(完整版)第四章系统传递函数模型

（4）由于传递函数是在零初始条件下定义的，因此它不能反映 非零初始条件下的运动情况（即瞬态响应）。 n m
（5）一个传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系， 对于多输入多输出系统，要用传递函数矩阵才能表达系统的 输入与输出关系。
4 传递函数的图示方法
将系统分为输入、系统和输出，则可以将整个系统用 下图来表示，在动态分析中，如果已知其中的两个部 分，分析另一个部分，则形成了正问题和反问题。
第四章 系统传递函数模型
黎明安
概述
传递函数分析法是研究系统动态特性的重要 方法之一。线性系统的传递函数定义为在全部初 始条件为零的假设下系统的输出量（响应函数） 的拉普拉斯变换与输入量（驱动函数）的拉普拉 斯变换之比。
本章摘要
▪ 传递函数定义及其特性 ▪ 典型环节的传递函数 ▪ 传递函数的其他形式 ▪ 多自由度系统传递函数仿真模型 ▪ 传递函数模型的SIMULINK仿真模型建立 ▪ 弹性梁的传递函数模型
1 比例环节 凡输出量 y(t) 正比于输入量 u(t) ，其特点是输出不失 真也不延迟而按比例反映输入的环节，称为比例环节， 其广义动力学方程为：
y(t) Ku(t)
K为环节的放大系数或增益，其传递函数为：
H (s) Y (s) K U (s)
考察一个不计质量的杠杆的力学性能（力学杠杆原理
2 传递函数的定义
设有线性系统的输入为 u(t),输出为 y(t),对应的微分 方程如下： (an pn an1 pn1 a1 p a0 ) y(t) (cm pm cm1 pm1 c1 p c0 )u(t) 其数中的初pm 值 dd均tmm 称为为零微，分对算该子微，分且方有程两n端 取m 假y(设t)拉各斯阶变导 换，则得：
dt
在机械系统中，如图所示不考虑AB杆的质量情况下，
设 f (t为) 系统的输入力，x(t为) 系统的输出位移。对应的
机械系统的微分方程为：
x
f (t)
k
[c dx(t) kx(t)]3a f (t)a dt
o
a
3a
c
上述系统我们称为一阶系统，一阶系统最一般的形式 可以表示为:
a1
dy(t) d (t)
号。
3 传递函数的特性
（1）传递函数只取决于系统结构（或元件）的参数，与外部信 号的大小和形式无关。
（2）传递函数只能适用于线性定常系统（由拉斯变换的性质可 以得到，因为拉斯变换是一种线性变换）。
（3）传递函数一般为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的
最高次数n高于分子多项式S的最高次数m，即
。
u
L
di dt
uc
i
iR
ic
uc R
ic
uc
R iR
q c
ic dt c
L
i
u
R
C
uc
将后两式代入电压方程中，则有：
u
L uc R
L dic dt
uc
a0
y(t)
b0
x(t)
dy(t) y(t) x(t)
d (t)
对上图所示的机械系统，其标准式为：c dx(t) x(t) 1 f (t)
k dt
3k
时间常数为 c ，灵敏度为 f0 ，其物理含义是系统
k
3k
在静止状态下的静变形。
为分析方便，令 ， 1以这种归一化系统为研究模型，
即：
4．1 传递函数定义及其特性
1 传递函数的作用：
传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学工 具，对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换，可 以将其转化为代数方程，这样不仅将实数域中的微 分、积分运算简化为复数域中的代数运算，大大简 化了运算，而且根据传递函数还可以导出系统的频 率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性， 利用这些频率特性与系统的参数关系，还可以对系 统进行参数识别。
(an s n an1s n1 a1s a0 )Y (s) (cn s m cn1s m1 c1s c0 )U (s)
其中 Y(s)是输出量 y(t)的拉斯变换，U (s) 是输入量 u(t)的
拉斯变换。则定义传递函数为 H (s) ,如下：
H (s)
源自文库
Y (s) U (s)
cm s m an s n
dy(t) y(t) x(t)
d (t)
H (s) 1
s 1
3 微分环节 凡是系统的输出正比例于系统输入的微分，即：
y(t) T du(t) T u(t) dt
系统的传递函数为 H (s) Y (s) Ts
U (s)
其中T称为微分环节的时间常数，一般情况下微分环节 在实际中不可能单独存在。 在实际应用中，常将微分环节与其他环节联合使用。
cm1s m1 c1s c0 an1s n1 a1s a0
若给定系统的输入，则系统的输出完全取决于传递函 数，其关系如下： Y (s) H (s)U (s)
再通过拉普拉斯反变换，可以得到时间域内的输出 （响应）： y(t) L1[Y (s)] L1[H (s)U (s)]
L 表示拉斯变换符号，则“ L1”表示拉斯反变换符
4 积分环节
该环节的输出等于系统的输入量对时间的积分成正比，
即：
t
y(t) K 0 u(t)dt
这里k为常数，对应的传递函数为：
H (S) Y (s) K U (s) s
5 震荡环节（或称二阶振荡环节） 典型的震荡环节通常使用LRC串联谐振电路来表示， 设u为系统的输入电压，uc为电容两端的电压，则根 据电路方程有：
X (s)
Y (s)
H (s)
运算关系： Y (s) H (s)X (s) 已知 x(s) , H (s) 求 y(s) ，称为动态分析正问题； 已知 x(s) ，y(s) 求 H (s) ，称为系统识别问题； 已知 H (s) ， y(s) 求 x(s) ，称为环境预测问题。
4.2 典型环节的传递函数
就是一个比例环节，其比例系数是动力臂与阻力臂的 比值）。
p(t) a f (t) b
f (t) a p(t) k p(t) b
这里 k a 是力的放大系数。
b
因为这里不考虑质量，所以系统不会因为有惯性而产 生延迟现象。
2 惯性环节（一阶惯性环节）
分析RC串联电路系统的传递函数，以q(t) 作为电路中 电容器上的电荷，u(t)为电压，则关于电荷的变化满足 的动态方程为： RC dq(t) q(t) cu(t)