圆锥曲线与方程的小结 优秀教学设计

小结

圆锥曲线与方程的小结

【教学目标】

1．通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系。

2．通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识。

3．结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育。

【教学重难点】

教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质

教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点

【授课类型】

新授课

【课时安排】

1课时

【内容分析】

在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习，可以梳理知识要点，使学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线；同时也可以对前面所学的各种解析几何的基本方法进行归纳整理。所以本节在全章教学中起着复习、巩固和提高的作用。

椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着巨大的相似之处，也有着一定的区别。而前面只是它节逐个学完了三种曲线，还缺少对它们归类比较，为了提高水平，使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系。

本章介绍使用了较多的思想方法，其中的重点是数形结合的思想，转化与化归思想，坐标法等，这些都是培养学生解决解析几何问题的基本技能和能力的基础。解析几何是最终能体现运动与变化、对立与统一的思想观点的内容之一。点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材，我们应该给予充分的利用，达到应有的教学效果。【教学过程】

一、复习引入

二、章节知识点回顾：

椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质。

1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。

2．椭圆的标准方程：， （）12222=+b y a x 122

22=+b x a y 0>>b a 3．椭圆的性质：由椭圆方程（0>>b a ）

122

2

2=+b y a x （1）范围： ，，椭圆落在组成的矩形中。

a x a ≤≤-

b y b ≤≤-b y a x ±=±=,（2）对称性：图像关于轴对称。图像关于轴对称。图像关于原点对称,原点叫椭圆的

y x 对称中心，简称中心。轴、轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范x y 围，对称的截距。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。椭圆共有四个顶点：

，

加两焦点共有六

)

0,(),0,(2a A a A -)

,0(),,0(2b B b B -)0,(),0,(21c F c F -个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为,分别为椭圆的长半21A A 21B B b a 2,2b a ,轴长和短半轴长,椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比

a c

e =

⇒

2

)(1a b e -=10<

e 0,0→→c e 为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认0=e ,,1a c e →→21F F 为圆为椭圆在时的特例 。

1=e 4．椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常)1,0(数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心e e 率。

椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式。5．椭圆的准线方程

对于，左准线；右准线1222

2=+b y a x c a x l 21:-=c a x l 2

2:=对于，下准线；上准线1222

2=+b x a y c a y l 21:-=c a y l 2

2:=焦点到准线的距离

（焦参数）c b c c a c c a p 2

222=

-=-=椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称。 6．椭圆的焦半径公式：（左焦半径），（右焦半径），其中是离

01ex a r +=02ex a r -=e 心率。 焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下⎩⎨

⎧-=+=0

20

1ey a MF ey a MF 21,F F 上焦点）

焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关，可以记为：左加右减，上减下加。

7．椭圆的参数方程)(sin cos 为参数ϕϕϕ

⎩

⎨

⎧==b y a x 8．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动

21,F F 21F

F 点的轨迹叫双曲线。即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫

a

MF MF 221=-做焦距。

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）→两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的

→

形状与两定点间距离、定差有关。9．双曲线的标准方程及特点：

（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：

焦点在轴上时双曲线的标准方程为：（，）；x 122

2

2=-b y a x 0>a 0>b 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：（，）

y 122

22=-b x a y 0>a 0>b （2）有关系式成立，且c b a ,,222b a c +=0

,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系：可以为b

a b a b a ><=,,10．焦点的位置：从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、2

x 2

y

而双曲线是根据

项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是

2x x 2y 正的，那么焦点在轴上。y 11．双曲线的几何性质：（1）范围、对称性

由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图像，从纵的方向来

122

2

2=-b y a x 看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那

样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点

顶点：，特殊点：()0,),0,(21a A a A -()

b B b B -,0),,0(21实轴：长为2a ， a 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长

21A A 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线

过双曲线的渐近线（）

12222=-b y a x x a b y ±=0=±b y a x （4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比

，叫做双曲线的离心率范围：a c

a c e =

=

221

>e 双曲线形状与e 的关系：

，e 越大，即渐近线的斜率

112

222

2-=-=-=

=e a c a

a c a

b k