用待定系数法求解析式

知识点 1 确定二次函数关系式 【例题】 求满足下列条件的二次函数的关系式： (1)图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)； (2)图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，函数有最小值为－8； (3)图象顶点坐标为(1，－6)，且经过点(2，－8)． 思路点拨：(1)已知三点，选用一般式．(2)可用顶点式，也 可用交点式．(3)选用顶点式．
解得 ab＝ ＝1－，1.
∴这个二次函数的关系式为 y＝x2－x－2.
∴可设关系式为 y＝a(x－1)2－8.
将点 A(－1,0)代入，得 a＝2. ∴函数关系式为 y＝2(x－1)2－8＝2x2－4x－6. 方法二：由点 A(－1,0)，B(3,0)， 可设函数关系式为 y＝a(x－3)(x＋1)． 整理函数，得 y＝ax2－2ax－3a. ∴此函数图象的最小值为－8. ∴ 4a·(－3a)－(－2a)2＝－8.
4a
∴a＝2.∴函数关系式为 y＝2(x－3)(x＋1)． 即 y＝2x2－4x－6.
(3)∵图象顶点为(1，－6)，
∴设其关系式为 y＝a(x－1)2－6.
∵图象经过点(2，－8)， ∴－8＝a(2－1)2－6.∴a＝－2.
∴函数关系式为 y＝－2(x－1)2－6.
即 y＝－2x2＋4x－8.
若 x1，x2 分别是抛物线与 x 轴的两个交点的横
*第3课时 用待定系数法求二次函数的解析式
求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的解析式 (1)关键是求出待定系数___a_，__b_，__c___的值． (2)设解析式的三种形式： ①一般式：________y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c____________，当已知 抛物线上三个点时，用一般式比较简便； ②顶点式：__________y_＝__a_(x_－__h_)_2_＋__k__________，当已知 抛物线的顶点时，用顶点式较方便； ③交点式(两根式)：_____y_＝__a_(x_－__x_1_)_(x_－__x_2_) ____，当已知 抛物线与 x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．
解：(1)设所求函数关系式为 y＝ax2＋bx＋c，
∵图象经过点 A(0,3)，B(1,3)，C(－1,1)，
c＝3， ∴a＋b＋c＝3，
a－b＋c＝1.
a＝－1， 解得b＝1，
c＝3.
∴函数关系式为 y＝－x2＋x＋3.
(2)方法一：∵图象经过点 A(－1,0)，B(3,0)，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为(1，－8)．
图 22-1-7
3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中的 x，y 满足下表：
x … －2 －1
0
1
2…
y…
4
0
－2 －2 0 …
求这个二次函数关系式．
解：把点(0，－2)代入 y＝ax2＋bx＋c，得 c＝－2.
再把点(－1,0)，(2,0)分别代入 y＝ax2＋bx－2，
a－b－2＝0， 4a＋2b－2＝0，
坐标，则直线
x＝
x1＋x2 2
就是对称轴．
【跟踪训练】
1．过(－1,0)，(3,0)，(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是( A )
A．(1,2)
B.1，23
C．(－1,5)
D.2，134
2．抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图 22-1-7 所示，则此
抛物线的解析式为_y_＝__－__x_2_＋__2_x＋__3_．