。

设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成
(1.1)
设在中有另一个坐标系，其标架为，它与
之间的关系为
（1.2）
由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵
(1.3)
将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。

从(1.2)可反解出
（1.4）向量在新坐标系中的分解记为
(1.5)
将(1.4)代入(1.1),得到
(1.6)
公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。

这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。

可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。

1.2 Einstein约定求和
用求和号，可将(1.1)写成
(1.7)
所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成
(1.8)
在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成
(1.9)
有时亦称求和的指标为“哑指标”。

本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。

按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成
(1.10)
(1.11)
将(1.11)代入(1.8)，得
(1.12)
由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，
(1.13)
今引入Kronecker记号，
(1.14)
例如。

应用，单位向量之间的内积可写成
(1.15)
向量和向量之间的内积可写成
(1.16)
上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。

再引入Levi-Civita记号，
(1.17)
其中分别取1，2，3中的某一个值。

例如，
，，…。

利用，向量之间的外积可写为
(1.18)
(1.19)
1.3与之间的关系
Kronecker 记号与Levi-Civita 记号之间有如下关系
(1.20)
证明1 穷举法，先列出所有可能的81种取值情况，
情形
1
2
3
┆ 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3
┆┆┆┆
然后逐个情形证明,例如，情形1，，故此情形(1.20)成立，…。

证明2 我们有双重外积公式
(1.21)
将代入(1.21)左右两边，得到
将上述两式代入(1.21)两边，移项，得
(1.22)
由于的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。

证明3 利用Lagrange公式
(1.23)
按证明2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。

证明4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有
(1.24)
其中分别为向量在中的坐标。

按行列式的乘积法则，有
(1.25)
其中第二个等式应用了等关系。

将(1.25)最后一个行列式展开，得
(1.26)
注意到，以及换标记号和的意义，从（1.26）即得(1.20)。

证毕。

§2 张量代数
2.1张量的定义
设
(2.1)
其中称为并矢基,它们共有9个,
(2.2)
在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为
(2.3)
于是
(2.4)
从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组，在坐标变换下，关于变换系数为二次齐次式，则称为张量，也记作。

为其指标记号，为其整体记号。

张量在并矢基下的9个分量，有一个矩阵与之对应，记作
(2.5)
同一个张量在另一组并矢基下所对应的矩阵为，
(2.6)
按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换，
(2.7)
其中为坐标变换矩阵（1.3）。

附注：上述张量的定义可以推广：一个阶有序数组 ,在坐标变换(1.10)下,若服从的次齐次式，
(2.8)
则称之为阶张量。

按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(２.1）所述的张量为二阶张量，也可证明Levi-Civita记号为三阶张量。

(2.8)式中的下标和
取值范围也可不必限于从１到３，也可从１到，那么(2.8)式所定义的张量称为维空间中的阶张量。

本书所述张量，以后如不作说明均为三维二阶张量。

2.2张量的运算
张量与张量的和与差记为，
(2.9)
张量的转置记为，
(2.10)
不难验证，和也是张量。

例如，
(2.11)
一个张量称为对称张量，如果
(2.12)
与对称张量所对应的矩阵为对称矩阵。

一个张量称为反对称张量，如果
(2.13)
与反对称张量所对应的矩阵为反对称矩阵，我们将反对称矩阵记成
(2.14)
从(2.14)可以得出，
(2.15)
(2.16)
不难验证，由(2.16)所定义的为向量，它称为相应于反对称张量的轴向量。

由于
所以
(2.17)
为一张量，称之为单位张量。

张量的迹定义为
(2.18)
2.3张量与向量之间的运算
张量与向量有左右两种内积，
(2.19)
(2.20)
从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式
(2.21)
如果为反对称张量，由(2.19) (2.15),得
(2.22)
张量与向量有左右两种外积，
(2.23)
(2.24)
张量与两个向量和之间有四种运算，
2.4 张量与张量之间的运算
两个张量与之间的内积和外积如下
两个张量与之间有四种双重运算
对于双重运算，先将外层的两个基和按下面的符号进行运算，再将内层的两个基和按上面的符号进行运算。

从双重运算可得两个有用的公式，
(2.25)
(2.26) 此外，尚有关系式
(2.27)
(2.28)
利用(2.25)(2.26),能得到两个有用的定理
定理2.1 对称
证明从(2.25)立即得到所需的结论。

定理2.2
证明首先，如果，那么，从(2.26)得到。

其次，如果，(2.26)给出
(2.29)
对(2.29)取迹，得
(2.30)
将(2.30)代回(2.29)，即得。

证毕。

§3 向量分析
3.1 Hamilton 算子
记
(3.1)
由于
(3.2)
可知算子服从向量的定义。

设为三维区域中的标量场，关于的左右梯度为
，
其中，下标中的逗号表示对其后坐标的微商，。

从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。

设为三维区域中的向量场，关于的左右散度为
，
从上面两式可以看出向量的左右散度相等。

关于向量场的左右旋度为
，
对于的左右旋度，有关系式。

标量场的Laplace算子为，
向量场的Gauss公式为
(3.3)
其中为区域的边界曲面，，为上的单位外法向量。

向量场的Stokes公式为
(3.4)
这里为任意曲面，为的边界曲线，在边界上积分的环向与的外法向依右手定向规则：指向观察者，从观察者来看，曲线沿反时针为正。

3.2无旋场与标量势
对任意标量场有下述关系
(3.5)
上式用到了关系，因为本书总假定所出现的函数具有所需的各阶连续导数。

(3.5)说明有势场是无旋场，其逆命题一般也成立，即有，
定理3.1 设为单连通区域上的任意向量场，则
存在，使得 (3.6) 证明充分性由(3.5)即得。

现证必要性，若，令
(3.7)
这里为中的某个定点。

不难验证，即合所求。

首先，(3.7)中的线积分由于无旋假定而与路径无关，即仅为位置的函数。

其次，从(3.7)可算出。

证毕。

如果区域是多连通的尚需加上单值性条件。

3.3无源场与向量势
对任意的向量场有如下公式，
(3.8)
上式说明，具向量势的向量场其散度为零，即为无源场。

此命题的逆命题也成立。

定理3.2 对区域上的任意向量场 ,有
存在，使得 (3.9) 证明充分性由(3.8)即得。

关于必要性，下述的即合所求，
(3.10)
其中，为中的定点。

证毕。

附注：定理3.2的证明中引用了定积分，因此区域必须具备凸性才可使定积分得以进行。

关于一般区域中的证明参见Stevenson(1954)的论文，此文还指出定理3.2一般只对具有单边界的区域成立，对于有多边界的区域还需补充一些条件。

3.4 Helmholtz分解
对任意的向量场，它的二重旋度有如下表示
(3.11)
利用(3.11)可得下面的重要定理
定理3.3 (向量的Helmholtz分解) 对区域上的任意向量场，总存在标量势和向量势，使得
，且 (3.12)
证明令
(3.13)
其中，从(3.13),按Newton位势，有
(3.14)
将(3.11)代入(3.14),得
(3.15)
设，从(3.15)即得欲证之(3.12)式。

证毕。

§4 张量分析
4.1向量的梯度
向量的左右梯度均为张量
(4.1)
相应于向量左右梯度的矩阵为
(4.2)
从（4.1）,或(4.2),可得
(4.3)
(4.4)
4.2张量的散度和旋度
张量的左右梯度均为向量
(4.5)
从(4.5)看出，
(4.6)
对于特殊的张量，其左右梯度为
(4.7)
张量的左右旋度仍为张量
(4.8)
(4.9) 与张量的旋度所相应的矩阵为
(4.10)
也可列出所相应的矩阵。

从(4.8) (4.9)，可得
(4.11)
当为对称张量时，由(4.10) (4.11)有
(4.12)
4.3 等公式
我们有下面四个公式
(4.13)
上述四个公式都可以直接验算，例如
4.4两个重要公式
应用张量的左右旋度，我们导出本书第三章和第五章中所需的两个重要公式，
(4.14)
(4.15)
公式(4.14)和(4.15)也都不难验证，例如
(4.14)左边
=(4.14)右边
4.5 Gauss 公式和Stokes公式
张量的Gauss 公式为，
(4.16)
(4.17)
事实上，为证(4.16)，设，记，那么，于是
其中第二个等号利用了向量的Gauss 公式(3.3)。

为了证明(4.17),设，这样，(4.17)的左边将为
张量的Stokes 公式为，
（4.18）
（4.19）
上面两个等式可利用向量的Stokes公式(3.4)，按（4.16）（4.17）的方式证得。

附注：本章所讨论的张量为直角坐标中的张量，有时亦称并矢，或称笛卡尔张量。

关于张量的普遍理论请参考郭仲衡（1980，1988），黄克智等(1986)。

第二章应变分析
本章描述弹性体的变形，导出几何方程，并指出几何方程与应变协调方程的等价性。

§1. 位移
设在三维欧氏空间中弹性体占有空间区域，它在外界因素影响下产生了变形, 内的点变成了点，其间的位置差异是位移向量，即有
（1.1）
图2.1
如图2.1所示，其中。

我们总假定是单值函数，并有所需的各阶连续偏导数。

对(1.1)考察它的Jacobi行列式
…… (1.2)
其中 ,。

本书研究小变形，总假定为小量，即假定
， (1.3)
在假定（1.3）之下，从(1.2)得，这样从隐函数存在定理，在某个邻域内存在单值连续可微的反函数，
(1.4)
于是(1.1)(1.4)中的函数均为具所需各阶连续偏导数的单值函数，且互为反函数。

单值可以认为是一个物质点不能变成两个物质点，这样弹性体不被撕裂；
单值可以认为是两个物质点不能变成一个物质点，或者说弹性体不会重叠。

§2. 几何方程
本节将从位移的分解导出弹性力学的几何方程。

考察点附近的点的位移，按Taylor展开，有
(2.1)
其中略去了的高阶小量。

利用右梯度的记号，可将(2.1)写成
(2.2)
这里。

我们引入对称张量和反对称张量，
(2.3)
(2.4)
此处通常称为Cauchy应变张量，或简称为应变张量。

方程(2.3)称为几何方程，它是弹性力学三组方程中的第一组，它把弹性力学中的两个重要物理量位移和应变联系起来了。

与应变张量相应的矩阵为，
(2.5)
通常记的分量为
(2.6)
有时将分别写成或，这三个分量称为正应变分量或正应变；将分别写成，这三个分量称为剪应变分量或剪应变。

在此种记号下，(2.6)可写成
(2.7)
与反对称张量相应的矩阵为
(2.8)
从(2.8)看出与相应的轴矢量为，
(2.9)
从（2.2），按照和的定义，得，
(2.10)
注意到反对称张量与其轴矢量的关系，即第一章(2.22)式，得到
(2.11)
(2.11)可以看作某点附近各点上位移的分解，它包含三部分：其一，相当于平动；其二，相当于刚体转动；其三为变形。

下面将着重研究第三部分所表示的变形。

(2.11)也可写成，
(2.12)
§3. 变形
变形是弹性体区别于刚体的基本之点，本节以二维变形为例，直观地考察长度和角度这两个形状基本要素的变化。

图2.2
如图2.2所示，点及其附所的两个点和，它们在外界因素影响下，变成了点、、，其坐标变化如下，
(3.1)
现在来看微线元的相对变化，
(3.2)
在得到上式时，略去了和的高阶小量。

从(3.2)可知的几何意义为方向上微线元的相对伸长。

当时，线元伸长；当时，线元缩短。

同理和分别为方向和方向上微线元的相对伸长。

再来考虑角的变化，对图2.2中的角和，有
(3.3)
其中略去了的高阶小量。

当变形很小时，和也很小，从(3.3)可近似地认为有
(3.4)
如图2.2所示，直角变形后成为了角，二者之差为，按(3.4),
表示角度改变之半。

当时，直角变成了锐角；当时，直角变成了钝角。

弹性变形一般很小，通常认为。

§4. 应变分析
在上一节指出了表示坐标方向上线元的伸长和其间角度的变化。

本节将指出
也可描述任意方向上微线元的长度相对变化，以及任意两个方向间夹角的变化。

4.1长度的变化
设有矢径为的点，在外界因素作用下变至，其间位移为。

在点附近有矢径为
的点，
(4.1)
其中为方向的单位向量。

设变至，其间位移为，那么向量
将为（见图2.3），
（4.2）
图2.3
现在来考察的长度，从(4.2)有，
(4.3)
将分解式(2.12)代入到(4.3）,再注意到，得
(4.4)
其中称为Green应变张量，
(4.5)
这里为Cauchy应变张量（2.3）。

在导出（4.5）时利用了向量混合乘积的公式。

本书仅考虑小变形，忽略中有关的二次项部分，(4.4)成为
(4.6)
设方向上的相对伸长为，由(4.6)得
(4.7)
上式导出时略去了的高阶小量。

当时，从(4.7)有：，此即(3.2)式。

（4.7）式明确指出，只要知道某点的应变张量，就可以得到该点任意方向上线元的伸长率。

附注非线性大变形时，需要考虑Green应变张量，它的分量为
(4.8)
4.2 角度的变化
在矢径为的点附近有两个点和，它们的矢径分别为和，设
(4.9)
式中，为两个互相垂直的单位向量。

变形时，点、、分别变为、、，其间位移分别为、、，那么向量
和将分别为,
（4.10）为考察和之间的夹角，作它们的内积，从(4.10)得
（4.11）
将正交条件，(2.12), ,代入(4.11),得
（4.12）由于，从(4.12)得
（4.13）
在小变形时，有
（4.14）
设和之间的夹角的夹角为，并设
（4.15）
其中，和分别为和方向上的相对伸长。

将(4.15)代入(4.14),得
（4.16）
对于小变形的情形，、和均很小，略去高阶小量，从(4.16)得，
（4.17）
当，时，（4.17）给出，此即为(3.4)所描述的事实。

（4.17）表明，一旦有了应变张量，那么互相垂直的两方向夹角的变化即可算出。

类似地，对于不垂直的两任意方向间的夹角变化也不难求出。

综上所述，长度和角度这两个形状要素的变化都可以用应变张量来描述，一个点上的的应变张量足以刻划该点附近微元的变形，也就是说，应变张量包含了变形的全部信息。

§5 应变张量
5.1张量
设在标架下的分量为 ,今有一个新的标架，基向量
和的关系为
(5.1)
按(4.7)式，在方向上的伸长为
(5.2)
按(4.17)式，在和间的角度变化为
(5.3)
综合(5.2) (5.3)，以及关于、、和类似的式子，可得
(5.4)
另一方面，按前面两节的几何解释，、和分别为在新标架下的正应变，、和分别为在新标架下的剪应变，也就是说，为在新标架下的分量。

从(5.4)看出，在新旧标架下的分量与服从关于的二次齐次式，因此是一个张量。

这样，我们从几何解释给出了为张量的一种证明。

5.2坐标变换
设应变张量在新旧坐标系下所对应的矩阵分别为和，那么按(5.4)，
有
(5.5)
其中矩阵，上标表示转置。

考虑的两种特殊情形。

图2.4
情形绕轴旋转角度（图2.4），此时变换矩阵为
(5.6) 将(5.6)代入(5.5)，得
(5.7)
图2.5
情形球坐标变换，其标架为，变换矩阵为(图2.5),
(5.8)
将(5.8)代入(5.5),
(5.9)
5.3主方向主应力
6.1Saint-Venant协调方程
几何方程的坐标形式、指标形式、整体形式分别为
(6.1)
， (6.2)
(6.3)
这组方程将位移和表征变形的应变联系起来，并从位移场得到了应变场。

Saint-Venant提出了一个有趣的反问题：从应变场能否得到位移场？这个反问题从力学上来看就是：如果每一点附近的局部变形已知，能否将它们拚接起来构成一个整体的位移？显然，一般说来这不可能。

倘若各点附近的局部变形互不关联，拚接起来可能会出现重叠、撕裂等不连续现象。

因此为了服从连续性公理而获得一个连续的变形，各点附近的变形之间应该具有某种协调关系。

上述反问题也可从数学上来看：任给六个应变分量能否通过三个位移分量来表示？此问题一般说来是否定的。

如果这种表示能够实现，这六个应变分量就不独立，应该满足某种关系。

我们有下面的重要命题：
定理6.1 若应变通过位移按(6.1)、或(6.2)、或(6.3)表出，则应变满足下述的Saint-Venant应变协调方程( 坐标形式、指标形式、整体形式)
(6.4a,b,c)
(6.4d,e,f)
(6.5)
(6.6)
证明从(6.1)(6.2)(6.3)可直接验证(6.4)(6.5)(6.6)成立。

在导出(6.6)时用到了公式和。

证毕。

公式(6.4)(6.5)(6.6)之间除书写方式外没有什么不同，从一种方式可转换成另一种方式。

例如，可将(6.6)换成(6.5)(6.4),
(6.7)
从(6.7)可得
(6.8)
若，(6.8)给出，
此即(6.4b)式，或(6.5b)式。

注：（6.4b）表示(6.4)的第二式，以下同此。

若 ,(6.8)又给出，
上式即(6.4f)(6.5f)。

整体形式(6.6)属于 Kpy Tkob (1949)。

6.2Volterra 积分表示
定理6.1 说，如果应变场是从位移场通过几何方程(6.3)算出的，则必须满足协调方程(6.6)。

那么条件(6.6)是否充份呢？也就是问：如果服从协调条件(6.6)，能否求出一个位移场使几何方程(6.3)成立。

答案是肯定的。

定理6.2 (Volterra 1907) 若区域中的对称张量场满足协调方程(6.6)，则存在满足几何方程(6.3)的向量场，其形式如下，
, (6.9)
其中和为常向量，为区域中的某固定点，而
(6.10)
这里中的下标是为了强调是关于变量的，而不是关于变量的。

证明首先来验证(6.9)中的线积分与路径无关。

事实上，按第一章（4.13d）式，有
(6.11)
由于满足协调方程(6.6)，从(6.11),得
(6.12)
其中用到了式子。

利用第一章（2.28）式，(6.12)成为
(6.13)
第一章（4.12）和(4.11)两式为
(6.14)
将(6.14)代入(6.13),即得
(6.15)
（6.15）表明(6.9)的被积函数为全微分，于是(6.9)中的线积分与路径无关，因此(6.9)所定义的积分表达式仅是位置的函数。

其次，来验证(6.3)成立。

为此，对位移的积分表达式(6.9)作微分
将上式略作改变写成，
(6.16)
再注意到
则(6.16)成为
(6.17)
其中
(6.18)
显然为反对称张量。

在得到(6.17)时，还用到关系式。

由于为任意向量。

从(6.17)得到
(6.19)
对(6.19)式取转置，有
将上述两式相加，得
(6.20)
(6.20)表明，由（6.9）定义的位移场所生成的应变场为预先给定的对称张量。

定理证毕。

从定理6.2得到一个很有用的推论。

推论6.1若，则为刚体位移场，即
(6.21)
6.3Volterra公式的推导
至于Volterra积分公式(6.9)本身可按下述步骤导出。

设位移已知，那么就有在公式，在此式两边取积分，有
将上式积分中的第二项分部积分，得
(6.22)
注意到
(6.23)
其中最后一等式用到了(2.9)式。

将(6.23)代入(6.22)，即得Volterra公式(6.9)。

6.4多连通域
区域有多连通与单连通之分。

如果区域中的任意封闭曲线可在区域中连续地收缩到一点，则该区域是单连通域。

例如，正方体和球体就是单连通域。

图2.7
并非所有区域都量单连通的。

一个圆绕所在平面上的与圆不相交的直线进行旋转，其所形成的锚环区域(图2.7)就不是单连通区域。

不过可作一个截面将锚环切开，使其成为一个单连通区域。

一般说来，可借m个截面成为单连区域的区域，称为m +1 连通区域。

值得注意的是，由一个封闭曲面所围成的区域未必是单连通区域，例如锚环就是一个封闭曲面所围成的区域，它是二连通的区域; 而由多个封闭曲面所围成的区域却可能是单连通区域，例如含空洞的区域。

对于Volterra公式，它从满足协调方程的应变场构造出位移场，由于式中含有线积分，因此在多连通区域中为保证位移的单值性，还必需附加一些条件。

从公式(6.9)，考虑到r的任意性，可知需补充的位移单值性条件是
(6.24)
(6.25)
其中L i为与第i个截面相交的域内封闭曲线，i = 1,2,…, m ,区域设为m +1 连通区域。

条件(6.24) (6.25)保证了由(6.9)求出的位移是单值的，而条件(6.25) 保证了由(6.18b)求出的 是单值的。

6.5等价定理
综上四段所述，我们证明了如下重要命题。

定理6.3 设G 为m +1 连通区域W中的对称张量场，那么存在单值的向量场u，使得
(6.26)
的充分必要条件是
(6.27)
其中L i 为与第i 个截面相交的域内封闭曲线，有m个截面将W切开成单连通区域。

6.6附注
附注1 关于张量的定理6.3第一章关于向量的定理3.1的推广。

附注2 协调方程(6.4)共有六个方程，它们是独立的。

事实上，一个张量场满足五个协调方程，未必能满足第六个。

例如应变场
满足方程(6.4b,c,d,e,f)，但不满足(6.4a)。

还可举出类似的五个例子（胡海昌）。

附注3Washizu(1958),鹫津久一郎(1984)证明了如下命题
定理6.4记
(6.29)
. 若
则
. 若
则
其中为区域 的边界。

王敏中、青春炳（1980）将Washizh定理中的两种情形作了推广，得到了17种可能情形和3 种不可能情形。

附注4(6.29)所定义的称为不协调张量，当时，一个Euclid空间变成了一个Euclid空间；当时，Euclid空间将变成Riemann空间。

附注5记
它们分别称为Burgers向量和Frank向量。

当，时，变形体发生位错和向错。

关于附注4和附注5，请参见郭仲衡、梁浩云（1989）。

第三章应力分析
本章引进了应力张量、导出了平衡方程，并且讨论了作为平衡方程通解的应力函数。

§1 应力张量
1.1外力
弹性体所受的外力可以分为体力和面力两种。

作用于弹性体上的重力、电磁力等超距力称为体力。

单位体积上的体力记作，也可以按极限定义为
(1.1)
其中点总在体积为的微元之中，是该微元上体力的合力。

弹性体与其它物体接触的面上，受有外界给它的力，称为面力，例如流体的压力、固体间的压力和摩檫力等。

1.2 内力
在外力的作用下，弹性体内部的分子的初始状态发生变化，产生了分子之间的附加力，这种力称为内力。

分子之间的内力作用距离很小，这种性质称为“短程性”。

为显示内力，在弹性体内部过某点P作一小面元，
面元两侧分别记作A和B（图3.1a,b）。

在图3.1a中，向量表示B部分通过面元
对A部分的作用力，在图3.1b中，向量则表示A对B的作用力。

内力仅通过面来作用是由于它的“短程性”所致。

按Newton第三定律，和的大小相等、方向相反、作用在不同的部分上。

按Cauchy的说法，将称或为应力向量。

当收缩至P 点时，也可以用形如（1.1）式的极限来定义应力向量，我们仍记作。

显然，不仅与P的位置有关也与面元的方向有关。

（a）（b）
图3.1
1.3 六面体上的应力
为显示应力与方向有关，在弹性体内某点P的邻域内作一小六面体元，它的六个表面分别与坐标面平行，其中三个表面的外法向与坐标法向（）分别相同，其余三个表面的外法向则分别与坐标方向相反（图3.2）。

六面体外部关于外法向为和面上的应力向量，分别记为和（＝1，2，3）。

将在标架上进行分解（图3.2a），得
图3.2
（1.2）
式（1.2）中含有9个分量，可以排成一个矩阵，
＝（1.3）
其中、、称为正应力，、、、、、称为剪应力。

引入记号（1.4）
下面的1.5段中将证明为张量，它是弹性力学中的一个重要的物理量，称为应力张量,所对应的矩阵如（1.3）所示。

式（1.2）的指标形式为
（i=1,2,3）（1.5）
这里的第一个脚标与所在的面的外法向相对应，第二个脚标表示
在方向上投影。

对则在标架中进行分解（图3.2b），。