质点系力学

第三章 质点系力学

§3-1 质点系

1.质点系微分方程组

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧==n n n F dt r d m F dt r d m 221

2121......

3n 个微分方程组，难解！转求系统运动总趋势 2.内力与外力 1)质点系 2)内力 3)外力 4)质点系内力与内力矩和为零 5)孤立系

3.质心

质点系对质量的加权平均位置

∑=⇒∑+∑==∑=⇒∑=∑∑=

)

()()(e c i i e i i i i c i i c i i i c F a M F F F a m a M r m r M m r m r

x m x M

y m y M z m z M c

i i c

i i c i i =∑=∑=∑⎧⎨⎪⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪ 或 x xdm M

y ydm

M z zdm M c

c

c =⎰=⎰=⎰⎧⎨⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

§3-2 质点系动量定理 1.动量定理 对某一质点写动量定理并对所有质点求和

m dv dt d

dt m v F i

i i i i e ∑=∑=∑⇒ () dp dt

F e =() 2.质心运动定理 Ma F M d r dt

F c e c e

=⇔=()()22

3.动量守恒定律 若质点系不受外力或所受外力和为零或内力远大于外力，则系统动量守恒，即

m v const i i

=∑

4.例题 〖例3-1〗P119例

§3-3 质点系动量矩定理

1.对定点的动量矩定理 对某一质点写动量矩定理并对所有质点求和

d dt r m v M dJ

dt

M i i i e e [()]()()

⨯=∑⇒= 2.动量矩守恒定律 若作用在质点系上的外力对某定点的合力矩为零，则系统动量矩守

恒，即

J r m v const i i i =⨯=∑

3.对质心的动量矩定理 对质心平动系Cx y z '''某一质点的运动微分方程为:

m d dt

r F F m r i i i e i i i c

22 '( )()()=++-

r i '⨯并对所有质点求和，d dt

r m v M dJ dt

M i i i e e [('')]''

'()()

⨯=∑⇒=

4.例题 〖例3-2〗P124例

§3-4 质点系动能定理

1.动能定理

对某一质点， F F m dv dt F dr F dr d m v i i i e i i i i i i e i i i ()()()()()+=⇒⋅+⋅=1

22

对所有质点求和, d m v F dr F dr i i i i i i e i ()()()1

22∑∑∑=⋅+⋅

内力做功不能抵消（对刚体可忽略内力）

2.机械能守恒定律 若作用在质点系上的内、外力均为保守力时，则系统机械能守恒， 即T+V=E

3.柯尼希定理

对质心求系统动能:

r r r T m r r Mv m v i c i i c i c i i

=+∴=∑+=+∑'( ')'121212

22 即系统动能为质心动能与质点相对质心的动能之和

4.对质心的动能定理 对质心平动系Cx y z '''某一质点的运动微分方程为:

m d dt

r F F m r i i i e i i i c

22 '( )()()=++- 点乘dr i

'并对所有质点求和

d m v F dr F dr r d m r d m v F dr F i i i

e i i i i c i i i i i e i i i dr i [')]'' '

[')]'()()()()'

121222=⋅+∑⋅∑-⋅∑∑

⇒=⋅+∑∑∑⋅

5.例题 〖例3-3〗P128例

§3-5 碰撞问题 1.问题的提出

碰撞时系统外力远大于内力，故外力可忽略，此时系统动量守恒，即 m v m v m v m v 11221122 +=+'' 可用能量损耗补充公式：

1)对完全弹性碰撞：12121212112222112222m v m v m v m v +=+'' 2)对一般弹性碰撞：12121212

112222112222m v m v m v m v +=+η('') 对完全非弹性碰撞，由于碰撞后两体具有共同速度，相对易解:

m v m v m m v 112212 +=+(')

2.恢复系数

将碰撞分为两个阶段：

1)压缩阶段（压缩冲量I 1） 2)恢复阶段（恢复冲量I 2） 定义恢复系数 e= I 2 / I 1

e=0时为完全非弹性碰撞，e=1时为完全弹性碰撞。

3.牛顿公式

假设压缩末时刻（球心距离最小）两球沿法向

n 的速度同为u 。 压缩阶段动量守恒：

m v m v m u m u I m v u m v u n n n n 11221211122+=+=-=--()() (1)

恢复阶段动量守恒：

m v m v m u m u

I m u v m u v n n n n 11221221122''(')(')

+=+=-=-- (2)

由(1)(2)中的第二式

∴-=+-=-+⎧

⎨⎪⎪⎩

⎪⎪⇒--=-v v I m m v v I m m v v v v e n n n n n n n n

121121221212121111()''()'' （牛顿公式）

4.碰撞后的速度

m v m v m v m v e v v v v v m m m em v m e v v m m m e v m em v n n n n n n

n n n n n n

n n 11221122121211212122212112121111+=+-=--⎧⎨⎪⎩

⎪∴=+-++=+++-⎧

⎨

⎪⎪⎩

⎪⎪'''''[()()]'[()()] 在切向由于小球光滑，因此小球切向动量守恒：v v v v ','1122ττττ==

5.例题

〖例3-8〗质量分别为m 1 、m 2的小球用等长的绳子挂起来。将其中一球m 1 拉过偏角α，然后无初速地释放并撞击另一球使它产生最大偏角为β。求恢复系数。

解：由机械能守恒定律，有v gl v gl 122121=-=-(cos )'(cos )

αβ

由碰撞过程中动量守恒，有m v m v m v v v m v m e m m co 111122

11221

211111=+⇒=-⇒=+

---''''/()cos β

α

§3-6 两体问题

1.两星相对惯性系的运动

对太阳：Mr G Mm r

r s ()=2

0 对行星：mr G Mm r

r p ()=-2

0 两式相加：

d dt Mr mr r Mr mr M m M m r s p c s p c 2

2

00()()

+==++∴+=

显然，质心作惯性运动，质心系亦为惯性系。

2.两星相对质心系的运动

对行星P ：