15-3绕定轴转动刚体的轴承动反力(重庆大学理论力学课件)

惯性主轴与中心惯性主轴：
(1) 惯性主轴： J xz 0, J yz 0的轴 即：如果刚体对通过点O的z轴的惯性积：
J xz J yz 0
则z轴称为该点的惯性主轴。 （2）中心惯性主轴： 过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴。 故避免出现轴承动反力的条件是： 刚体的转轴应取刚体的中心惯性主轴。
FRB

m FI2

B

FRA m FI2
B
六、动平衡的概念
1、定义：如一刚体，在主动力、约束力及附加惯性力的 作用下处于平衡，则称之为动平衡状态。 2、条件：惯性力系为平衡力系。
3、对转轴的要求：
①转轴要过质心（xc= yc =0）； ② Jyz= Jxz =0 (即转轴为惯性主轴)
七、惯性主轴
上述结论也可叙述为：
刚体绕定轴转动时，避免出现轴承动反力的 条件是： 转轴通过刚体的质心，且
刚体对转轴的惯性积等于零，
即 转动轴必须是刚体的中心惯性主轴。
4静平衡与动平衡：
静平衡：如果转动刚体的转轴通过刚体的质心，
刚体除受重力外，没有受到其它主动力作用，刚体 可以在任意位置平衡的现象称为静平衡； 动平衡：如果转动轴是中心惯性主轴，刚体绕 定轴转动时，不出现轴承动附加反力的现象称为动
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。
⑥建立补充方程。运动学补充方程（运动量之间的关系）。 ⑦求解求知量。
[注] FI , M IO 的方向及转向如已在受力图中标出，建立方 程时，只需按
FI maC , M IO J O
代入即可。
例1 质量为m1和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别
匀速转动，如果两球的中心连线与转轴相垂直，且质心C在
F I F2I
1
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形 偏心情形
FI1 m FRB B
FI1 m FRA
A
m

FI2
B
A
m

FI2
FI1＝FI2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
一般情形
FI1 FI1 m A FRA FRB A m
I M M O J xz J yz 2 x I I M y M O J yz J xz 2 y
I x
I M zI M O J Z z
I 2 2 M O J xz J yz i J yz J xz j J Z k
由此可见，轴承反力为两项之和: 前者为飞轮自重引起的静反力，
后者为飞轮作偏心运动时所
引起的附加动反力。 本例中，附加动反力约为静反力的20倍
动反力有时会造成很大危害。 在设计中虽力图使质心位于转轴上，但由于设计、制 造和安装时很难完全避免的误差，必然会导致转动物 体的质心偏离转轴。
因此，高速转动物体的动反力可以达 到很大的值。 所以，必须用实验方法对高 速转动的物体加以平衡校正， 务必使它在转动时的动反力 被限制在容许的范围之内。
绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转
轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角 加速度。 解： 用达朗伯原理求解 取系统为研究对象 虚加惯性力和惯性力偶：
FI1 m1a1 , FI 2 m2 a2 M IO J O J
FI1 m1a1 , FI 2 m2 a2
ri xj yi


2 vi xi y j


vi ( x j yi )
I M O ( Fi ) ri mi ( ri ) ri mi ( vi ) (a)
绕定轴转动刚体的轴承动反力：
（1）动反力:在工程实际中，由于高速转子绕定轴转动 时产生的作用于轴承上的附加力，称为动反力，动反力 往往很大，以至使机器零件破坏或引起振动。 （2）产生原因：
FN A
I F1 m 1
①质心C不在转轴上时：
如图所示：两质量相等的
c D ω B
m2 F2I x
FNB
小球m1和m2，绕铅垂直轴 轴线上，则：
FNA
汽车的动态平衡方程
F I = Ma
MB 0 , MA 0,
由式(1)和(2)解得
FI h mgc FNA (b c) 0 FI h mgb FNB (b c) 0
(1) (2)
FNA
m( gc ah) bc
FI
C
FNB
m( gb ah) bc
摩擦力 FB (注意：前轮一般是被动轮，当忽略轮子质量时， 其摩擦力可以不计)。 因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C 上的一个力
F * = Ma 。
于是可写出汽车的动态平衡方 程
h FB
B
FI
C
a
mg
c
b
A
M B 0 FI h mgc FNA (b c) 0 FNB(1) M A 0 FI h mgb FNB (b c) 0 (2)
五、讨论
1、静反力：由主动力引起，与运动无关。
2、动反力：
①起因： 质心C不在转轴上 ②危害性：将要产生动反力。
I F1 m 1
FN A c D ω B FNB m2 F2I x
③消除附加动反力的方法；
对于高速转动部件的机器或机械，附加动反力将可能会很大， 应设法减小或消除，以免产生弯曲、断裂等不良后果。
ri mi ( ri ) ri mi ( vi )
I M O ( Fi ) ri mi ( ri ) ri mi ( vi )
式中
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
由动静法：
M
M IO J O J
O
(F ) 0 ,
m1 gr1 m2 gr2 FI1r1 FI2 r2 M IO 0
m1 gr1 m2 gr2 m1a1r1 m2 a2 r2 J 0
列补充方程： a1 r1 , a2 r2 代入上式 得：
平衡。
[例5] 质量不计的刚轴以角速度 匀速转动，其上固结着
两个质量均为m的小球A和B。指出在图示各种情况下， 哪些是静平衡的？哪些是动平衡的？
动平衡： ( a)
静平衡： （a) (b)、 (d)
动平衡的刚体，一定是静平衡的；反过来，
静平衡的刚体，不一定是动平衡的。
例:如图所示的飞轮，质量为m=200kg，其质心C至
m1r1 m2 r2 g 2 2 m1r1 m2 r2 J
[例5]
汽车连同货物的总质量是m ，其质心 C 离前后轮的
水平距离分别是 b 和 c ，离地面的高度是 h 。当汽车以
加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反 力。轮子的质量不计。
C
h
B
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c
b
A
解： 取汽车连同货物为研究对象。汽车实际受到的外力有： 重力 mg ，地面对前、后轮的铅直反力 FNA ， FNB 以及水平
惯性力系对于转轴 z 的惯性力矩为
J xz mi xz J yz mi yz
惯性力系对固结于刚体并垂直于 转轴的x、y两轴的惯性力矩分别为
四、平衡方程
为了转动刚体支座反力，将此主动力 系也向O点简化，如图所示
由前五个方程解得轴承反力：
由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。
因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就
方便得多。
应用动静法求动力学问题的步骤及要点： ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，标出
方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要 在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
FI i
I 2 2 M O J xz J yz i J yz J xz j J Z k
根据力矩关系定理， 得惯性力系对各坐标 轴的主矩分别为
I 2 2 M O J xz J yz i J yz J xz j J Z k
B
A
m

FI2
FI1＝FI2
FI1>FI2
绕定轴转动刚体的轴承动反力
偏角情形
一般情形
FI1 FI1 m A FRA FRB A m
FRB

m FI2

B

FRA m FI2
B
三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和一力偶矩。
这个力等于惯性力系的主矢量，
这个力偶的矩等于惯性力系对 O点的主矩。即
由式可知，由于惯性力系分布在垂直于转轴的各平面内， 沿z轴的反力与惯性力无关。与z轴垂直的轴承反力由两部 分组成： （1）有主动力引起的静反力； （2）由惯性力引起的附加动反力。
即轴承附加动反力等于零的条件是： 惯性力系的主矢量等于零，惯性力系 对于x轴和y轴的矩等于零。
轴承附加动反力等于零的条件是： 惯性力系的主矢量等于零，惯性力系对于 x轴和y轴的矩等于零。 由前面的推导，应有
15-3 绕定轴转动刚体的轴承动反力 一、研究对象：绕定轴转动的任意刚体。
二、受力分析
主动力、约束力和虚加的惯性力。
三、惯性力系简化
一般惯性力系组成一空间力系， 将惯性力系向O点简化，得一力和 一力偶矩。
绕定轴转动刚体的轴承动反力
理想情形 偏心情形
FI1 m FRB B
FI1 m FRA
A
m

FI2
a
h
FB
B
mg
c
b FNA
A
FNB
例2 在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮 O均为均质物体，各重为P1和P2，半径均为R，绳子不可伸长， 其质量不计，斜面倾角 ，如在鼓轮上作用一常力偶矩M， 试求：(1)鼓轮的角加速度？ (2)绳子的拉力？
加平衡质量
达朗贝尔原理的应用
根据达朗伯原理，以静力学平衡方程的形式来建立动力学 方程的方法，称为动静法。 应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可 以求力，并且多用于已知运动，求质点系运动时的动约束反 力。 应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上 的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。
转轴的距离e=0.05cm，飞轮安装在转轴的中点。若飞
轮以匀转速n=6000r/min绕其轴转动，试求飞轮质心C
运动到最低位置时轴承反力。
解：以飞轮和转轴所组成 的质点系为研究对象，
作用于其上的力有：
重力mg和轴承反力FA、FB。
解：作用于其上的力有：重力mg和轴承反力FA、FB 因飞轮转速不变，附加于飞轮上的惯性力系向轴心O
简化后所得的主矩应为零，故简化结果为合力RI，且
RI＝mew2。 又RI的方向随质心位置而异， 当质心C运动到如图所示的
最低位置时，RI铅垂向下。
m=200kg，e=0.05cm，n=6000r/min 因飞轮位于转轴的中点，故由平衡方程得
FA＝FB＝（mg＋mew2）/2
＝200×［9.8＋0.0005×(6000p/30)2］/2 ＝980＋19720＝20700N
FIx maCx 0,
FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0, M Iy J yz J xz 2 0
要使惯性力系的主矢等于零，必须aC=0，即转轴通过质心。 要使主矩等于零，必须有 Jxz=Jyz= 0 ，即刚体对转轴z的惯性 积等于零。
k×i = j, k×j = -i, k×k = 0
式中
J z mi ( x 2 y 2 ) mi ri
为刚体对z轴的转动惯量；
2
ω
J xz mi xz , J yz mi yz

ai
质量对 称面
O
ri
为刚体对z轴的两个离心转动惯量或惯性积。
I M O M O Fi I
FR I Fi I maC
由于定轴转动刚体内各点的加速度皆与转轴垂直，因而
FI垂直于转轴。
为了求惯性力系对O点的主矩，将 速度和加速度写成矢量积的形式
vi ri
ai ri vi
I M O ( Fi ) ri mi ai