高考数学平摆线和渐开线
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§4 平摆线和渐开线
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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题型二 圆的渐开线 渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上 动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是
将“切线 BM 的长就是A︵B的长”用坐标表示出来.
渐开线的参数方程不能化为普通方程. 【例2】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
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2.平摆线轨迹的参数方程
x＝r（α－sin y＝r（1－cos
α）， α） (－∞＜α＜＋∞，α
为参数)
3.渐开线定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，
将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳
的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线， 这条曲线叫_圆__的__渐__开__线_，这个圆叫作渐开线的_基__圆__.
所以，所求摆线的参数方程是xy＝＝2211kkππ（（φ1－－csions
φ）， φ）
(φ 为参数) (其中 k∈N＋).
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【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0 当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计 算r的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0， 从而导致答案不全面.
OA 的长等于A︵M的弧长，即 OA＝rφ；点 M 绕圆心 B 运动一
周回到切点的位置 E，那么 OE 的长恰等于圆周长.这就是所 谓“无滑动地滚动”的意思.
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从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过 程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因 此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知 识，得
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O→A＝(4cos θ，4sin θ).
由几何知识知∠MAB＝θ，
A→M＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得O→M＝O→A＋A→M
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
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2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程. 解 直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方
程为：xy＝ ＝22（ （csions
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ）
(φ 是参数).
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【例 3】 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应 的曲线上两点 A、B 对应的参数分别是π3和π2，求 A、B 两 点的距离. 分析 首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的 标准参数方程，再根据A、B对应的参数代入参数方程 可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距 离计算公式可得A、B之间的距离.
参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
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令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1，
所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1.
所以 r＝21kπ.又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0.
所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋.
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1.圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O，圆 上点M起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹方程. 解 xM＝r·θ－r·cos（φ＋θ）－π2＝r[θ－sin(φ＋θ)]， yM＝r＋r·sinφ＋θ－π2＝r[1－cos(φ＋θ)].
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4.圆的渐开线的参数方程
x＝r（cos y＝r（sin
φ＋φsin φ－φcos
φφ） ），(其中
φ
为参数).
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【思维导图】
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【知能要点】
1.平摆线，平摆线的参数方程. 2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.
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解 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量O→M0的 方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x， y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开线定义，
弧A︵M0的长和线段 AM 的长相等，记O→A和 x 轴正向所夹的角 为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A︵M0＝4θ.
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【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的 参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
(φ 为参数)可知，只需求
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆
的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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题型二 圆的渐开线 渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上 动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是
将“切线 BM 的长就是A︵B的长”用坐标表示出来.
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2.平摆线轨迹的参数方程
x＝r（α－sin y＝r（1－cos
α）， α） (－∞＜α＜＋∞，α
为参数)
3.渐开线定义
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，
将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳
的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线， 这条曲线叫_圆__的__渐__开__线_，这个圆叫作渐开线的_基__圆__.
所以，所求摆线的参数方程是xy＝＝2211kkππ（（φ1－－csions
φ）， φ）
(φ 为参数) (其中 k∈N＋).
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【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0 当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计 算r的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0， 从而导致答案不全面.
OA 的长等于A︵M的弧长，即 OA＝rφ；点 M 绕圆心 B 运动一
周回到切点的位置 E，那么 OE 的长恰等于圆周长.这就是所 谓“无滑动地滚动”的意思.
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从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过 程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因 此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
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O→A＝(4cos θ，4sin θ).
由几何知识知∠MAB＝θ，
A→M＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得O→M＝O→A＋A→M
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
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2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程. 解 直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方
程为：xy＝ ＝22（ （csions
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ）
(φ 是参数).
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【例 3】 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应 的曲线上两点 A、B 对应的参数分别是π3和π2，求 A、B 两 点的距离. 分析 首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的 标准参数方程，再根据A、B对应的参数代入参数方程 可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距 离计算公式可得A、B之间的距离.
参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
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令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1，
所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1.
所以 r＝21kπ.又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0.
所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋.
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1.圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O，圆 上点M起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹方程. 解 xM＝r·θ－r·cos（φ＋θ）－π2＝r[θ－sin(φ＋θ)]， yM＝r＋r·sinφ＋θ－π2＝r[1－cos(φ＋θ)].
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4.圆的渐开线的参数方程
x＝r（cos y＝r（sin
φ＋φsin φ－φcos
φφ） ），(其中
φ
为参数).
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【知能要点】
1.平摆线，平摆线的参数方程. 2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.
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解 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量O→M0的 方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点 M(x， y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐开线定义，
弧A︵M0的长和线段 AM 的长相等，记O→A和 x 轴正向所夹的角 为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A︵M0＝4θ.
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【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的 参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
(φ 为参数)可知，只需求
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆
的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入