二次函数图象的平移和对称变换

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二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题

有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。

一 、 平 移 。

例1、 把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。

法（一）选取图象上三个特殊的点，如（

0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运

算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移

3 个单位，再向下平移

4 个单位

后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关 系式的一般形式 y=ax 2

+bx+c 中，求出各项系数即可。

例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。

法（二）

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-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单

先利用配方法把二次函数化成

y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然

后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。

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【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .

法（三）

根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，

平移规律为 “左右平移即

把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。

”

例 3、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。

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-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单

平移后的图象的解析式为： y=2(x-3) 针对练习

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-8 （x-3 ）+5+4. 然后化简即可。

1、求把二次函数 y ＝x － 4x ＋ 3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应

的函数解析式：（ 1）向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位；（ 2）向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位。

2、抛物线 y 2

2(x 1) 3 是由抛物线 y 2x 怎样平移得到的？

3、若抛物线析式。

y x 向左平移 2 个单位，再向下平移

4 个单位，求所得到的解

二、二次函数图象的轴对称变换

二次函数图象的对称一般有关于 x 对称和关于 y 对称等情况，可以用一般式或顶点式表达

1.

关于 x 轴对称

例4、 把抛物线 y=x -4x+6 关于 x 轴对称后，求其图象的解析式。

法（一）选取图象上三个特殊的点，如（ 0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】 ，然后把这三个点按要求关于

x 轴对称后得到三个新点（

0， -6 ），

（ 1， -3 ），（ 2，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式 y=ax +bx+c

中，求出各项系数即可。

例 5、已知抛物线 y=2x 法（二）

-8x+5, 求其关于 x 轴对称后的解析式。 2

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先利用配方法把二次函数化成 y a( x h)

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k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然

后把顶点（ 2， -3 ）关于 x 轴对称后得到新抛物线的顶点为（ 2， 3），因为是抛物线

关于 x 轴对称，因此关于

x 轴对称后

a 的值应该互为相反数，这样我们就得到新的

抛物线的解析式中 a=-2 ，且顶点为（ 2， 3），就可以求出其解析式了。

法（三）

例 6、已知抛物线 y=2x -8x+5, 求其关于 x 轴对称后的解析式。

根据关于 x 轴对称的点的特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数。不论是哪种形式的解析式，我们只要把原解析式中的

y 改写为 -y, 然后再整理即可。

即其关于 x 轴对称后的解析式为：

-y=2x -8x+5 ，整理为 y=-2x +8x-5

【 y ax 2 练习

bx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是

y

ax 2 bx c ；】

求与抛物线

y 2 x

2

4 x 5

关于 x 轴对称的抛物线的解析式．

2.

关于 y 轴对称

例 7、把抛物线 y=x 法（一）

-4x+6 关于 y 轴对称后，求其图象的解析式。

选取图象上三个特殊的点，如（ 0， 6），（ 1， 3），（ 2， 2）【选取使运算最简单 的点】，然后把这三个点按要求关于

y 轴对称后得到三个新点（ 0， 6），（-1 ， 3 ），

（ -2 ， 2 ），把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式 y=ax 各项系数即可。

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+bx+c 中，求出

例 8、已知抛物线 y=2x 法（二）

-8x+5, 求其关于 y 轴对称后的解析式。

先利用配方法把二次函数化成 y a( x h) 2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然

后把顶点（ 2，-3 ）关于 y 轴对称后得到新抛物线的顶点为（ -2 ，-3 ），因为是抛物线关于 y 轴对称，因此关于 y 轴对称后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中

a=2，且顶点为（ -2 ，-3 ），就可以求出其解析式了。

法（三）

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