1.1.2-导数的概念(公开课优质课件)

h(t t0 ) h(t0 ) lim t 0 t
问题6：对于教材第一页的气球膨胀问题，当气球 体积为V0时的瞬时膨胀率该怎么表示？
r (V V0 ) r (V0 ) lim V 0 V
问题7：如果将上述变化率问题中的函数用 y f ( x) 表 示，那么函数 y f ( x) 在 x x0 的瞬时变化率又怎样表示 呢？
第一章 导数及其应用
1.1.2 导数的概念
一．回顾 （一）函数 从x1到x2的平均变化率公式是什么？
f ( x2 ) f ( x1 ) y x2 x1 x
（二）如果用x0与增量△x表示平均变化率的 公式是怎样的？
y f ( x0 x) f ( x0 ) = x x
f ( x0 x) f ( x0 ) lim x 0 x
探究三：导数的定义 定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
称它为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 ) 或 y | x x0 , 即 f (x0 Δx) f ( x0 )
△t = 0.00001, v
源自文库
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时,v 13.10049
v 13.099951
13.100049
v 13.0999951 △t =0.000001, v 13.1000049 …… ……
问题3：你认为运动员在t=2秒处的瞬时速度为 -13.1 m/s．
例1 将原油精炼为汽油、 柴油、塑胶等各种不同产 品 , 需要 对原油进 行冷却 和加热 .如果在 xh 时, 原油 的温度 单位 :0 C 为 f x x 2 7 x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度 的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
解
同理可得 f ' 6 5.
请同学们自己完成具体 运算过程.
在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率 分别为 3与5.它说明在第 2h附近 , 原油温度 大约以3 C / h的速率下降 ; 在6h附近 , 原油温
当△t = – 0.01时, v 13.051 当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
问题2. 已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的 函数h(t)=－4.9t2+6.5t+10，请同学们完成下列表格中t=2秒附近 的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势．
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段 时间内
v 4.9t 13.1
问题4：怎样使平均速度更好的表示瞬时速度？
探究二：寻求瞬时速度 问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度， 那么这个速度是 瞬时速度 。 那下面我们一起来寻求这个瞬时速度。
我们先考察 t 2附近的情况 . 在 t 2 之前 或之后 , 任意取一个时刻 2 t , t是时间的改 变量, 可以是正值 , 也可以是负值 , 但不为 0.当 t 0时,2 t在2之前;当t 0时,2 t在2之后. 计算区间 2 t ,2和区间 2,2 t 内平均速度 v, 可以得到如下表格 .
二．新课导学
探究一： 65 [0, 在教材第3页探究中，在时间段 49 ] 里的平均速度是零， 而实际上运动员并不是静止的．这说明平均速度 不能 准确 反映他在这段时间里运动状态. 问题1：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？ 瞬时速度 问题2：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？ 例如，要求物体在t=2s时的瞬时速度，应该怎么来求？接 下来我们一起来看物理中测即时速度（瞬时速度）的视频： （请看大屏幕） 问题3：视频里所测得的真的是瞬时速度吗？
h2 t h2 为了表述方便 , 我们用 lim 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确
h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0 时的极限. t
定值 13.1".
问题5：运动员在某t0时刻的瞬时速度怎么表示？
和f
'
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ' 2
y f 2 x f 2 6.根据导数的定义, x x

2 x 2 72 x 15 22 7 2 15
x
4 x x 2 7 x x 3, x y ' 所以, f 2 lim lim x 3 3, x 0 x x 0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x
f ( x0 ) lim
x 0
注意：
2. f ( x0 )与x的具体取值无关。
x
.
1. f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
问题4：当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势？
我们发现 , 当t趋近于0 时,即无论 t从小于 2 的一边 , 还是从大于 2的一边趋近于 2时, 平均速度都趋近于一 个确定的值 13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 | t | 无限变小时, 平均
速度v就无限趋近于t 2时的瞬时速度.因此, 运动 员在t 2时的瞬时速度是 13.1m / s.