磁场习题课

因此,有:
0 2 L2 L1 B I L (1 ) 2 2 2 4R 1L1 L2
0 I 2 2 (1 ) 2R 1
1.6 10 (T )
(如两段弧材料,尺寸均相同,则如何?)
6
3、两彼此绝缘的无限长且具有缺口的圆柱形导线的横截面如图。 它们的半径同为R，两圆心的距离O1O2=1. 60R，沿轴向反向 通以大小相同的电流，强度为I。求在它们所包围的缺口空间 C 中的磁感应强度。 R R C I 解：在C区内任取一点A。它到两圆心的距 I 离分别为r1、r2。 r1、r2与圆心连线的夹角 O2 O1 为θ1 、θ2 。假定C中也流有与导线中电流 y 密度相同的一正一反正好抵消的电流，并 B2 B1 令电流密度i，则由安培环路定理得： 1 2 2 I 0 jr 1 0 jr1 x B 0 B1 A r1 2r 2r1 2 r2 2 1 2 O O2 1 0 jr 2 0 jr2 B2 B B1 B2 2r2 2 j Bx B1sin1 B2 sin 2 0 (r2 sin 2 r1sin1 ) 0 2 j j By B1cos 1 B2 cos 2 0 (r1cos 1 r2 cos 2 ) 0 O1O2 0.80 jR
B H
2
0 r 0 (1 m ) 称为磁导率
4.几种典型电流的磁场: 0 I (cos 1 cos 2 ) (1)一段直线电流: B
4a
I
1
P
(2)无限长直线电流:
0 I B 2a
(3)圆形线电流中心轴线上:
B
0 IR
2
2( R 2 x 2 )3 / 2
稳恒磁场习题课
一.电流及运动电荷的磁场 1.毕 — 萨定律: 由叠加原理: 对于运动电荷: 2.基本定理: 磁场的高斯定理: 安培环路定理:
ˆ 0 Idl r dB 4 r 2 ˆ 0 Idl r B 2 4 r L ˆ 0 qv r B 4 r 2 B dS 0
1 M m R mB sin mB cos 2
mB cos 2a 2 Sg sin
2Sg ctg 3.712 BI
重力矩： L mga sin 2mg 所以
1 a sin 2a 2 Sg sin 2

0
0 I1 I 2 0 I1 I 2 d Fx 2 2
半圆线圈所受I 1 的磁力大小为：
y
A
F
0 I1 I 2
2
d Fy d F
d Fx
R
I1
D
方向沿 x 轴正向。
I2
C
x
23．（本题10分）2471 如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相 距为3r，今有载有电流I3的导线MN = r，水平放置，且其两端 MN分别与I1、I2的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN 所受的磁力大小和方向． c 解：载流导线MN上任一点处的磁感强 a I2 度大小为： I1 M N 0 I1 0 I 2 B I3 2(r x) 2(2r x) r r r MN上电流元I3dx所受磁力：
2rA
CC＇线圈在O点所产生的磁感强度
A
BC
0 NC I C
2rC
500 0
(方向垂直CC＇平面)
2 A 2 1/ 2 C
O点的合磁感强度Biblioteka Baidu
B (B B )
7.02 10 T
1
4
B的方向在和AA＇、CC＇都垂直 的平面内，和CC＇平面的夹角
BC tg 63.4 BA
[例题P120 15-14]
一半径为R的长直导体圆柱载有电流I,作一宽为R,长为L的 假想平面S,如图所示,若假想平面可在导体直径和轴所确定 的平面内离开轴移至无穷远处,是求当通过面S的磁通量最 大时平面S的位置.(设直导线内电流均匀分布).
解:由安培环路定理可得:
I B内 0 2 x 2R
S
L 内
B dl 0 Ii
H dl I0
L L
3.基本概念: A.磁化强度矢量: B.磁化电流:
V I M dl
H
L
M
m
C.磁场强度定义:
B
0
M
D.几个物理量之间的关系:
M m H
B

2 ( R 2 x 2 )3 / 2
0 IR
2
0 m 2 ( R 2 x 2 )3 / 2
圆心处:
0 I
2R
(4)长直螺线管内部: (5)螺绕环内部:
B 0nI 0 NI B 2r
0 Ir B 2R 2
(6)长直圆柱形导体内部: (7)无限大平面电流:
24．（本题12分）2482
一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为 R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为的 各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上 流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布 的．求同轴线内外的磁感强度大小B的分布． 解：由安培环路定理： H d l Ii

O2
I
O1
0.285 0 I B By R
方向：竖直向上。
0 .8 R

3、半径为 R 的半圆线圈 ACD 通有电流 I2 ，置于电 流为 I1 的无限长直线电流的磁场中，直线电流 I1 恰过半圆的直径，两导线互相绝缘。求半圆线圈受 到长直线电流 I1 的磁力。 y 解：取坐标如图。长直线电流在半圆线 圈处产生的磁感应强度大小为： 0 I1 B 方向： 2R sin
A
d Fy d F
d Fx
R
I1
D
I2
C
x
半圆线圈上d l 线电流所受的磁力大小：
0 I1 I 2 d F BI 2 d l R d 2R sin
d Fy d F cos
方向如图。
由对称性知： Fy d Fy 0
d Fx d F sin
Fx
2 2
I 1 2 1 2 S R 2S S R 0.8R 2 R sin j S 2 2 2 cos 0.8 sin 0.6 36.87 0 0.6435 rad 2 2
S 2.81R
2
I j 2.81R 2
R
I

C
R

I
0 j0 S1 0 I 0 IR 2 R1 2 2 2 2a( R2 R12 ) 2a 2a ( R2 R1 )
2 1

j

j0
O’轴处:
0 0 Ia Ia 2 2 2 2 2a ( R2 R1 ) 2 ( R2 R12 )
引申:求外部一点的场,如何求?
3 B 9 . 40 10 T ，线圈中电流为 I = 10 A。 向上，且 1）今使线圈平面保持竖直，问线圈所受的磁力矩为多少？ 2）若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动，问当线圈因受磁力 矩和重力矩共同作用而平衡时，线圈平面与竖直面的夹角为 多少？（已知铜线横截面积S=2.00mm2，铜的密度=8.90g/cm3）
A
D
I1
O

I2
B
C
圆心处总的B值为: 0 I1L1 0 I L (1 ) B B1 B2 ( I 2 L2 I1 L1 ) 2 2 2 2 4R I 2 L2 4R 1 L1 2 L2 电阻为: r1 , r2 S S
因并联,故有:
I1 r2 2 L2 I 2 r1 1 L1
1.求磁场: A.毕 - 萨定律及叠加原理
M m B
B.安培环路定理
2.求磁力,磁力矩:
dF Idl B
M m B
[例题1]: （本题10 分）（2720） 两根导线沿半径方向接到一半径 R=9.0cm 的导电圆环上 , 如图所示 . 圆弧 ADB 是铝导线 , 电阻率为 ρ1=2.5×10-8Ω.m,圆弧ACB是铜导线,电阻率为 ρ2=1.6× 10-8Ω.m,两 种导线截面积相同 ,圆弧 ACB的周长是圆周长的 1/π倍.直导线在很 远处与电源相联,弧ACB上的电流I2=2.00A,求圆心O处B的大小. 解:弧ADB在O点产生的B向外,ACB 产生的B向内,且: IL 0 I 2 L2 B1 0 1 21 B2 4R 4R 2
1 B 0 j 2
二.磁场对电流及运动电荷的作用 : 1.电流元受的磁力: 线电流受的磁力:
dF Id l B
洛仑兹力:
F ( Idl B) L f qv B
2.平面载流线圈的磁矩:
m NIS
均匀磁场中载流线圈所受的磁力矩: 三.本部分问题:
0< r <R1区域：
R3 R2 R 1 I
R1< r <R2区域： 2rH
I H 2r
2rH Ir 2 / R12 0 Ir H Ir 2 B 2R1 2R12
I
I
I
B
2 r
R2< r <R3区域：
2 I (r 2 R2 ) 2rH I 2 2 ( R3 R2 )
0 I B外 2x
O R S
I
O
B-x曲线如图所示: 设内侧离开轴线r时,磁通量为φ,则有: R I rR I 0 0 B dS xLdx Ldx r 2R 2 R 2x S
2 m Ia 解：(1) ， 方向垂直于线圈平面。 M m R Ia2 B sin 90o 9.40104 N m
(2)
A D
1 2
B
mg mg
C mg
(2) 设线圈绕AD边转动，并线圈稳定时，线圈平面与竖 直平面夹角为 ，则B对线圈的力矩为
2 r 2 R2 I H (1 2 ) 2 2r R3 R2
2 r 2 R2 B 0 H (1 2 ) 2 2r R3 R2
0 I
r >R3区域：
H = 0，B = 0
[例题5](P121 15-20) 有一无限长直圆筒形导体 , 导体和空腔半径分别为 R2 和 R1, 他们的轴线相互平行 , 两轴线间距离为 a,电流 I 沿轴向流动 , 在横截面上均匀分布,求两轴线上任一点的磁感应强度. 解:采用挖补法来求: I I j0 2 S ( R2 R12 ) O轴上一点B值:
d F I3B d x
I 3[
b
d
0 I1
2(r x)

0 I1
2(2r x)
]d x
F I3 [
0
r
0 I1
2(r x)
r

0 I 2
2(2r x)
r
]d x
I1 [ dx 2 0 r x
0 I3
0 I3
I2 d x] 2r x 0
A
D
于是
15o
B mg mg C mg
1 2
22、（本题10分）2567 AA＇和CC＇为两个正交地放置的圆形线圈，其圆心相 重合．AA＇线圈半径为20.0 cm，共10匝，通有电流10.0 A； 而CC＇线圈的半径为10.0 cm，共20匝，通有电流 5.0 A．求 两线圈公共中心O点的磁感强度的大小和方向． A＇ (μ0 =4π×10-7 N·A-2) BC B 解：AA＇线圈在O点所产生的磁感强度 C BA O 0 N A I A C＇ BA 250 0 (方向垂直AA＇平面)
2r r [ I 1 ln I 2 ln ] 2 r 2r 0 I3 0 I3 ( I 1 I 2 ) ln 2 [ I 1 ln 2 I 2 ln 2] 2 2
I 2 I1
I 2 I1
F
F
的方向向下，
的方向向上
B 竖直 3、一边长a = 10cm的正方形铜线圈，放在均匀外磁场中，