微分方程课件 PPT
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这样，从定义1.1可以直接验证：
1. 函数y = x2+C是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C
是任意的常数.
2. 函数y= sin(arcsinx+C) 是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，
一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清 楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然 而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之 间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着 联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系， 用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分 方程.
大家应该也有点累了，稍作休息
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
yf(x,y)
(1.9)
或
M (x ,y )d x N (x ,y )d y 0 (1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
n 阶隐式方程的一般形式为
F (x ,y ,y ,L ,y(n )) 0
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛 应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会 科学的各个领域。
教材及参考资料
教 材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。 参考书目：
dy 1 y2
dx 1 x2
& x& x0
( &x&
d d
2
t
x
2
)
yy y2 0
(1.4)
(1.5) (1.6) (1.7)
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
导恒数等定.式如义，果1.则1把称设ddyyxdd函yyx数(x2(y11x)x)代为xy入2方(2 x方)程在程(1区(.111.间1)1在I)上(，区1连(.得5间1)续.到4I上)，在的且区一有间个直I上解到关.n于阶x的的
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(m t)& x& k12x & g t2m g c1tc2
(1.3) (1.1)
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
dy 1 y2
(1.5)
dx 1 x2
& x& x0
( &x&
d 2x dt2 )
(1.6)
yy y2 0
(1.7)
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的 阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般 形式可表为
F(x,y,y)0
(1.8)
常微分方程课件
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
第一讲
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
解: 如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻 物体的位置坐标.于是物体下落的速度为
v d x x& dt
加速度为
a
d 2x dt2
&x&
质量为m的物体，在下落的任一时刻所
受到的外力有重力mg和空气阻力，当速
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
度不太大时，空气阻力可取为与速度成
正比.于是根据牛顿第二定律
F = ma
(力=质量×加速度)
大家有疑问的，可以询问和交流
一旦求出这个方程的解，其运动规律将 一目了然.下面的例子，将会使你看到微分 方程是表达自然规律的一种最为自然的数 学语言.
例1 物体下落问题
设质量为m的物体，在时间t=0时, 在 距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂 直地面下落，求此物体下落时距离与时 间的关系.
可以列出方程
m & x& kx & m g (1.1)
其中k ＞ 0为阻尼系数，g是重力加速度.
(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d 2x dt2
1. 常微分方程，(第二版）， 王高雄等编（中山大学), 高教 出版社。
2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁（北京大学), ，高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 5. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
n 阶显式方程的一般形式为
y (n ) f(x ,y ,y ,L ,y (n 1 ))
（1.11） （1.12）
在方程(1.11)中，如果左端函数F 对未知函数y和它的各 阶导数y′,y″, …, y (n)的全体而言是一次的，则称为线性常微 分方程，否则称它为非线性常微分方程. 这样，一个以y为 未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：
y ( n ) P 1 ( x ) y ( n 1 ) L P n 1 ( x ) y P n ( x ) y f ( x )（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一 阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7) 是二阶非线性方程.
dy 2x dx
1. 函数y = x2+C是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C
是任意的常数.
2. 函数y= sin(arcsinx+C) 是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，
一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清 楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然 而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之 间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着 联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系， 用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分 方程.
大家应该也有点累了，稍作休息
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
yf(x,y)
(1.9)
或
M (x ,y )d x N (x ,y )d y 0 (1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
n 阶隐式方程的一般形式为
F (x ,y ,y ,L ,y(n )) 0
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛 应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会 科学的各个领域。
教材及参考资料
教 材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。 参考书目：
dy 1 y2
dx 1 x2
& x& x0
( &x&
d d
2
t
x
2
)
yy y2 0
(1.4)
(1.5) (1.6) (1.7)
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
导恒数等定.式如义，果1.则1把称设ddyyxdd函yyx数(x2(y11x)x)代为xy入2方(2 x方)程在程(1区(.111.间1)1在I)上(，区1连(.得5间1)续.到4I上)，在的且区一有间个直I上解到关.n于阶x的的
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(m t)& x& k12x & g t2m g c1tc2
(1.3) (1.1)
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)
dy 1 y2
(1.5)
dx 1 x2
& x& x0
( &x&
d 2x dt2 )
(1.6)
yy y2 0
(1.7)
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的 阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般 形式可表为
F(x,y,y)0
(1.8)
常微分方程课件
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
目
录
第一章 初等积方法 第二章 基本定理 第三章 一阶线性微分方程组 第四章 n阶线性微分方程 第五章 定性与稳定性理论简介 第六章 一阶偏微分方程初步
第一讲
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和 莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学， 是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分 的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相 关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自 于人们探求物质世界运动规律的需求.
解: 如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻 物体的位置坐标.于是物体下落的速度为
v d x x& dt
加速度为
a
d 2x dt2
&x&
质量为m的物体，在下落的任一时刻所
受到的外力有重力mg和空气阻力，当速
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
度不太大时，空气阻力可取为与速度成
正比.于是根据牛顿第二定律
F = ma
(力=质量×加速度)
大家有疑问的，可以询问和交流
一旦求出这个方程的解，其运动规律将 一目了然.下面的例子，将会使你看到微分 方程是表达自然规律的一种最为自然的数 学语言.
例1 物体下落问题
设质量为m的物体，在时间t=0时, 在 距地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂 直地面下落，求此物体下落时距离与时 间的关系.
可以列出方程
m & x& kx & m g (1.1)
其中k ＞ 0为阻尼系数，g是重力加速度.
(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d 2x dt2
1. 常微分方程，(第二版）， 王高雄等编（中山大学), 高教 出版社。
2. 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。 3. 常微分方程教程，丁同仁（北京大学), ，高教出版社。 4. 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。 5. 常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。 6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
n 阶显式方程的一般形式为
y (n ) f(x ,y ,y ,L ,y (n 1 ))
（1.11） （1.12）
在方程(1.11)中，如果左端函数F 对未知函数y和它的各 阶导数y′,y″, …, y (n)的全体而言是一次的，则称为线性常微 分方程，否则称它为非线性常微分方程. 这样，一个以y为 未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：
y ( n ) P 1 ( x ) y ( n 1 ) L P n 1 ( x ) y P n ( x ) y f ( x )（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一 阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7) 是二阶非线性方程.
dy 2x dx