第三章平面电磁波

成波为线极化波。
2. 圆极化波 条件： Exm E ym Em、 x y π / 2 则
Ex (0, t ) Em cos(t x )
E y (0, t ) Em cos( t x
π ) Em sin( t x ) 2
常数
合成波电场的模
k
其解为： E
第一项
jkz ' jkz ( z ) E e E x 0 0e
解的物理意义
E1x ( z ) E0 e jkz Exm e
j x
e jkz
E1x Emcos(t kz) 的波形
E1x ( z , t ) Re[ E xm e j x e jkz e jt ] E xm cos( t kz x )
极化的三种形式
一般情况下，沿+z 方向传播的均匀平面波 E ex E x e y E y ，
其中
Ex Exm cos(t kz x ) , E y E ym cos( t kz y )
电磁波的极化状态取决于Ex 和Ey 的振幅之间和相位之间的关
E Exme ex E yme e y e jkz Ex ex E y e y
jx j y


x
相伴的磁场
由 E j H ，可得
jkz H e e jkz E0 E 0 H j j j
3.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 1. 均匀平面波的传播参数 （1）角频率、频率和周期 角频率ω ：表示单位时间内的相位变化，单位为rad /s 周期T ：时间相位变化 2π的时间间隔，即
T 2π
T
2π
1 (Hz) 频率 f ： f T 2π

(s)
o
Ex
t T
Ex (0, t ) Emcost
Sav 1 1 ve vp wav
图3-1-2 平面波的能量速度
1 例1 均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m，以相位常 3π 数为30 rad/m 在空气中沿 ez 方向传播。当t = 0 和 z = 0 时 ，若H 取向为 ey ，试写出 E 和 H的表示式，并求出频率和波长。
的曲线
（2）波长和相位常数 波长λ ：空间相位差为2π 的两个波阵面的间距，即
k 2π
2π 1 k f
(m)
相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化
k
2π

(rad/m)
o
Ex
k 的大小等于空间距离2π内所包含 的波长数目，因此也称为波数。
z
Ex ( z, 0) Em cos kz的曲线
E E H H 0, 0 x y x y
2 d2 E d H 2 2 k E 0 , k H 0 2 2 dz dz
Ex E y Ez 由于 E 0 x y z
E z 0 z
Ez 0
2 Ez 2 k Ez 0 2 z
（3）相速（波速） 相速v：电磁波的等相位面在空间 中的移动速度 由 t
kz C
dt kdz 0
1 (m s)
1 1 4 π 10 10 9 36 π
7
故得到均匀平面波的相速为 dz vp dt k

相速只与媒质参数 有关，而与电磁波 的频率无关
2π 2π 0.21 m , k 30
3π E ( z, t ) ex 40 cos(90 108 t 30 z ) V/m
例2 自由空间中平面波的电场强度
E ex 50cos(t kz ) V/m
求在z = z0 处垂直穿过半径R = 2.5m 的圆平面的平均功率。 解：电场强度的复数表示式为 E ex 50e jkz 自由空间的本征阻抗为
例5 说明下列均匀平面波的极化方式。 ( 1 ) E ex Em sin(t kz ) e y Em cos(t kz )
真空中：v p c
1
0 0

3 108 (m/s)
2、能量密度、能流密度与能速
(1)均匀平面波传输的平均功率流密度矢量可由式(3-1-7)和式(3-1-8)得
1 Sav Re( E H * ) 2 1 * Re E ( e E ) z 2 1 * * Re ( E E ) e ( E e ) E z z 2 1 2 E ez 2
第3章 平面电磁波
3.1 理想介质中的均匀平面波 3.2 均匀平面波的极化 3.3 损耗媒质中的均匀平面波 3.4 均匀平面波对平面边界的垂直入射 3.5 均匀平面波对平面边界的斜入射
均匀平面波的概念 波阵面：空间相位相同的点构成的曲面，即等相位面
平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅都保持不变
O
E
y
H
z
理想介质中均匀平面波的 E和 H

jke jkz ez E0 ez E j
Ey Ex 120π r Hy Hx r
H
1

ez E
E e
y
1
x
Ex e y
结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。
E0 e jkz 表示沿 +z 方向传播的波。
第二项 E2 x ( z ) E0' e jkz Exm e jx e jkz
' j x
'
沿 －z 方向 传播的波
E2 x ( z , t ) Re[ Exm e e jkz e jt ] Exm cos( t kz x' )
H z 同理 H H x 0 x y z
H y
Hz 0
结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向 —— 横电磁波（TEM波）
设电场只有x 分量，即
E ( z ) ex E x ( z )
d 2 Ex ( z) 2 k Ex ( z) 0 2 dz
解：以余弦为基准，直接写出 1 H ( z , t ) e y cos(t kz ) A/m 3π E( z, t) 0 H ( z, t) (ez ) ex 40cos(t kz) V/m
c 3 108 45 f 108 1.43 109 Hz π /15 π 1 则 H ( z , t ) e y cos(90 108 t 30 z ) A/m
随时间变化
x y 0
合成波电场与+ x 轴的夹角
arctan(
Ey Ex ) arctan( E ym Exm )
常数
特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢 端，轨 迹与x 轴的夹角始终保持不变。
x y π
结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 线极化波，当它们的相位相同或相差为±π时，其合
右旋圆极化波：若φy－φx＝－π/2，则电场矢端的旋转方向 与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波
y
Ey
o
θ
E x
Ex
右旋圆极化波
左旋圆极化波：若φy－φx＝π/2，则电场矢端的旋转方向 电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波
y
o Ey
Ex
a θ
x E
左旋圆极化波
3. 椭圆极化波 其它情况下，令 x y ，由
系，分为：线极化、圆极化、椭圆极化。
线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段
圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆 椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆
1. 线极化波 条件： x y 0 或 π 合成波电场的模
2 2 E Ex2 (0, t ) E y (0, t ) Ex2m E y m cos( t x )
2 E Ex2 (0, t ) E y (0, t ) Em
随时间变化
合成波电场与+ x 轴的夹角 arctan[ tan(t x )] (t x ) 特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变 化，电场的矢端在一个圆上并以角速度ω 旋转。 结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 线极化波，当它们的振幅相同、相位差为±π/ 2 时， 其合成波为圆极化波。
说明空间中任一点、任一时刻的电场能量密度等于磁场能量 密度。总电磁能量密度的平均值为
1 T wav we ( z , t ) wm ( z , t ) dt T 0 1 1 2 2 2 2 Exm E ym H xm H ym 2 2
（3）电磁波能量传播的速度称为能速ve。如图3-1-2所示，在以 单位面积为底、长度为ve的柱体中储存的平均能量，将在单位 时间内全部通过单位面积，所以这部分能量值应等于平均功率 流密度，即Sav=vewav，由式(3-1-13)和式(3-1-14)可得能速为
2 1 2 ( E x E y )e z 2
(2) 电磁场中电场能量密度、磁场能量密度的瞬时值为
we ( z , t ) 1 2 2 E ( z , t ) E ( z, t ) x y 2
1 2 2 wm ( z, t ) H ( z , t ) H x y ( z, t ) 2 2 2 E ( z , t ) E 1 x y ( z, t ) we ( z, t ) 2 /
Ex (0, t ) Exm cos(t x )
E y (0, t ) E ym cos( t x )
2 Ey
2 Ex E y E 2 cos sin 2 可得到 E E ym Exm E ym
2 x 2 xm
特点：合成波电场的大 小和方向都随时间 改变，其端点在一 个椭圆上旋转。
合成波极化的小结 电磁波的极化状态取决于Ex 和 Ey 的振幅Exm、Eym 和相位差 φ＝φy－φx 对于沿+ z 方向传播的均匀平面波： 线极化：φ＝0、± 。 φ＝0，在1、3象限；φ＝± ，在2、4象限。 圆极化：φ＝± /2，Exm＝Eym 。 取“＋”，左旋圆极化；取“－”，右旋圆极化。 椭圆极化：其它情况。 0 < φ < ，左旋；－ < φ＜0，右旋 。
W/m 2
125 125 2 Pav Sa v d S πR π 2.52 65.1 W S 12 π 12π
3.2 均匀平面波的极化
3.2.1 极化的概念 波的极化 在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间 变化的轨迹。 波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 化的特性, 是电磁理论中的一个重要概念。
0 120π
H ey
故得到该平面波的磁场强度
E
于是，平均坡印廷矢量 1 1 5 125 S av Re( E H ) ez 50 ez 2 2 12 π 12π 垂直穿过半径R = 2.5m 的圆平面的平均功率
0
ey
5 jkz e A/m 12 π
的平面波 均匀平面波是电磁波的一种理想 情况，其分析方法简单，但又表
波阵面
x
E
波传播方向
征了电磁波的重要特性。
y
o
H
z
均匀平面波
3.1 理想介质中的均匀平面波
3.1.1 波动方程的均匀平面波解 3.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 3.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波
3.1.1 一维波动方程的均匀平面波解 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想 介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电场强度和磁场强度均不是 x 和 y 的函数，即