第二章 分解因式

第二章分解因式

1．分解因式

总体说明

因式分解是实行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，所以学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．本节是因式分解的第1小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用．

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，所以，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．

学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．

二、教学任务分析

基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，所以，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学水平，如：类比思想，逆向运算水平等。所以，本课时的教学目标是：

知识与技能：

（1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．

（2）理解因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能使用这种关系寻求因式分解的方法．

数学水平：

（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察水平，进一步发展学生的类比思想．

（2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维水平．

（3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题水平与综合应用水平．

情感与态度：

让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度．

三、教学过程分析

本节课设计了六个教学环节：看谁算得快——看谁想得快——看谁算得准——学生讨论——反馈练习——学生反思．

第一环节 看谁算得快

活动内容：用简便方法计算：

（1）29

76971397⨯+⨯-⨯= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67=

（3）992–1= ．

活动目的：如果说学生对因式分解还相当陌生的话，相信学生对用简便方法实行计算应该相当熟悉．引入这个步的目的旨在让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这个特殊算法，使学生通过类比很自然地过渡到准确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握扫清障碍，本环节设计的计算992–1的值是为了降低下一环节的难度，为下一环节的理解搭一个台阶．

注意事项：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律实行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，所以，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，协助他们顺利地逆向使用平方差公式．

第二环节 看谁想得快

活动内容：993–99能被哪些数整除？你是怎么得出来的？

学生思考：从以上问题的解决中，你知道解决这些问题的关键是什么？

活动目的：引导学生把这个式子分解成几个数的积的形式，继续强化学生对因数分解的理解，为学生类比因式分解提供必要的精神准备．

注意事项：因为有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式．

第三环节看谁算得准

活动内容：

计算下列式子：

（1）3x(x-1)= ；

（2）m(a+b+c)= ；

（3）（m+4）(m-4)= ；

（4）（y-3）2= ；

（5）a(a+1)(a-1)= ．

根据上面的算式填空：

（1）ma+mb+mc= ；

（2）3x2-3x= ；

（3）m2-16= ；

（4）a3-a= ；

（5）y2-6y+9= ．

活动目的：在第一组的整式乘法的计算上，学生通过对第一组式子的观察得出第二组式子的结果，然后通过对这两组式子的结果的比较，使学生对因式分解有一个初步的意识，由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维水平．

注意事项：因为整式的乘法运算是学生在七年级已经学习过的内容，所以，学生能很快得出第一组式子的结果，并能很快发现第一组式子与第二组式子之间的联系，从而得出第二组式子的结果．

第四环节学生讨论

活动内容：

比较以下两种运算的联系与区别：

（1）a(a+1)(a-1)= a3-a

（2）a3-a= a(a+1)(a-1)

在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？

结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？

（1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1

（3）a(a–b)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2

活动目的：通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：

（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；

（2）分解因式的结果要以积的形式表示；

（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；

（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．

注意事项：学生通过讨论，能找出分解因式与整式的乘法的联系与区别，基本清楚了“分解因式与整式的乘法是一种互逆关系”以及“分解因式的结果要以积的形式表示”这两种事实，后两种事实是在老师的引导与启发下才能完成．

第五环节反馈练习

活动内容：

1、看谁连得准

x2-y2. (x+1)2

9-25 x 2 y(x -y)

x 2+2x+1 (3-5 x)(3+5 x)

xy-y2 (x+y)(x-y)

2、下列哪些变形是因式分解，为什么？

（1）（a+3）(a -3)= a 2-9

（2）a 2-4=( a +2)( a -2)

（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1