第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)

2。若特征根中有一个或一个以上正实部根，即根的位 置分布在S平面的右半部，则，表明系统不稳定； 3。若特征根中具有一个或一个以上实部的根为零（虚 根），即根的位置正好分布在S平面的虚轴上，而其余的根 均位于S平面的左半部，此时系统处于临界稳定状态，输出 呈等幅振荡，系统在扰动信号消失后也不能恢复到原来的平 衡位置，按照稳定性定义，也属于不稳定系统。
5
结论：
线性系统稳定的充要条件是：
闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部；或者说，闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部。
6
第二节
劳斯稳定判据
特征方程根的分布
系统是否稳定 方程的系数 。
劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数 来分析系统的稳定性的一种判据，它避免 了直接求特征方程根的繁琐过程。劳斯稳 定判据一般简称为劳斯判据。
6
8
T
19
例：设系统特征方程为： s 8s 10s 2 0 试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 s 1 与虚轴之间。 解：列出劳斯表

3 2
s3 s2 s1 s0
1 10 8 2 9.75 0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： s s1 1
0
Re
22
要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零 由此得： 1。 K 0,2T 0, 即：T 0 2。 (2 T )(K 1) 2TK 0 T 2(KK11)
18
则稳定条件为： T 0 , 0< K <
K
6
4
2
T 2 T 2
K
T 2 T 2
系统稳定区域
4
0
2
k 2r n



(t 0)
4
c(t ) ci e
i 1
k
pi t
e
j 1
r
jt
( A j cos j t B j sin j t )
上式表明： 1。当且仅当系统的特征根全部具有负实部（和均小于 零），即特征根的位置分布在S平面的左半部时，才能成 立，此时系统在扰动消失后能恢复到原来的平衡状态，则系 统是稳定的。
劳斯表中第一列元素符号的变化两次， 说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不 稳定。
14
（2）某一行元素全为零 在劳斯表中，如果出现某一行元素全为零， 说明特征方程存在大小相等符号相反的实根 和（或）共轭虚根，或者共轭复根。 此时，可用全零行上面一行的元素构造 一个辅助方程，利用辅助方程对s的求导后得 到的方程系数代替全零行的元素，然后再按 通常的规则完成劳斯表中其余各项元素的计 算。辅助方程的次数总是偶数，所有那些数 值相同符号相异的根都可由辅助方程求得。
s 5 s 4 5s 3 5s 2 2s 1 0
试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表
13
s5 s4 s3 s2 s
1
1 1 0( ) 5 1 5 1 2 5 1 1
5 2 5 1 1 0 1 0 0 0 0 0

s02 0 5 1
11
例：系统的特征方程为： 试用劳斯判据判别其稳定性。 解: 列出劳斯表
s3 s2 s1 s0 1 10 4 50 2.5 0 50 0
s 3 4s 2 10s 50 0
因为劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明 该系统有两个特征方程的根在右半s平面，所以系统 不稳定。
12
2．劳斯判据的两种特殊情况 （1）劳斯表中某一行第一项元素为零，其余项不为零 或不全为零，此时，用一个任意小的正数 代替 这个零，然后按通常的规则继续完成劳斯表中其余 各项元素的计算。如果零（ ）上面这项系数符号 与零（ ）下面这项系数符号相反，表明这里有一 个符号变化。 例：特征方程如下：
(m n)
令 pi i 1,2,, n 为系统特征方程 D(s) 0 的根，而 R( s ) 1 彼此不等。干扰为理想脉冲函数：
C ( s)
k
B( s) B( s ) R( s) D( s ) D( s )
则
r js j ci i 1 s p i j 1 s ( j j j ) s ( j j j )
10
s 4 7s 3 17s 2 17s 6 0 例：系统的特征方程： 试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表

s4 s3
1 7
17 6 17 0 6 0 0 0 0 0
s 2 14.57 s 1 14.12 s0 6
劳斯表中第一列元素无符号变化，说明该 系统特征方程没有正实部根，所以系统稳定。
t
即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。
3
二、线性系统稳定的充要条件 设闭环系统的传递函数
C ( s) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 B( s) ( s) n n 1 R( s) an s an 1s a1s a0 D( s)
2
例：
稳定系统
不稳定系统
定义表明：线性系统的稳定性仅取决于系统自 身的固有特性，而与外界条件无关。 设系统在初始条件为零，输入为单位脉冲函 数，即R（S）=1。当t>0时， (t ) =0，这相当于系 统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点 的问题。若时，这时系统的输出为脉冲响应
lim c(t ) 0
第四章
控制系统的稳定性分析
上海交通大学自动化系 田作华
Zhtian@
1
第四章
控制系统的稳定性分析
第一节 稳定性的基本概念 一、系统的稳定性
如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能 够恢复到原始的平衡状态，即系统的零输入响应 是收敛的，则称系统是稳定的。 反之，若系统不能恢复到原始的平衡状态， 即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质， 则称系统是不稳定的。
a3 a2 a a a5 a0 A2 4 1 a4 A1 a 0 0 B2 a0 A1 0 0
a1 a0 0 0 0 0
第三步：根据劳斯判据判别系统的稳定性。 劳斯判据：线性系统稳定的充要条件是： 劳斯表中第一列各值为正，则系统稳定；若劳斯表 中第一列出现负值，则系统不稳定，且实部为正（即 分布在平面右半部）的根的数目，等于劳斯表中第一 列系数符号改变的次数。
17
例： 确定系统稳定的K、T值。
R(s)


K ( s 1) s (Ts 1)(2s 1)
C (s)
解: 系统的特征方程为 列出劳斯表 s 3 2T
s2 s1 s0
2Ts 3 (2 T )s 2 ( K 1)s K 0
K 1 K 0 0
2T (2 T )(K 1) 2TK 2T K
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a5 s 5 a4 s 4 a3 s 3 a2 s 2 a1s a0 0
9
s5 s4 s3 s2 s1 s0
a5 a4 a a a5 a 2 A1 4 3 a4 A1 a 2 a 4 A2 B1 A1 B A A1 B2 C1 1 2 B1 C1 B2 0 D1 B2 C1
15
例 系统特征方程为： s 3 s 2 16s 16 0 试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表 s3 1 16
s2 s1 s0 1 0( 2) 16 16 0 0
劳斯表中 s 1 行元素全为零，这时可用全零行上面一 2 行（ s 行）的元素构造一个辅助方程：
A(s) s 2 16 0
20
原特征方程，经过整理，得到 s1 特征方程：
3 s1 5s12 3s1 1 0
s13 s12 1 s1 s10
1 3 5 1 2.8 0 1 0
劳斯表中第一列元素符号变化一次，所以有一 个特征方程根在垂线 s 1 右边。即有一个根在阴影 区内。
21
Im
[s]
1
ai 0, (i 0,1n)
8
1．劳斯判据 应用劳斯判据分析系统的稳定性步骤： 第一步：将特征方程式 an s n an1S n1 a1 s a0 0 的系数按下列规则排成两行，即
an , an2 , an4
an1 , an3 , an5
将辅助方程A(s)对变量 s 求导，得 2 s 0 新方程，并用 新方程的系数代替全零行的元素。
16
求解辅助方程A(s)=0得到 s1,2 4 j 说明此特征方程有一对共轭根分布在虚轴上系统处 于临界稳定状态。
3．劳斯判据的应用 劳斯判据主要用来判断系统是否稳定。 问题： 1。这种判据并不能指出如何使系统达到稳定。 2。如果采用劳斯表判别出的系统是稳定的，它 也不能表明系统一定具备满意的动态响应。即：劳 斯判据不能表征特征方程在左半面的根相对于虚轴 的距离。
7
设 线性系统的特征方程为：
an s n an1 S n1 a1 s a0 0
由代数知识可知：方程的所有根均分布 在左半平面的必要条件是： 特征方程所有系数均为正数。(若均为负数， 方程两边同乘以-1，使之也变为正数)，即 若特征方程中任一系数为负或缺项（系 数为零），则可断定此系统为不稳定系统。