波动方程

二、波函数的物理意义
1 .当
x x0 （常数）时， y y f (t ) o 为波线上 x0 处质点的振动方程。
2 .当
x y A cos t u
t
t c
y
（常数）时，
y f (x )
y t T /4
o o x
为某一时刻各质点的振动位移，给这列波拍的“照片”
2.50 -1 0.01 -1 y (5cm ) cos 2π [( s )t ( cm ) x] 2 2
2cm 2 1 200 cm u 250 cm s T s 0.8 s T 0.01 2.5
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ， T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求 1）波动方程 解 写出波动方程的标准式

x t u
点P
t-x/u时刻点O 的运动
ii)相位法
点 P 比点 O 落后的相位
y A
O
u
x
P
*
x 2π
点 P 振动方程：
A

x
x
y( x, t ) A cos(t 0 ) A cos( t 2
平面简谐波前进波的波函数（表达式、波函数、波动 方程、运动学方程）：
3 4
O
1
1.0 2 0 -1.0*1 2 *
3 *
1

1.0
4 *
2.0
*
*
t /s
x 0.5 m 处质点的振动曲线
例3 一平面简谐波以速度u 20m / s 沿直线传播,波 2 1 线上点 A 的简谐运动方程 y A (3 10 m) cos( 4 π s )t .
8m C B 5m
0
u
x x0 x x0 y( x0 , t ) A cos[ (t ) 0 ] u u t x x0 x x0 A cos[2 ( ) 0 ] A cos( t 2 0 ) T
3、已知真实波源的振动，波源在原点
已知波源的振动
(1.0m) sin( π m ) x
1
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . t x π y (1.0m) cos[ 2 π( ) ] 2.0s 2.0m 2 x 0.5m 处质点的振动方程
3）
y (1.0m) cos[(π s )t π] y/m y
轴正向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0, t ) A cos(t 0 ) 求波线上任意位置x处质点的振动方程 y ( x, t ) 。
解: X处的振 动规律y(x,t) 与原点的振动 规律的关系：
i)时间法 点O 的振动状态 t 时刻点 P 的运动
x y( x, t ) y[0,(t t )] A cos[ (t ) 0 ] u
注意：a) x为正、负，均适用； b)对横、纵波均适用；
2、从无穷远处来到无穷远处去
y( x0 , t ) A cos(t 0 ) 已知 x x0 的振 动 求波线上任意位置x处质点的振动方程: y( x, t )
（1）前进波
·· · · o ··· · · ···
u·· x
·· ·
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t
8m C 5m
2
1
u
9m A D
oB
x
π
1
B A 2π
xB x A

5 2π 10
B π
yB (310 m) cos[(4π s )t π ]
2
2
t x y (3 10 m) cos[ 2π ( ) π ] 0.5s 10 m

0 )
x t x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] A cos[2 ( ) 0 ] T ux A cos(t 2 0 ) A cos(t kx 0 )
注意： a)不论x为正、负，均适用；b)对横、纵波均适用；
o o
t0
x
y t T /2
x
y t 3T / 4
x
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t (0.01cm ) x].
-1 -1
解：方法一（比较系数法）.
t x y A cos 2π ( ) T
把题中波动方程改写成
比较得
y( x, t ) y( x0 , t t )
x0
x
x x0 x x0 y( x0 , t ) A cos[ (t ) 0 ] u u t x x0 x x0 A cos[2 ( ) 0 ] A cos( t 2 0 ) T
3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
u
C
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t 10m 8m 5m 9m
B
2
2
1
oA
D
1
x
AC
点 C 的相位比点 A 超前
yC (3 10 m) cos[( 4 π s )t 2 π ] 13 2 1 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5 点 D 的相位落后于点 A AD 2 1 yD (3 10 m) cos[(4 π s )t 2 π ] 9 2 1 (3 10 m) cos[( 4 π s )t π] 5
t x y A cos[ 2π ( ) ] T
O
A
π y 2 y 0, v 0 t t x π y (1.0m) cos[2 π( ) ] 2.0s 2.0m 2
y
t 0 x0
2）求 t 1.0s 波形图.
t x π y (1.0m) cos[ 2 π( ) ] 2.0s 2.0m 2 π 1 t 1.0s y (1.0m) cos[ (π m ) x] 2 波形方程
第二节 波动方程
用数学表达式表示波动----波函数 波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y ( x, t )
各质点相对于平衡位置的位移 波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去 已知 原点的振动 （1）前进波（波沿X轴正方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
y A (3 10 m) cos( 4 π s )t
8m 5m
2
1
u
oA
9m
10m
D
C
B
x
8 B C 2π 2π 1.6π 10 xC xD 22 C D 2π 2π 4.4π 10
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（2）后退波（波沿X轴负方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去,沿X轴 负向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0, t ) A cos(t 0 ) 求波线上任意位置x处质点的振动方程 y ( x, t ) 。 解: X处的振动规律y(x,t) 与原点的振动规律的关系： i)时间法 P点 的振动状态 t 时刻点 P 的运动
百度文库
注意: 振动方程与波函数的区别
x A cos(t )
o x为振动位移,是时间 t 的函数
x 为波线上各质元的平衡 位置，y 为 t 时刻 x 处质 点振动位移，波函数是x 和 t 的函数。
x
x f (t )
t
y f ( x ,t )
y
o x
x y A cos t u
x t u
x y( x, t ) y[0,(t t )] A cos[ (t ) 0 ] u

原点 t+x/u时刻点O 的运动
ii)相位法 点 P 比点 O超前的相位
A y
O
u
x
P *
x y( x, t ) A cos(t 0 ) A cos( t 2 0 )
xB xC
u
oA
9m D
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
A 3 10 m T 0.5s 0 uT 10m t x y A cos[ 2π ( ) ] T t x 2 y (3 10 m) cos 2π ( ) 0.5s 10 m
2
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
平面简谐波后退波的波函数（表达式、波函数、波动 方程、运动学方程）：
点 P 振动方程：
x 2π
A

x
t x x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] A cos[2 ( ) 0 ] T ux A cos(t 2 0 ) A cos(t kx 0 )
4、已知真实波源的振动，波源不在原点 已知波源的振动
x x0处 x x0处
y( x0 , t ) A cos(t 0 ) x x0 ) 0 ] 前进波 y ( x, t ) A cos[ (t u x x0 ) 0 ] 后退波 y ( x, t ) A cos[ (t u
y(0, t ) A cos(t 0 )
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u
求波线上任意位置x处质点的振动方程:
y( x, t )
x 0处 x 0处
前进波
后退波
2、从无穷远处来到无穷远处去
y( x0 , t ) A cos(t 0 ) 已知 x x0 的振 动 求波线上任意位置x处质点的振动方程: y( x, t )
（2）后退波
y( x, t ) y( x0 , t t )
· · · · · · o· · · · · · · · x x ·· · x