专题二 圆锥曲线的定义、标准方程及性质训练

专题二圆锥曲线的定义、标准方程及性质

[A组小题提速练]

1．(双曲线的性质)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )

A. 3 B．3

C.3m D．3m

解析：双曲线方程为x2

3m

－

y2

3

＝1，焦点F到一条渐近线的距离为b＝ 3.选A.

答案：A

2．(双曲线的离心率)已知双曲线x2

a2

－

y2

3

＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )

A．2 B．

6 2

C.

5

2

D．1

解析：因为双曲线的方程为x2

a2

－

y2

3

＝1，所以e2＝1＋

3

a2

＝4，因此a2＝1，a＝1.选

D.

答案：D

3．(等轴双曲线的性质)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝43，则C的实轴长为( )

A. 2 B．2 2

C．4 D．8

解析：抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4,23)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.

答案：C

4．(双曲线方程)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )

A．x2－y2

4

＝1 B．

x2

4

－y2＝1

C.y 2

4

－x 2

＝1 D ．y 2

－x 2

4

＝1

解析：A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2

＝0，得y ＝±2x ，令y 2

－x 2

4＝0，得y ＝±1

2

x ，故选C.

答案：C

5．(双曲线方程)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一

条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 2

4－y 2

＝1 B ．x 2

－y 2

4＝1

C.3x 220－3y 2

5

＝1 D.3x 25－3y 2

20

＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2

＝1.

答案：A

6．(抛物线与椭圆)(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点是椭圆

x 2

3p

＋y 2

p ＝1的一个焦点，则p ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．8

解析：抛物线y 2

＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

p 2，0，

椭圆x 23p ＋y 2

p ＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．

由题意得p

2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.

故选D. 答案：D

7．(双曲线性质与方程)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A

在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的

方程为( ) A.x 24－y 2

12＝1 B ．

x 212

－y 2

4

＝1

C.x 2

3

－y 2

＝1 D ．x 2

－y 2

3

＝1

解析：根据题意画出草图如图所示⎝

⎛ 不妨设点A

⎭

⎪⎫

在渐近线y ＝b a x 上.

由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴b a

＝tan 60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3， ∴双曲线的方程为x 2

－y 2

3＝1.

故选D. 答案：D

8．(直线与双曲线关系)已知双曲线x 24－y 2

b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实

半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B ．x 24－4y 2

3＝1

C.x 24－y 2

4

＝1 D.x 2

4－y 2

12

＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b

2

x ，x 2

＋y 2

＝4得x A ＝

44＋b 2，y A ＝2b 4＋b

2

，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b

4＋b 2＝2b ，解得b 2

＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 2

12＝1，选D.

答案：D

9．(双曲线性质)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，M 、N 为双曲线上关于原点

对称的两点，P 为双曲线上的点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1·k 2＝5

4，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B ．32 C ．2

D.52

解析：设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则N (－x 1，－y 1)，

∴k 1·k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 2

1

x 22－x 21

，

由点M 、N 在双曲线上得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22

b

2＝1，

两式相减可得y 22－y 2

1

x 22－x 21

＝b 2a 2，

∵k 1·k 2＝54，∴b 2a 2＝54，∴b ＝5

2a ，

∴c ＝a 2

＋b 2

＝32a ，∴e ＝c a ＝3

2

.故选B.

答案：B

10．(抛物线性质)已知F 为抛物线y 2＝43x 的焦点，过点F 的直线交抛物线于

A ，

B 两点(点A 在第一象限)，若AF →＝3FB →

，则以AB 为直径的圆的标准方程为( ) A.⎝

⎛⎭⎪⎫x －

5332

＋(y －2)2＝643 B ．(x －2)2＋(y －23)2＝

643

C ．(x －53)2＋(y －2)2＝64