几何不等式(一)
一个几何不等式上下界问题的统一证法
（ ）因 为 ， （ ）一 ｂ ≤ ０ 因 此 厂（ ２ ｚ ａ － ）
即
在 ［ ，ｏ ０ ｏ ）上单 调递减 ．
下面 我们借 用 引理证 明文 ［ ］～ 文 ［ ］中 的 １ ４ 结论 ．
由中线 以及 角平分 线公 式得 ： １ （ ｂ ＋２ ２ ａ ） ＝ ２。 Ｃ － ２
１
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（ ＋ ｃ 一 ｎ ）＋ ｂ ＋ Ｃ （ 。 。 ６＋ ｃ ）
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一
个几何不等式上 下界问题的统一证法
曾善鹏 杨 艳 （ 南京 师范 大学 ２ ０ ４ ） １ Ｏ ６
・
４ ・ ６
中学数 学月 刊
ｌ
２１ 第 ６ ０ ０年 期
（。 ｆ ｂ ＋ 一 ａ ）＋ ｂ ＋ ｃ 。 。 。 （ ６＋ ｃ 。 ）
［３ 梁 开 华 ．也 谈 一 道 美 国数 学 月 刊 征 解 题 的 解 法 Ｅ３ ３ Ｊ．
中学 数 学 月 刊 ，００ ３ ． ２１（）
都较 繁琐 ． 面笔 者将 用 一 种统 一 的 简 明 的方 法 下 证 明上述 文献 中的相关 结论 ．
（一ｆ 易 ） ａ ， ｂ ＋ ｆ 一口 ≤ 即 。 ≤ ２ ， 结合基 本 再
， ．≥ ０ ｎ≥ 且ｚ ，
不等 式 以及 引理 中 的（ ）得 到 ２
１ ４ （ 。＋ Ｃ ６ 一 日 ）＋ ｂ 。 ＋ Ｃ （ ＋ Ｃ ６ 一 口 ）＋ ２ ｃ 。 ｂ
［］ 马 占山 ， 晓 娟 ． 一 个 优 美 的 半 对 称 不 等 式 的 补 ２ 赵 对 充 ［］ 中 等 数 学 ，０ ３ ５ ． Ｊ． ２０（） ［］ 张 ３
基本不等式几何证明方法
基本不等式几何证明方法宝子，今天咱来唠唠基本不等式的几何证明方法，可有趣啦。
咱先说说基本不等式是啥哈，就是对于正实数a、b，有(a + b)/(2) ≥ √(ab)，当且仅当a = b时等号成立。
那它的几何证明可形象了呢。
想象一个直角三角形，设直角边为a和b。
我们以a + b为边长构造一个正方形。
这个正方形的面积就是(a + b)^2。
然后呢，我们把这个正方形进行分割。
在这个正方形里，有四个直角三角形，每个直角三角形的直角边就是a和b。
那这四个直角三角形的面积总和就是4×(1)/(2)ab = 2ab。
中间还剩下一个小正方形，这个小正方形的边长就是a - b（假设a>b哈），它的面积就是(a - b)^2。
所以整个大正方形的面积(a + b)^2就等于四个直角三角形面积加上中间小正方形面积，也就是(a + b)^2=4×(1)/(2)ab+(a - b)^2。
化简一下就得到(a + b)^2≥4ab，两边同时除以4，就有((a + b)^2)/(4)≥ ab，再开个方，就得到(a + b)/(2) ≥ √(ab)啦。
你看，当中间小正方形面积为0的时候，也就是a = b的时候，这个等号就成立了呢。
就好像这个正方形被分割得特别规整的时候。
还有一种几何证明也很有意思哦。
我们画一个半圆，直径是a + b。
然后在直径上取一点，把直径分成a和b两段。
从这点作一条垂直于直径的弦。
根据圆的性质，这条弦长的一半就是√(ab)。
而半圆的半径就是(a + b)/(2)。
因为弦长的一半肯定小于等于半径呀，所以又一次证明了(a + b)/(2) ≥ √(ab)。
当这条弦刚好是直径的时候，也就是a = b的时候，等号就成立啦。
宝子，这么看基本不等式的几何证明是不是超级好理解，就像看一幅画一样，一下子就明白这个不等式为啥是成立的啦。
一个涉及两个单形的几何不等式
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于是 由 ( 7 ) ( 8 )
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利 用 算 术一几 何平 均不 等式 及 ( 6 )
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几何法证明不等式(精选多篇)
几何法证明不等式(精选多篇)^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4<0能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。
人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。
我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。
17种基本不等式
6
指数不等式
ax≥ay（a>0,a =1）
指数函数单调性，注意底数的取值范围
7
一次不等式
ax+b≥c
一次函数，斜率决定单调性
8
二次不等式
ax2+bx+c≥0
二次函数，根据判别式判断解集
9பைடு நூலகம்
均值不等式
2a+b ≥ab （a>0,b>0）
均值不小于几何均值
10
柯西不等式
(∑i=1n ai2 )(∑i=1n bi2 )≥(∑i=1n ai bi )2
多元变量的不等式关系
11
切比雪夫不等式
n1 ∑i=1n ai bi ≥(n1 ∑i=1n ai )(n1 ∑i=1n bi )（ai ,bi 同号）
适用于序列的加权平均与算术平均比较
12
伯努利不等式
(1+x)n≥1+nx（n≥1,x>−1）
幂函数与线性函数的比较
13
排序不等式
乱序和 ≤ 反序和 ≤ 同序和
17种基本不等式
序号
不等式名称
表达式
备注
1
绝对值不等式
$
a
2
平方不等式
a2≥b2
平方后非负，常用于消去根号或处理二次项
3
平方根不等式
a ≥b （a≥0,b≥0）
平方根函数单调递增
4
分数不等式
ba ≥dc （b>0,d>0）
分数比较时，注意分母的正负
5
对数不等式
loga x≥loga y（a>0,a =1）
适用于已排序的序列
6几何不等式
§6几何不等式几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式.几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类.下面给出一些基本的几何不等式性质. (1) 在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (2) 在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角;反之也成立.(3) 两组对边对应相等的两个三角形中,夹角大的第三边也大;反之也成立.(4) 三角形内任一点到两顶点的距离之和小于另一顶点到这两个顶点的距离之和. (5) 三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半. (6) 在△ABC 中,点P 是边BC 上任意一点,则有 PA ≤max{AB ,AC }, 当点P 与点B 或C 重合时,等号成立.在解决几何不等式问题时,经常要用到一些已经学过的基本定理和已经证明过的结论,运用不等式的基本性质,通过几何、三角、代数等解题方法进行计算和证明.同时,还需考虑几何图形的特点和性质. 1、与线段有关的不等式问题 例1、已知BC 是△ABC 的最长边,O 是△ABC 内部任意一点,直线OA 、OB 、OC 分别交对边于点1A 、1B 、1C .证明:(1)1OA +1OB +1OC <BC ;(2)1OA +1OB +1OC ≤max{1AA ,1BB ,1CC }.证明:(1)如图1,过点O 作OX ∥AB ,OY ∥AC ,分别交BC 点X 、Y . 再过点X 、Y 分别作XS ∥1CC ,YT ∥1BB ,分别交AB 、AC 于点S 、T .因为△OXY ∽△ABC ,则XY 是△OXY 的最大边.由性质6知 1OA <max{OX ,OY }≤XY .又△BXS ∽△BC 1C ,△YCT ∽△BC 1B ,所以,由1CC <max{CA ,BC }=BC ,可得BX >XS =1OC .同理,CY >YT =1OB . 故BC =XY +BX +YC >1OA +1OB +1OC .(2)设11OA AA =x , 11OB BB =y , 11OC CC =z . 则 x +y +z =OBC ABC S S +OCA ABC S S +OABABCS S =1.故1OA +1OB +1OC =x 1AA +y 1BB +z 1CC ≤(x +y +z )max{1AA ,1BB ,1CC } =max{AA 1 ,BB 1 , CC 1 }.说明:其实,(2)比(1)更强,由(2)可以推得(1). 例2、如图2,在△ABC 中,∠B =2∠C .求证:AC <2AB.证明:延长CB 至D ,使得DB =AB .则有∠D =∠BAD ,∠ABC =2∠D . 由题设知∠ABC =2∠C .所以,∠D =∠C .故AD = AC .在△ABC 中,因为DB +AB >AD ,即2AB >AD ,所以,AC <2AB .说明:(1)把问题中的不等量尽量集中到一个三角形(或者 两个具有紧密关系的三角形) 中,利用三角形中的线段不 等关系(或角的不等关系)解决问题.这是一种常用的解题 思路.(2)若将题中的“∠B =2∠C ”改为“∠B =n ∠C ”,可以得到相似的结论:在△ABC 中, 若∠B =n ∠C (n 是不小于2的正整数),则AC ≤nAB .例3、已知P 是△ABC 内任一点.(1)求证: 12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC <AB +BC +CA ; (2)若△ABC 是正三角形,且边长为1,求证: 32<PA +PB +PC <2. 分析:不等式12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC 可化为AB +BC +CA <2(PA +PB +PC )=(PA +PB )+(PB +PC )+ (PC +PA ),由“三角形两边之和大于第三边”即可得证.由不等式PA +PB +PC <AB +BC +CA 的轮换对 称性,只要证明PA +PB <CA +CB 即可.证明:(1)在△PAB 中,PA +PB >AB .同理,PB +PC >BC ,PC +PA >CA .三式相加得 2(PA +PB +PC )>AB +BC +CA ,即12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC .又由性质4知PA +PB <CA +CB .同理,PB +PC <AB +AC ,PC +PA <BC +BA .三式相加得 PA +PB +PC <AB +BC +CA . 综上可知12(AB +BC +CA )<PA +PB +PC <AB +BC +CA .(2)如图3,若△ABC 是正三角形,过P 作MN ∥BC ,交AB 于M 、交AC 于N , 则△AMN 也是正三角形.由(1)的结论知PA +PB +PC >12(AB +BC +CA )=32.又由性质6有AP ≤max{AM ,AN }=AM ,且BP <BM +MP ,CP <NC +NP . 三式相加得AP +BP +CP <AB +MN +NC =AB +AN +NC =AB +AC =2.所以,32<PA +PB +PC <2.例4、已知凸六边形ABCDEF 的边长都为1.证明:对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. 证明:如图4,由于∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =720,故不妨设∠A +∠F ≤7203=240°.作菱形ABGF ,则∠GFE ≤60°,FG =FE =1.于是,GE 是△FGE 的最小边. 故GE ≤1.又BG =1,则BE ≤BG +GE ≤2.例5、有A 、B 、C 三个村庄成三角形(如图5),A 、B 、C 三个村 庄上小学人数的比为1∶2∶3.现需要办一所小学.问小学应设在什么地方,才能使得上学儿童所走的路程的总和S 最小?解:设小学办在点P ,A 、B 、C 三个村庄的上学人数分别为a 、2a 、3a .则 S =aPA +2aPB +3aPC =a (PA +PC )+2a (PB +PC )≥aAC +2aBC . 当且仅当P =C 时,上式等号成立. 所以,小学设在C 村庄,可以使得上学 儿童所走的路程的总和S 最小.2、与角有关的不等式问题例6、在△ABC 中,已知12AC >AB .求证:12∠ABC >∠ACB . 证明:因为AC >2AB >AB ,所以,∠ABC >∠ACB . 如图6,作∠ABD =∠ACB ,交AC 于D . 下面只要证明∠CBD >∠ACB .因为△BAD ∽△CAB ,所以,BC BD =ACAB>2,即BC >2BD . 又CD >BC -BD ,两式相加得BC +CD >2BD +BC -BD =BD +BC ,即CD >BD .所以,∠CBD >∠ACB .故∠ABC =∠ABD +∠DBC >∠ACB +∠ACB =2∠ACB . 从而,12∠ABC >∠ACB .说明:与角有关的不等式常常转化为边的不等式进行证明. 例7、已知平面内的任意四点,其中任意三点不共线.试问:是否一定能从这样的四个点中选出三点构成一个三角形,使得这个三角形至少有一个内角不大于45°?试证明你的结论.证明:根据内角的大小分情况讨论.(1)如图7,若四边形ABCD 是凸四边形,那么,必有一个内 角不大于90°,不妨设为∠A .于是,∠A =∠BAC +∠CAD ≤90. 所以,∠BAC 与∠CAD 中必有一个不大于45°.(2)如图8,若四边形ABCD 是凹四边形,联结AC ,则△ABC 中必有一个内角小于或等于60,不妨设为∠A .于是,∠A =∠BAD +∠CAD .所以,∠BAD 与∠CAD 中必有一个不大于12×60=30≤45.综上可知,一定可以从中选出三点符合题意.说明:由不等式的性质“若1a +2a +⋯+n a =m (1a ，2a ，⋯，n a 为正数),则必存在i a (i =1,2,⋯,n ),满足i a ≤mn”,得出“凸四边形必有角不大于90°,三角形中必有角不大于60°”的结论,由此找出不大于90°的∠A .再将∠A 分成两个角,得到含有不大于45°内角的三角形. 3、与面积有关的不等式问题例8、在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上.求证:min{AEF S ,BFD S , CDE S }≤14ABC S .证明:设min{AEF S ,BFD S , CDE S }=S .如图9,注意到又由均值不等式知同理,则故min{AEF S ,BFD S , CDE S }≤14ABC S说明:在处理几何不等式最大值与最小值问题时,常常会用到一些代数不等式.本题用到了不等式2()x y +≥4xy .例9、正△ABC 的边长为1,点M 、N 、P 分别在边BC 、CA 、AB 上,且MB +CN +AP =1.求△MNP 面积的最大值.解:如图10,设BM =x ,CN =y ,AP =z .则0≤x 、y 、z ≤1,x +y +z =1.故ANP S +BPM S +CMN S =12[x (1-z )+y (1-x )+z (1-y )]sin60°=34[x (1-z )+y (1-x )+z (1-y )]. 由2()x y z ++≥3(xy +yz +zx ),易得xy +yz +zx ≤13.从而,x (1-z )+y (1-x )+z (1-y )=x +y +z -(xy +yz +zx )≥1-13=23.故NMP S =ABC S -（ANP S +BPM S +CMN S当x =y =z =13时,上式等号成立.因此,△MNP 例10、△ABC 是边长为8的正三角形,M 是边AB 上一点,MP ⊥AC 于点P ,MQ ⊥BC 于点Q ,联结PQ . (1)求PQ 的长的最小值;(2)求△CPQ 面积的最大值.解:(1)设△ABC 的高为h ,则h =由ACM S +BCM S =ABC S ,得MP +MQ =h =如图11,过点P 、Q 分别作边AB 的垂线,垂足分别为1P 、1Q . 因为∠PMA =∠QMB =30°,所以,1PM =PM ,1Q M =QM QM ,PQ ≥11PQ =1PM +1MQ PM +QM )=6. 当M 为AB 的中点时,上式等号成立. 因此,PQ 的最小值为6.(2)因为∠PMA =∠QMB =30°,所以,AP +BQ =12AM +12BM =12AB =4,CP +CQ =16-(AP +BQ )=12.故CPQ S =12CP ·CQ sin C ·CQ 2()4CP CQ =.当M 为AB 的中点时,上式等号成立.因此,△CPQ 面积的最大值为4、费马点问题例11、在已知平面内找一点P ,使得它到△ABC 三个顶点的距离之和最小(此点称为费马(Fermat)点).解:(1)证明点P 不会在△ABC 外.如图12,将△ABC 外部分为6个区域. 若点P 在区域Ⅰ中(如图13),则有 AB +AC ≤PB +PC <PA +PB +PC ,即点A 到三顶点的距离之和比点P 到三顶点的距离之和小. 若点P 在区域Ⅲ和Ⅴ,也有同样的结论.若点P 在区域Ⅵ中(如图14),设BP 交AC 于点Q .则有 QA +QB +QC =QB +AC <BP +AC <PA +PB +PC ,即点Q 到A 、B 、C 三点的距离之和比点P 到A 、B 、C 三点 的距离之和小.若点P 在区域Ⅱ和Ⅳ,也有同样的结论. 因此,点P 一定在△ABC 的内部或边上.(2)当△ABC 的三个内角均小于120时,以BC 、CA 、AB 为边分别向△ABC 外作等边△BCD 、等边△CAE 、等边△ABF ,再分别作 三个等边三角形的外接圆.三个外接圆的圆周在△ABC 内的交点,即对△ABC 三边张角均 为120°的点记为点P (如图15).下面证明:对于△ABC 内任意一点Q ,都有PA +PB +PC ≤QA +QB +QC .过A 、B 、C 三点分别作PA 、PB 、PC 的垂线,三条垂线相交所成 的三角形记为△111A B C .因为P 对△ABC 三边张角均为120°,则 ∠111B AC =∠111C B A =∠111ACB =60°. 所以,△111A BC 是正三角形,设其边长为a .任取不同于P 的一点Q ,向△111A B C 的三边作垂线,得到距离1h 、2h 、3h . 由“正三角形内任一点到三边距离之和等于正三角形的高”得 2111A B C S =a (PA +PB +PC )=a (1h +2h +3h )≤a (QA +QB +QC ). 因此,PA +PB +PC ≤QA +QB +QC .当且仅当Q =P 时,上式等号成立.如图16,将△BAQ 绕点A 旋转,使B 成为CA 延长线上一点B ′,Q 为Q ′. 因为旋转角小于或等于60°,所以,QQ ′≤AQ . 则QA +QB +QC ≥QQ ′+Q ′B ′+QC ≥CB ′=CA +AB . 当且仅当Q =A 时,上式等号成立.综上所述,当△ABC 各个内角均小于120°时,费马点为△ABC 内部对三角形的三边张角均为120°的点. 若△ABC 中有一 内角不小于120°,则此内角的顶点即为费马点. 练习题1.在△ABC 中,若∠B =n ∠C (n 是不小于2的正整数),则AC ≤nAB .(提示:如图18,在△ABC 的外接圆上,将∠B所对的AC n 等分,联结相邻分点得n 条彼此相等的弦,且这些弦都与AB 相等. 因为折线A 12A A ⋯1n A -C 的长大于AC ,所以,AC ≤nAB .)2.在△ABC 中,AB >AC ,AM 为中线,P 为△AMC 内一点.证明:PB >PC .(提示: 易知 ∠AMB >∠AMC .于是,∠AMC <90°.过P 作PH ⊥BC 于点H ,则垂足H 必在MC 的内部 或其延长线上.从而,BH >CH .因此,PB >PC .)3.在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 的中点,Q 、R 分别是AB 、AC 上的点.求证:△PQR的周长大于BC 的长.(提示:如图19,分别作点P 关于AB 、AC 的对称点M 、N ,联结 MQ 、NR .由对称性知PQ =MQ ,PR =NR .联结AP ,由对称性知M 、A 、N 三点共线,且 ∠MPN =90°.所以,MN =2AP =BC .故PQ +QR +RP =MQ +QR +RN >MN =BC .)4.如图20,将任意△ABC 的三边四等分,边BC 、CA 、AB 上的分点分别为1A 、2A 、3A ,1B 、2B 、3B ,1C 、2C 、3C . 记△ABC 、△111A B C 的周长分别为p 、1p .求证:12p <1p <34p .(提示:易知13C B =14BC . 在△131B B C 中,有 13C B +31B B >11B C ,即14BC +12CA >11B C .同理,14CA +12AB >11C A ,14AB +12BC >11A B . 三式相加即得1p <34p .在△11AB C 中, 11B C >1AB -1AC =34CA -14AB .同理,11C A > 34AB -14BC ,11A B > 34BC -14AC .三式相加即得12p <1p .)5.凸四边形ABCD 中,AB +AC +CD =16.问:当对角线AC 、BD 为何值时,四边形ABCD 面积最大?面积最大值是多少?(提示:设AB =x ,AC =y ,则CD =16-x -y .而ABCD S =ABC S +ACD S ≤12xy +12y (16-x -y )=- 122(8)y -+32.所以,当∠BAC =∠ACD =90°,AC =8,BD =,四边形ABCD 的最大面积为32.)6.如图21,在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 的中点,E 为△ABD 中任意一点,联结AE 、BE 、CE . 求证:∠AEB >∠AEC . (提示:如图21,作点E 关于AD 的对称点E ′,联结AE ′、CE ′、 EE ′,并延长EE ′交AC 于点F .根据对称性得△ABE ≌△ACE ′.所以,∠AEB =∠AE ′C .易知∠AE ′C =∠AE ′F +∠CE ′F >∠AEF +∠CEF =∠AEC ,即∠AEB >∠AEC .)7.已知凸六边形ABCDEF 的边长至多为1.证明:对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. (提示:如图22,联结AC 、CE 、EA .在△AEC 中,不妨设边CE 最大,即CE ≥AC ,CE ≥AE .对A 、C 、D 、E 四点用托勒密不等式,有AD ·CE ≤AC ·ED +CD ·AE ,故AD ≤AC CE ·DE +CD ·ACCE≤1×1+1×1=2.)8.如图23,在凸四边形ABCD 中,M 、P 分别是BC 、CD 的中点,已知AM +AP =a .求证:ABCD S <212a .(提示:如图23,联结AC 、MP .则AMP S +14BDC S =AMCP S =12ABCD S .又BDC S <ABCD S ,AMP S ≤12AM ·AP ≤12·2()4AM AP =218a ,从而,ABCD S <212a .)。
三个正数的算术-几何不等式
1 a2
1 b2
1 c2
6
3
的多重条件。
当且仅当a=b=c= 4 3 时，等号成立．
方法·规律·小结
(1)不等式的证明方法较多，关键是从式 子的结构入手进行分析．
(2)运用三个正数的平均值不等式证明不 等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”， 在解题中，若两次用平均值不等式，则只有 在“相等”条件相同时，才能取到等号．
4x
2x2 2
x
2x2(2 (2 2
x2x)
2)
x42
xx22 2
3
(x22x(22) 2
3
3x2
)
3
32 27
abc
a
b
c
3
3
a、b、c R
练习：
4、a,b, c
R , 求证a2
时,Vmax
2a3 27
6 合的最大容 积是 2a3 .
27
错解分析
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解: y 2x2 3 2x2 3 3
即（x+y+z）3 27xyz
例２(1)当0 x 1时,求函数y x2(1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
22
x 4( 2
基本不等式几何证明
基本不等式几何证明1. 引言基本不等式是初中数学中的重要概念之一，它是解决不等式问题的基础。
在几何中，我们可以通过基本不等式来证明一些关于线段、角度和面积的性质。
本文将介绍基本不等式在几何证明中的应用。
2. 基本不等式回顾在初中数学中，我们学习了以下两个基本不等式：•对于任意实数a和b，有a + b ≥ 2√(ab)。
•对于任意实数a和b，有a² + b² ≥ 2ab。
这两个不等式在解决一元二次方程、证明三角形性质以及推导其他数学公式时起到了重要作用。
3. 线段长度的比较基本不等式可以用来比较线段的长度。
考虑以下问题：已知直线上有三个点A、B和C，且B位于AC之间。
如何判断AB与BC的长度关系？我们可以使用基本不等式来解决这个问题。
设AB = a，BC = b，则根据基本不等式a + b ≥ 2√(ab)可得：AB + BC ≥ 2√(AB * BC)即a + b ≥ 2√(ab)。
若a + b > 2√(ab)，则AB + BC > 2√(AB * BC)，即AB + BC > AC；若a + b = 2√(ab)，则AB + BC = 2√(AB * BC)，即AB + BC = AC；若a + b < 2√(ab)，则AB + BC < 2√(AB * BC)，即AB + BC < AC。
因此，通过基本不等式的比较，我们可以得出线段长度的大小关系。
4. 角度的比较基本不等式还可以用来比较角度的大小。
考虑以下问题：已知有两条射线OA和OB，如何判断∠AOB与直角（90°）的大小关系？我们可以使用基本不等式来解决这个问题。
设∠AOB = θ，则根据余弦定理可得：cosθ = (OA² + OB² - AB²) / (2OA * OB)由于直角的余弦值为0，所以有：cos90° = (OA² + OB² - AB²) / (2OA * OB) ≤ 0化简可得：OA² + OB² - AB² ≤ 0即OA² + OB² ≤ AB²。
第75讲 几何不等式
令x1=,x2=,x3=,那么x1+x2+x3=1,且
y=··
=··=··
≤=.
当且仅当x1=x2=x3=时取等号,所以sinαsinβsinγ≤,由此推出sinα、sinβ、sinγ中至少有一个不大于,不妨设sinα≤,则α≤30o或α≥150o.当α≥150o时β＜30o, γ＜30o.命题也成立.
８．设ABCDEF是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF=FA，证明++≥.(第38届IMO预选题)
9.设△ABC是锐角三角形，外接圆圆心为O,半径为R, AO交BOC所在的圆于另一点A´，BO交COA所在的圆于另一点B´，CO交AOB所在的圆于另一点C´．证明OA´·OB´·O C´≥8R3,并指出等号在什么条件下成立.(第37届IMO预选题)
(2004年罗马尼亚国家选拔考试试题)
本节“情景再现”解答
１．连接BE,则△BDF的面积
S△BDF=zS△BDE=z(1–x) S△ABD=z(1–x)yS△ABC=z(1–x)y
由平均值不等式，得到z(1–x)y≤()3=.
当且仅当z＝1பைடு நூலகம்x＝y，y+zx=，即x=y=z=时成立等号．
所以，△BDF面积的最大值为．
利用算术几何均值不等式可得
T=++
≥=6.②
另一方面,由于a,b,c是三角形的三条边长,则有
0＜(a+b-c)(c+a-b)=a2-(b-c)2≤a2,
0＜(a+b-c)(b+c-a)=b2-(a-c)2≤b2,
0＜(b+c-a)(c+a-b)=c2-(a-b)2≤c2,
初中几何第07讲 几何不等式(1)
第七讲几何不等式（1）几何问题中出现的不等式称为几何不等式．解数学竞赛中出现的几何不等式，需要熟悉几何中有关的基本不等式和常用的定理，还要掌握代数方法和三角方法．1．有关证明线段不等的公理和定理(1) 在联结两点的所有线中，线段最短．(2) 在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3) 定点P到定直线的最短距离，是从P向定直线所作的垂线段的长．(4) 在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么夹角大的所对的第三边也大．(5) 托勒密不等式：在四边形ABCD中，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD.当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．(6) 欧拉定理,欧拉不等式若△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，两圆心间的距离为d，则d=)2(rR-，当且仅当△ABC为正三角形时，d=0. R≥2rR(7) 埃德斯——莫德尔不等式设P为△ABC内任意一点，Ra, R b, Rc分别表示P到顶点A、B、C的距离，d a, d b, d c分别表示P到三边BC，CA，AB的距离，则R a+ R b+ R c≥2(d a+ d b+ d c)(8) 费尔马点在△ABC中，使PA+PB+PC为最小的平面上的点成为费尔马点，当∠BAC≥120°时，A点即为费尔马点，当△ABC内任一内角均小于120°时，则与三边张角均为120°时的P点即为费尔马点.2．有关证明角不等的定理(1)三角形的任何一个外角大于和它不相邻的任意一个内角．(2)在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．3．圆中有关不等量的知识(1)在同圆或等圆中，圆心角（锐角）大则所对的弧大、弦大、弦心距小．(2)过圆内一定点的弦中，以此点为中点的弦最小．(3)若A，B，C为圆上的点，P为圆外的点，Q为圆内的点，且P，C，Q都在直线AB的同侧，则∠AQB >∠ACB >∠APB,4. 有关面积的几何不等式(1) 外森比克不等式：设△ABC的边长和面积分别为a, b, c和S，则a2+b2+c2S3≥，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.4(2) 等周定理：周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大；周长一定的矩形中，以正方形的面积最大.5．几何不等式的证明有时还要用到代数知识（如平均不等式等）和三角知识．例1. (1995 IMO)凸六边形ABCDEF，满足AB= BC= CD，DE=EF=FA，∠BCD=∠EFA=60º．设G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB=∠DHE= 120º．试证：AG+ GB+ GH+ DH+ HE≥CF.例2. 已知正方形ABCD内部一点E,并且E到三个顶点A,B,C的距离之和的。
几何不等式讲解
几何不等式的证明及应用一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。
2．证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4．几个著名的几何不等式（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD 中，一定有：BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅，等号成立时四边形ABCD 是圆内接四边形.证明1：取点E ，使ACD ABE CAD BAE ∠=∠∠=∠，则ABE ∆∽ACD ∆ ∴CD BE AC AB =，ADAEAC AB = ∴BE AC CD AB ⋅=⋅ （1） 又DAE BAC ∠=∠ ∴ABC ∆∽AED ∆ ∴ADACDE BC = ∴DE AC AD BC ⋅=⋅ ∴BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ⋅≥+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅)(上式等号成立当且仅当E 在对角线BD 上.此时ACD ABD ∠=∠，从而四边形内接于圆.Y XPCBAPF EDC BA证明2：复数法：设A 、B 、C 、D 对应的复数分别是1z 、2z 、3z 、4z 用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=则12341423|()()||()()|AB CD AD BC z z z z z z z z ⋅+⋅=--+--12341423|()()()()|z z z z z z z z ≥--+--2431|()()|z z z z AC BD =---=⋅（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),x y z R A B C k k Z π∈++=+∈， 求证：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++等号成立的充要条件是：B z C y x cos cos +=及B z C y sin sin =. 证明：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222---++)cos(2)cos cos (2222C B yz z y x C y B z x +++++-=222)sin sin ()cos cos ()cos cos (2C y B z C y B z x C y B z x -++++-=0)sin sin ()cos cos (22≥-+--=C y B z C y B z x 当且仅当B z C y x cos cos +=且B z C y sin sin =时取等号（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos —Mordell ）不等式：在ABC ∆内部任取点P ，,A d B d ,C d 分别表示由点P 到顶点C B A ,,之间的距离，c b a d d d ,,分别表示由点P 到边AB CA BC ,,的距离， 则)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明1：过P 作直线XY 分别交AC AB ,于Y X ,，使ABC AYX ∠=∠ 则AYX ∆∽ABC ∆ ∴BCABXY AY BC AC XY AX ==, 又∵A b c AXYd XY d AY d AX S ⋅≤⋅+⋅=∆212121 ∴b c A d XY AY d XY AX d ⋅+⋅≥即b c A d BCABd BC AC d ⋅+⋅≥同理：a c B d AC AB d AC BC d ⋅+⋅≥a b C d ABACd AB BC d ⋅+⋅≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明2：F A E P ,,,四点共圆 则A d AEF=sin 在EFP ∆中，由余弦定理得)cos(2222C B d d d d EF b c b c +⋅⋅-+=22)sin sin ()cos cos (C d B d C d B d b c b c ++-=2)sin sin (C d B d b c +≥∴C d B d EF b c sin sin +≥ ∴b c A d ACd A B d sin sin sin sin +≥同理a c B d B C d B A d sin sin sin sin +≥a c C d CBd C A d sin sin sin sin +≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明3：设γβα=∠=∠=∠CPA BPC APB ,,则αcos 2222⋅⋅-+=B A B A d d d d ABβcos 2222⋅⋅-+=C B C B d d d d BC γcos 2222⋅⋅-+=A C A C d d d d CA又βsin 2121⋅⋅=⋅C B a d d d BC ∴)cos 1(2)(sin cos 2sin 222ββββ-⋅⋅+-⋅⋅=⋅⋅-+⋅⋅=C B C B C B C B C B C B a d d d d d d d d d d d d d2cos 212sin 22sin )cos 1(2sin 2βββββC B C B C B C B C B d d d d d d d d d d ⋅=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅⋅≤即2cos 21βC B a d d d ⋅≤ 同理2cos 21γA C b d d d ⋅≤2cos 21αB A c d d d ⋅≤ )2cos 2cos 2cos (21αγβB A AC C B c b a d d d d d d d d d ⋅+⋅+⋅≤++)(21C B A d d d ++≤（嵌入不等式） 证明四： 设2,2,2BPC CPA APB αβγ∠=∠=∠=，且αβγπ++=设它们的内角平分线长分别是a b c w w w 、、，且a a b b c c w d w d w d ≥≥≥、、 只要证更强的结论2()A B C a b c d d d w w w ++≥++112()()22B C B C B C a B C d d d d a d d a w ⋅++⋅+-=222(2)B C B C B C B C d d d d a d d ⋅+-+= 又222cos 22B C B Cd d a d d α+-=，即2222cos 2B C B C d d a d d α+-=∴22(1cos 2)cos B C B Ca B C B C B Cd d d d w d d d d d d ααα=+=≤++ 同理b A C w d d β≤，c A B w d d γ=∵αβγπ++=∴由嵌入不等式得2()2()a b c B C A C A B A B C w w w d d d d d d d d d αβγ++≤≤++（4）外森比克不等式：设ABC ∆的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则S c b a 34222≥++，当且仅当ABC∆为正三角形时等号成立.证明方法很多，证明略5．费尔马(Fermat )问题：在ABC ∆中，使PC PB PA ++为最小的平面上的P 点称为费尔马点.当︒≥∠120BAC 时，A 点为费尔马点；当ABC ∆中任一内角都小于︒120时，则与三边张角为︒120的P 点为费尔马点. 例1 已知ABC ∆，设I 是它的内心，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交其对边于///,,C B A ，求证：27841///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI . 证明：令c AB b CA a BC ===,,由角平分线定理，易得c b a b C A c B A IA IA +===///∴cb cb a IA AA +++=/ ∴c b a c b AA IA +++=/易得121<+++<++++=c b a c b c b c b c b ∴)1,21(/∈+++=cb ac b AA IA同理)1,21(/∈+++=c b a c a BB IB )1,21(/∈+++=c b a b a CCIC 则2/////=++CC IC BB IB AA IA 处理（1）令3/2/1/21,21,21t CCIC t BB IB t AA IA +=+=+=，则21),1,21(,,321321=++∈t t t t t t ∴2783)21()21()21()21)(21)(21(3321321=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤+++t t t t t t ∴41)(21)(4181)21)(21)(21(321133221321321>+++++++=+++t t t t t t t t t t t t t t t ∴27841///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI 处理（2）令z CCIC y BB IB x AA IA ===///,,，则2=++z y x ，且1,,(,1)2x y z ∈ ∴278)3(3=++≤z y x xyz 21113139(2)(2)()[()]22222416xyz x x z z z z z z z =-->--=-=--+ 又112z <<（2139[()]2416z --+在区间端点取到最小值）∴221391391[()][(1)]241624164xyz z >--+>--+= 处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令m k c k n b n m a +=+=+=,,)(22)(22)(22///k n m kn m k n m k n m k n m k n m CCBB AA CI BI AI ++++⋅++++⋅++++=⋅⋅⋅⋅ 41)(8))(()()(333>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）)0,,(,,,>+=+=+=z y x x z c z y b y x a ，反之，若三个正数c b a ,,可以表示为上述形式，则c b a ,,一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用z y x ,,表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于z y x ,,的代数不等式例2 设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与PABC QRS S S ∆∆≤41.（QRS ∆是塞瓦三角形）（分析：利用补集思想）证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43证明1：令γβα===RACRQC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则)1)(1(++=⋅⋅=∆∆γααAC AB AR AS S S ABC ASR 同理)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ 、)1)(1(++=⋅⋅=∆∆βγγAB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43即43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα 只要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证0)]()111[(6≤+++++-γβαγβα显然6)()111(≥+++++γβαγβα当12αβγ===时取等号，此时P 是ABC ∆的重心 证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,则z x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,,、))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR++=⋅⋅=∆∆同理))((x z x y yzAB BC BS BQ S S ABCBSQ ++=⋅⋅=∆∆、))((z y z x xyAB BC CR CQ S S ABCCQR ++=⋅⋅=∆∆只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43即43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz 通分整理3()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++ 即22223()()()()()()4x y z y z x z x y x y y z z x +++++≥+++364xyz ≥⋅= 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++事实上)()()(222y x z z y x z x y +++++ )()(222222zx yz xy x z z y y x +++++=xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心 证明3：令,,AS BQ CR AB BC CA αβγ===，且)1,0(,,∈γβα则1,1,1BS CQ ARAB BC CAαβγ=-=-=- 由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---=整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-B)1(γα-=⋅⋅=∆∆AC AB ARAS S S ABC ASR 、同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BS BQ S S ABC BSQ 、)1(βγ-=⋅⋅=∆∆ABBC CR CQ S S ABC CQR 只要证43)1()1()1(≥-+-+-βγαβγα 事实上(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=-))1(2)1(2)1(2(411)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-⋅-⋅-⋅-=----=43411=-≥当且仅当21===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心 例3 已知ABC ∆的面积为S ，三边分别为c b a ,,，求证：2)3(43c b a S ++≤，且当c b a ==时等号成立. 证明1：由海伦公式，设)(21c b a p ++=223)3(4393)3())()((c b a p p p c p b p a p p S ++==⋅≤---=当且仅当c p b p a p -=-=-即c b a ==时取等号 证明2： 欲证2)3(43c b a S ++≤只要证S c b a 312)(2≥++ ∵)(3222)(2222ca bc ab ca bc ab c b a c b a ++≥+++++=++故只要证S ca bc ab 34≥++由柯西不等式2)sin sin sin ()sin sin )(sin (B ca A bc C ab C B A ca bc ab ++≥++++S S 18)23(2==∴CB A Sca bc ab sin sin sin 18++≥++又233sin sin sin ≤++C B A ∴S SC B A S ca bc ab 3423318sin sin sin 18=≥++≥++ 从而结论得证，当且仅当c b a ==时，取等号 例4 在ABC ∆中，求证：392cot 2cot 2cot333≥++CB A 证明1：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,,则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot rz y x r z r y r x C B A ++=++=++ 又)())()((z y x xyz c p b p a p p S ++=---=、r z y x r c b a S )()(21++=++=/B //B /∴r z y x z y x xyz )()(++=++ ∴zy x xyzr ++=33333332cot 2cot 2cot r z y x C B A ++=++xyz z y x z y x r xyz ++++=≥)(3333933363=⋅⋅≥xyzxyz xyz 证明2：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,,则3333333333)()()(2cot 2cot 2cot rz y x r z r y r x C B A ++=++=++ 由幂平均不等式333333z y x z y x ++≤++得3333)(91z y x z y x ++≥++ （1） 由例3得22)(93)3(43z y x c b a S ++=++≤∴)(93z y x z y x S ++≤++，即)(93z y x r ++≤ ∴r z y x 33≥++代入（1）即可得到结论.例5 设ABC ∆是锐角三角形，外接圆圆心为O ，半径为R ，AO 交BOC 所在的圆于另一点/A ，BO 交COA 所在的圆于另一点/B ，CO 交AOB 所在的圆于另一点/C ，证明：3///8R OC OB OA ≥⋅⋅，并指出在什么情况下等号成立？ 证明1：作过BOC 的圆直径OD 则︒=∠=∠90/DCO O DAABCAOC BAC DOC ∠=∠∠=∠2,ABC ACB AOC DOC OD A ∠-∠=∠-∠-︒=∠180/在COD Rt ∆中，BACOCDOC OC OD cos cos ==在OD A Rt /∆中)cos(cos //ABC ACB OD DOA OD O A ∠-∠⋅=⋅=OCBACABC ACB ⋅∠-∠=cos )cos(即RBACABC ACB OA cos )cos(/∠-∠=记为R A B C OA cos )cos(/-=同理R B C A OB cos )cos(/-=、R C B A OC cos )cos(/-=只要证8cos )cos(cos )cos(cos )cos(≥-⋅-⋅-BA C A CBC B A∵BA BA B A B A B A B A B A B A C B A cot cot 1cot cot 1sin sin cos cos sin sin cos cos )cos()cos(cos )cos(⋅-⋅+=+-+=+--=-令A C z C B y B A x cot cot ,cot cot ,cot cot ⋅=⋅=⋅=A C CB B A z y x cot cot cot cot cot cot ⋅+⋅+⋅=++CB C B A cot cot )cot (cot cot ⋅++⋅=C B C B C B cot cot )cot (cot )cot(⋅++⋅+-=1cot cot )cot (cot cot cot 1cot cot =⋅++⋅+-⋅-=C B C B CB C BB ///B /而对于ABC ∆是锐角三角形，0,,>z y x ∴zy x z y x z y x z y x x x C B A +++≥++++=-+=-))((2)()(11cos )cos( 同理z x y z y x A C B +++≥-))((2cos )cos(、yx y z z x A C B +++≥-))((2cos )cos(显然成立 证明2：如图，设BC AO ,交于D ，AC BO ,交于E ，AB CO ,交于F ， 由C O B A ,,,/四点共圆，得CBO BCO O BA ∠=∠=∠/∴BOD ∆∽BO A /∆∴OD BO BO O A =/ ∴OD R O A 2/= 从而OE R O B 2/=，OF R O C 2/= 处理方式（1）∴OF OCOE OB OD OA OF OE OD R RO C O B O A ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅33/// 令321,,S S S S S S COABOC AOB ===∆∆∆3///R O C O B O A ⋅⋅8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S 处理方式（2）令z OF OCy OE OB x OD OA ===,,则111,,111OBC OAC OBA ABC ABC ABCS S S OD OE OF AD S x BE S y CF S z ∆∆∆∆∆∆======+++ ∴1111111=+++++z y x （利用面积关系）（再去分母，整理得2xyz x y z =+++） ∴2323+≥+++=xyz z y x xyz令m xyz =3，则0233≥--m m ，即2(1)(2)0m m +-≥∴02≥-m ，即8≥xyz证明3： 由C O B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B AC A R BC O A +=⋅∴R BC B A C A O A ///+= 易知21∠=∠∴BCCA B A BD B A CD C A ////+==而BD A /∆∽COD ∆∴OD AO OD R OD OC BD B A ===/ ∴R ODAO O A =/R OE BO O B =/，R OFCOO C =/令321,,S S S S S S COABOC AOB ===∆∆∆∴OF OC OE OB OD OA RO C O B O A ⋅⋅=⋅⋅3///8132321231≥+⋅+⋅+=S S S S S S S S S 证明4： 由C O B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(///B AC A R BC O A +=⋅ ∴R BCBA C A O A ///+=设γβα=∠=∠=∠BOC AOB AOC ,, 在BC A /∆中，由正弦定理，得CBA BCBC A C A CB A B A /////sin sin sin ==又γαβsin sin ,sin sin sin ,sin sin sin /////=====C BA OC A BC A OB A CB A∴R R BC B A C A O A ⋅+=+=γβαsin sin sin ///同理R O B ⋅+=αγβsin sin sin /、R O C ⋅+=βγαsin sin sin / 以下略PMCBA AOMNB CDABCOA 1B 1C 1例6 如图所示，设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于圆1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，将21A A 延长交圆2C 于2B ，将32A A 延长交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证明：四边形4321B B B B 的周长大于等于四边形4321A A A A 的 周长的2倍，并请确定等号成立的条件.证明：设公共圆圆心为O ，连结211,,OB OB OA在四边形211B B OA 中，运用推广的托勒密定理112211211B A OB B B OA B A OB ⋅+⋅≤⋅ ∴11212122B A R B B R B A R ⋅+⋅≤⋅∴11212122B A B B B A +≤∴11222121222B A B A A A B B -+≥ 同理22333232222B A B A A A B B -+≥、33444343222B A B A A A B B -+≥、44111414222B A B A A A B B -+≥∴结论得证，当且仅当211,,,B B A O 四点共圆，∴21211241B OA B OB B OB A OA ∠=∠=∠=∠， ∴1OA 是214A A A ∠的角平分线， ∴O 到214A A A ∠的两边的距离相等 ∴1214A A A A =同理四边形4321A A A A 的各边相等，进而四边形4321A A A A 是正方形时，等号成立. 1. 如图，在ABC ∆中，,AB AC AM >为中线，P 为AMC ∆内一点，证明：PB PC > 证明：在AMC ∆与AMB ∆中，有两组对边对应相等，且AB AC >， 所以AMB AMC ∠>∠，于是90AMC ∠<︒，过P 作PH BC ⊥于H ，则垂足H 必在MC 的内部或延长线上，从而BH CH >， 因此PB PC >（斜线长与射影长的关系）2. 如图，20MON ∠=︒，A 为OM 上一点，3OA =B 是ON 上一点，D 为ON 上一点， 83OD =C 为AM 上任意一点，则12AB BC CD ++≥分析：以OM 为对称轴，作D 点关于OM 的对称点/D ，以ON 为对称轴，作A 点关于ON 的对称点/A ，连结/OA 、/OD ，则//60A OD ∠=︒，连结/BA 、/CD 、//A D ，则有//AB BC CD BA BC CD ++=++ 因为//3,83OA OD ==/A 、/D 为定点，而连结/A 、/D 以线段最短，∴///2/2//()()2cos6012AB BC CD A D OA OD OA OD ++≥=+-⋅⋅︒=．说明：本题把“折线化直”，然后利用两点间线段距离最短来证明，这种“化直法”在解决几何不等式问题中是常用的．3.设BC 是ABC ∆的最长边，在此三角形内部任意选一点O ，OA 、OB 、OC 分别交对边于1A 、1B 、1C ， 证明：（1）111OA OB OC BC ++<；（2）111111max{,,}OA OB OC AA BB CC ++≤分析：我们先证明一个简单但非常有用的引理：T SC 1B 1A 1OCBAX Y设点M 是PQR ∆的边QR 上的一点，则max{,}PM PQ PR <．事实上，过P 作PH QR ⊥，则利用斜线长和射影长的关系很容易说明便知引理成立．（1）过O 分别作//,//OX AB OY AC ，分别交BC 于X 、Y 点，再过X 、Y 分别作11//,//XS CC YT BB 分别交AB 、AC 于S 、T ，如图易知，OXY ∆∽ABC ∆，故XY 是OXY ∆的最大边， 由引理知，1max{,}OA OX OY XY <≤； 又因为BXS ∆∽1BCC ∆，YCT ∆∽1BCB ∆，所以1BX XS OC >=（1max{,}CC CA BC BC <=），1CY YT OB >= 所以111BC XY BX YC OA OB OC =++>++ （2）令z CC OC y AB OB x AA OA ===111111,,，那么1=++=++∆∆∆∆∆∆ABCOAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S z y x ． 所以111111OA OB OC xAA yBB zCC ++=++111111()max{,,}max{,,}x y z AA BB CC AA BB CC ≤++= 说明：其实，由（2）和引理知（1）成立，所以我们也可以先证明（2），然后推得（1）．4. 设凸四边形ABCD 的面积为1，证：在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三个点为顶点的三角形的面积均不小于41析：如果ABCD 是平行四边形，那么41====∆∆∆∆ABD ADC BCD ABC S S S S ， 因此A B C D 、、、即为所求的点；如果ABCD 不是平行四边形，不妨设AD 与BC 不平行，且DAB CBA π∠+∠<，AD 与BC 交于E ，D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作//DF AB ，交BC 于F ，分两种情况讨论：（1）DF 不超过AB 的一半，此时可在边AD ，BC 上分别取P ，Q ，使得PQ 与AB 平行，PQ 等于AB 的一半，则有111444APQ BPQ ABE ABCD S S S S ∆∆∆∆==>=,、11122222ABQ ABP APQ BPQ ABE ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆====>= 即A B P Q 、、、即为所求的四个点.（2）若DF 大于AB 的一半，则在线段DC 与FC 上分别取P ，Q ，同样使//PQ AB ，且12PQ AB =，延长AP 交AE 于/E ，则PQ 是/ABE ∆的中位线再过A 作BC 的平行线l ，它与CD 的延长线的交点为G ，则/AGP PDA PCE S S S ∆∆∆=>,故有//ABCP PDA ABCP ABCD E AB PCE S S S S S S ∆∆∆∆∆=+>+=，于是同样可以证明A B P Q 、、、即为所求的四个点.说明：在遇到比较复杂的情形时，要注意从简单情形起步，合理规划，通过分类讨论，适时化归，使问题得以圆满解决.到ABC ∆三个顶点距离之和为最小的点，通常称为费尔马点.当ABC ∆各角均小于120︒时，与三边的张角均为120︒的点即为费尔马点；当有一个角大于120︒时，这角项点就是费尔马点.下面这个命题是与费尔马问题“反向”的问题.5. 在ABC ∆的内部或边界上找一点P ，使得它到三个顶点距离之和为最大.分析：若点P 在ABC ∆内，作一个以B 、C 为焦点，过P 点的椭圆，设椭圆与AB 、AC 交于1P 、2P 点，连结AP 并延长与12P P 交于/P 点，如图，那么/12max{,}P A P A P A <不妨设/1P A P A <则11111()P A P B P C PA P B P C PA PB PC ++>++=++所以点P 必定在边界上.下证P 只能是ABC ∆的顶点，不妨设点P 在线段BC 的内部，因max{,}PA AB AC <，设PA AB <，那么PA PB PC PA BC AB BC ++=+<+综上所述，所求的点必为ABC ∆的顶点，易知它是最短边所对的顶点. 说明：本题所用的方法是“局部调整”法，这是一种重要的思想方法.6．凸六边形ABCDEF 的每边长至多为1.证明：对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. 分析：连结AC 、CE 、EA ，在AEC ∆中，不妨设边CE 最大，即,CE AC CE AE ≥≥， 如图，对A 、C 、D 、E 四点用托勒密定理，有AE CD ED AC CE AD ⨯+⨯≤⨯ 所以21111=⨯+⨯≤⋅+⋅≤CEAE CD DE CE AC AD ，从而命题得证. 在证明与面积和周长有关的不等式时，下面的几个结论是很有用的，它们就是著名的等周问题.命题1 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；命题2 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小；命题3 在给定边长为12,,,n a a a 的所有n 边形中，能够内接于圆的n 边形具有最大的面积命题4 在周长一定的n 边形的集合中，正n 边形的面积最大；命题5 在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小运用等周定理可以解决很多与几何不等式有关的问题，看下面一例：7．曲线L 将正ABC ∆分成两个等积的部分，那么它的长432a l π≥，其中a 是正ABC ∆的边长.分析： 以A 为圆心，R 为半径作圆弧/L 将ABC ∆的面积等分，那么有22432161a R ⋅=π，所以π2274=R ，/L 的周长/412623a l R ππ=⋅=，现在证明/l l ≥. 将ABC ∆连续翻转5次，由曲线L 形成了一条闭曲线，如图所示，由/L 形成了一个圆，而两者所围成的面积相等.根据命题2，知/66l l ≥，即/423al l π≥=.。
第10讲 重要不等式(一)
第十讲 重要不等式（一）均值不等式1．不等式a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )是不等式中最重要的一个，它有许多变形，如：ab ＜a 2＋b 22,(a ＋b )2≥4ab ,2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，(a 2＋b 2)≥2|ab |,(a ＋b 2)2≥ab 其中更特殊、更常用的变形是a ＋b 2≥ab （a 、b ＞0）2．如果a 、b 是正实数，那么a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，有等号成立。
此结论称为均值定理，又称均值不等式或基本不等式。
对于任意两个实数a 、b ，a ＋b 2叫做a 、b 的算术平均值。
ab （ab ≥0）叫做a 、b 的几何平均值，均值定理可以表述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值。
3．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
积定求和最小值：a ＋b ≥2ab和定求积最大值：ab ≤(a ＋b 2)2 均值不等式具有“和积互化”的放缩功能4．均值不等式推广21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22（调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数），类似的，这个不等式可以推广到n 个数的情形： n 1a 1＋1a 2 ＋…＋1a n ≤(a 1a 2…••a n )1n ≤a 1＋a 2＋…＋a n n ≤a 12＋a 22＋…＋a n 2n【例l 】(1)已知a 、6是正实数，证明不等式21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22. 其中为调和平均数，ab 为几何平均数，a ＋b 2为算术平均数，a 2＋b 22为平方平均数.(2)已知x ＞0，则y ＝x ＋4x的最小值是__________. （3）已知x ＜0，则y ＝x ＋1x的最大值是___________. (4)若0＜x ＜1，求代数式x (1－x )的最大值。
(5)已知0＜x ＜12，求代数式x 2(1―2x )的最大值。
几何法证明不等式(精选多篇)
几何法证明不等式(精选多篇)几何法证明不等式用解析法证明不等式：^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k 过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。
人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n 看做固定的。
我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。
不等式-算术平均数与几何平均数(一)
第六章 不等式第四课时§6.2.1 算术平均数与几何平均数（一）教学目标（一）教学知识点1．重要不等式：若a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． 2．算术平均数、几何平均数及它们的关系． （二）能力训练要求1．学会推导并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这个重要定理． 2．理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．3．强化训练探究性学习． （三）德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力．渗透数学思想方法，激励学生去取得成功．教学重点1．重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．2．如果a 、b 是正数，则2a b+为a 、b 是a 、b 的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”．即定理：如果a 、b 是正数，那么2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． 3．上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当……时取‘＝’号”的含义是：当a ＝b 时取等号，即a ＝b ⇒2a b +a ＝b 时取等号，即2a b+⇒a ＝b ．综合起来，就是a ＝b 是2a b+的充要条件．教学难点1．a 2＋b 2≥2ab 和2a b+成立的条件不相同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．2．这两个公式还可以变形用来解决有关问题．222,().22a b a b ab ab ++≤≤教学方法1．启发式教学法．2．激励——探索——讨论——发现．教具准备幻灯片两张第一张：记作§6．2．1 A 1．差值比较法：（1）依据：a ＞b ⇒a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0． （2）步骤：作差→变形→判断差值符号→得出结论． （3）用途：①比较两个实数的大小； ②证明不等式的性质； ③证明不等式和解不等式． 第二张：记作§6．2．1 B1．不等式的基本性质：（1）反对称性： a ＞b ⇔b ＜a ；（2）传递性： a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； （3）可加性： a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ； （4）可积性： a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；（5）加法法则： a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； （6）乘法法则： a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； （7）乘方法则： a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N )； （8）开方法则： a ＞b ＞0⇒nn a b >(n ∈N )；2．应用：已知a 、b 为正实数，m 、n ∈N ＊且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．教学过程Ⅰ．课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点．我们有必要重新回顾“差值”比较法、不等式的基本性质，以便在今后学习中得以巩固和灵活运用．（一）打出幻灯片§6．2．1 A ，请同学们回答：［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么？主要解决哪些问题？ 通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6．2．1 A ，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面，即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式．（二）不等式性质巩固及应用（幻灯片§6．2．1 B ）课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出幻灯片§6．2．1 B ，使学生掌握下列不等式的基本性质；（1）反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；（2）传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；（3）可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；（4）可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；（5）加法法则a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；（6）乘法法则a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；（7）乘方法则a>b>0⇒a n >b n (n ∈N )；（8）开方法则a ＞b ＞0⇒nn a b >n ∈N )．为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质．在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全面细致．请同学们自己完成本题证明过程．［生］(a m ＋b m )－(a m －n b n ＋a n b m －n )＝(a m －a m －n b n )＋(b m －a n b m －n )＝a m －n (a n －b n )＋b m －n (b n －a n )＝(a m －n －b m －n )(a n －b n )， ∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0， ∴当a ＞b ＞0时，则a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n ，∴(a m －n －b m －n )(a n －b n )＞0，当a ＝b ＞0时，则(a m －n －b m －n )(a n －b n )＝0，当b ＞a ＞0时，则b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n ，∴(a m －n －b m －n )(a n －b n )＞0．综合上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N ＊且m ＞n 时，（a m －n －b m －n ）(a n －b n )≥0，即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式． Ⅱ．讲授新课 重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式． ［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2， ∵a ，b ∈R ，∴当a ＝b 时，a －b ＝0，即a 2＋b 2＝2ab ． 当a ≠b 时，a －b ≠0，∴(a －b )2＞0．即a 2＋b 2＞2ab ．综合上所述，若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． ［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab ．即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a 2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b ．定理 如果a ，b 是正数，那么2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）“为依据完成证明．（把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程）．［生甲］∵a ，b 为正数，∴a ＞0，b ＞0．∴a ＝2，b ＝2，∴2a b+=当a ＝b 时，22-＝0，有2a b+，当a ≠b 即a ≠b 时，2()2a b -＞0，有2a b+＞ab ，综上所述，当a 、b 为正数时，有2a b+≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． ［生乙］∵a ，b 是正数，∴2()a ＋2()b ≥2a ·b ，∴a ＋b ≥2ab ． 显然，当且仅当a ＝b 时，2a b +＝ab ，即2a b+≥ab ． 评述：1．如果把2a b+看作是正数a 、b 的等差中顶，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2．在数学中，我们称2a b+为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数．本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么2a b+≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）”的一种几何解释（如图所示）．以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ．过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝CA ·CB 即CD ＝ab ．这个圆的半径为2a b +，显然，它大于或等于CD ．即2a b+≥ab ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．［例题］已知(a ＋b )(x ＋y )＞2(ay ＋bx )，求证：x y a ba b x y--+--≥2． ［师］本题结论中，注意x y a b --与a bx y--互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数．故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x ya b--与 a bx y--为正数开始证题． （在教师引导，学生积极参与下完成证题过程） ［生］∵（a ＋b ）(x ＋y )＞2(ay ＋bx )， ∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx ， ∴ax －ay ＋by －bx ＞0， ∴(ax －bx )－(ay －by )＞0，∴(a －b )(x －y )＞0， 即a －b 与x －y 同号． ∴x y a b --与a bx y--均为正数， ∴x y a b --＋a b x y --≥2yx ba b a y x --⋅--＝2（当且仅当x y a b --＝a b x y --时取“＝”号）， ∴x y a b--＋a bx y --≥2． ［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了，而运用定理：2a b+a 、b 满足同为正数．本题通过对已知条件变形（恰当地因式分解），从讨论因式乘积的符号来判断x y a b --与a bx y--是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．Ⅲ．课堂练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证： (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ．分析：地于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a>0，b>0）灵活变形，可求得结果：答案：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ac >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ac =8abc (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ．2．已知x 、y 都是正数，求证： （1）yx＋x y ≥2； （2）（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3．分析：对运用理：2a b+a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形．答案：∵x ，y 都是正数，∴x y ＞0，yx ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0． （1）x y ＋yx≥2xyy x ⋅＝2即x y ＋y x ≥2．（2）x ＋y 0，x 2＋y 20．x 3＋y 30，∴（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 38x 3y 3． 即（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3．3．求证：（2a b +）2≤222a b +．分析：利用完全平方公式，结合重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键．答案：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2，不等式两边同除以4，得222a b +≥(2a b +)2，即(2a b +)2≤222a b +．［探究性学习——点击高考］（本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数”这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能．以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能．（注：为节省时间，本部分可借助多媒体讲件完成）题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m 2的厂房（不管墙高），工程造价是：（1）修1m 旧墙费用是造1m 新墙费用的25%；（2）拆去1m 旧墙用所得材料来建1m 新墙的费用是建1m 新墙费用的50%． 问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？ ［师］看上面的问题，同学们如何解决？ （学生探索——讨论——分析——归纳）［生］从题设计条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数（即建立数学模型），然后用二元均值不等式求得最小值．［师］同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？ （问题激励，语言激励，生解答，师欣赏）［生甲］设保留旧墙x (m)，即拆去旧墙14－x (m)修新墙．若设建1m 新墙费用为a 元，则修旧墙的费用为y 1＝25%·ax ＝14ax ，拆旧墙建新墙的费用为y 2＝(14－x )·50%a ＝12a (14－x )；建新墙的费用为：y 3＝(252x＋2x －14)a ．于是，所需要的总费用为y ＝y 1＋y 2＋y 3＝[(74x ＋252x)－7]a ≥［2725247-⋅x x ］a ＝35a ，当且仅当74x ＝252x，即x ＝12时上式中“＝”成立．故保留12m 旧墙时总费用为最低．［师］很好!我们学习公式的目的是应用它能解决问题．本题中我们巧用了“a ＋b（a ＞0，b ＞0）”达到解题目的．请同学们想一想：“a ＋b a ＞0，b ＞0）”还有些什么变形形式呢？［生乙］针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a ＋b (a ＞0，b ＞0)；2a b+（a ＞0，b ＞0）； ab ≤(2a b +)2(a ＞0，b ＞0)；a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；ab ≤222a b +(a ，b ∈R )．(以上公式变形对比记忆，区别异同)．a bb a+≥2（a ＞0，b ＞0）． ［师］棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用．同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？［生（齐）］能，我们自己编！［师］好！我相信同学们一定会做得很出色！［问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、鼓励下帮助个别学生解决问题．经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题（学生的创新思维进一步得到升华）摘录下来供大家在交流中得到解决］［生内］我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案．方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %，(其中p ＞0，q ＞0)；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价2p q +%，第二次提价2p q+%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A 小组同学说明理由．（经全班同学积极探究，A 小组同学信心百倍，做出解答）． ［生（A 小组）］设某种商品提价前的人格为a ，则两次提价后的价格分别为： 方案甲：a (1＋p %)(1＋q %)； 方案乙：a (1＋q %)(1＋p %)；方案丙：a (1＋2p q +%)2． 当p ＝q 时，三种方案提价一样多；当p ≠q 时，由二元均值不等式，得（1＋p %）(1＋q %)＜1＋2p q +%)2． 所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小．［生（B 小组）］我们组编的题目是：某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每m 长造价为40元，两侧墙砌砖，每m 长造价为45元，顶部每m 2造价为20元，试求：（1）仓库底面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 我们B 组同学邀请E 同学回答．［生E ］设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ． 由题意可知：40x ＋2×45y ＋20xy ＝3200， ∴3200＝40x ＋90y ＋20xy ． 应用二元均值不等式，得3200≥24090x y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ． ∴S ＋6S ≤160． 即（S ＋16）（S －10）≤0，∵S ＋16＞0， ∴S －10≤0，从而S≤100． 因而S 的最大允许值是100m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此解得x ＝15，即铁栅的长应是15m ．［师］同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性（积极培养同学们学数学、用数学的思想意识），关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题（这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题）．（同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索） Ⅳ．课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2a b+），几何平均数（ab ）及它们的关系（2a b+≥ab ）．它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222a b +，ab ≤(2a b +)2．Ⅴ．课后作业（一）课本P 11习题6．2 2、3．（二）1．预习内容：课本P 10~11例1，例2． 2．预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式a 2＋b 2≥2ab ；2a b+≥ab (a ＞0，b ＞0)的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式．其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，（1）若xy ＝p 是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，x ＋y 有最小值2P ；（2）若x ＋y ＝S 是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，xy 有最大值14S 2． 板书设计§6．2．1 算术平均数与几何平均数（一）一、重要不等式 课堂练习 课时小结 a 2＋b 2≥2ab 二、定理若a ＞0，b ＞0， 课后作业则2a b+≥ab ［例题］备课资料一、参考例题［例1］若a ≥b ＞0，试比较a 222a b +，2a b +ab ，211a b+，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来．分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明．观察与猜想：令a ＝4，b ＝3，则a ＝4642225074949;222142a b a b ++=====588127ab ==；211a b+＝2245761363367722ab b a b =====+ 当a ＝b 时，上述各式都相等，故有猜想：a 222ab +≥2a b+ab 211a b+≥b ．解：∵a ≥b ＞0．∴（1）a 2a 222a a +222a b +；（2222a a +42222b a +2224a b ab ++2a b +；（3）2a b+ab ； （4）211a b+＝2aba b +，ab2－（2ab a b+）2＝ab －2224()a b a b +＝2222()4()ab a b a b a b +-+＝22()()ab a b a b -+≥0211a b+．（5）2aba b+－b＝22ab ab ba b--+＝()b a ba b-+≥0．即2aba b+＞b．综上所述，a2a b+211a b+≥b．评述：1．对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向．2．对于（4）也可以从基本不等式进行推导：2a b+⇒1a b+⇒2aba b+．这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程．3．本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数a、b的算术平均数（2a b+和211a b+分别叫正数a、b的平方平均数和调和平均数．对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数，即若a＞0，b＞0≥2a b+≥211a b+（当且仅当a＝b时取“＝”号）．［例2］已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：（1）（1111)(1)(1)8a b c---≥；（2）a2＋b2＋c2≥13；（3）22211127a b c++≥；（4）111(1)(1)(1)64a b c+++≥．分析：在不等式证明中，n个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键．证明：（1）∵a＋b＋c＝1且a＞0，b＞0，c＞0，∴1110;a b c b ca a a+++-=-=≥>02111>≥+=-++=-b ac b c a a c b a b ；02111>≥+=-++=-cab c a b c c b a c 三式相乘，得 (1111)(1)(1)8,ab bc aca b c ---≥=即（1111)(1)(1)a b c---≥8．（2）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1，∴1＝（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13． （3）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1， ∴222111a b c++=(a +b +c )2(222111c b a ++)32222313)3(c b a abc ⋅≥=27 ∴222111cb a ++≥27． （4）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1＋111)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a b c a b cabca b c++++++++=+++(2)(2)(3)(28(164.b c a c a b a b c +++=+++≥++=++≥=即111(1)(1)(1)64.a b c+++≥评述：（1）这是一类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键．（2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a ＋b ＋c ，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1的因式（a ＋b ＋c ），以利于进一步整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要．（3）本节定理：“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，可以进一步引申出定理：“n 个（n 是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P 24“阅读材料”）．即一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2且n ∈N )，则有1212nn n a a a a a a n+++≥=时取“＝”号）．显然有：若a ，b ，c为正数，则3a b c a b c ++≥==当且仅当时取“＝”号）． 二、参考练习题 1．选择题（1）“a ＋b ”是“a ＞0，b ＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B（2）设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是（ ） A ．b B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．12答案：A （3）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有 （ ）A ．1≤ab ≤222a b +B ．ab ＜1＜222a b +C ．ab ＜222a b +＜1D ．222a b +＜ab ＜1答案：B（4）已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝4，则下列各式恒成立的是（ ）A ．112ab ≥ B ．111a b +≥CD ．41122≤+b a 答案：B （5）若a ＞b ＞c ，则下面不等式正确的是 （ ）A ．22ab a b a b +<<+ B ．22a b aba b +<<+C ．22ab a b a b +<<+D 22ab a b a b +<<+ 答案：C（6）若a ，b ∈R ，a ≠b ，在下列式子中，恒成立的个数为 （ ） ①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ③a 2＋b 2≥2(a －b －1) ④2a bb a+> A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：D（7）设a ，b ，c 是区间（0，1）内的三个互不相等的实数且p ＝log c2a b+，q ＝log log 1,log 222c c c a b a br ++=，则p ，q ，r 的大小关系是 （ ）A ．p ＞q ＞rB ．p ＜q ＜rC ．r ＜p ＜qD ．p ＜r ＜q 答案：C2．已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：22x y x y+≥- 证明：∵x ＞y ＞0，xy ＝1，∴222)(22)(2)(22=-⋅-≥-+-=-+-=-+2yx y x y x y x y x xy y x y x y x ，即22x y x y+≥- 3．已知a ＞2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)＜1．证明：∵a ＞2，∴log a (a －1)＞0，log a (a ＋1)＞0，log a (a －1)≠log a (a ＋1)， ∴log a (a －1)·log a (a ＋1)＜2log (1)log (1)[]2a a a a -++221[log (1)]2a a =-＜(12log a a 2)2＝1， 即log a (a －1)·log a (a ＋1)＜1．4．已知a ，b ∈R ，证明：log 2(2a ＋2b )2.2a b ++≥ 证明：∵a ，b ∈R ，∴log 2(2a ＋2b )≥log 2＝log(2222)1,22a b a b a b ++++=+= 即log 2(2a ＋2b )≥2.2a b ++ 5．若a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1119.2a b b c c a ++≥+++ 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴2＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )，∴［（a ＋b ）＋(b ＋c )＋(c ＋a )］·（111)a b b c c a +++++331113()()()39,a b b c c a a b b c c a≥+++⨯=+++故29111≥+++++a c c b b a ． 6．已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0，求证：方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2．证明：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0，∴ax 12＋bx 1＋c ＝0，∴a ＋2110,+=b c x x ∴21111()0c b a x x ++=(方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根110),x > ∴x 1＋x 2＝x 1＋112,≥x 故方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2．。
几何不等式初步
几何不等式初步
袁有雯
【期刊名称】《数学学习与研究：八年级人教版》
【年(卷),期】2007(000)008
【摘要】几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式，几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类．下面给出一些基本的几何不等式性质．
【总页数】6页(P31-34,38,39)
【作者】袁有雯
【作者单位】华东师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.几何不等式初步 [J], 袁有雯
2.几何不等式初步 (上) [J], 熊斌
3.几何不等式初步 (下) [J], 熊斌
4.三角形中线与高之间的三个几何不等式 [J], 丁遵标
5.一组几何不等式的解析函数形式 [J], 马磊;宾芮;董旭
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一类几何不等式的推广
Ｉ ≤
即
～ ３ — ４ — 睾 — 二仁． — ≤ ～ ＜．完 ２兀 ‘ ‘ 证 Ⅱ
定理２ 得出的结论与问题 １ 中的结论相比， 形
式变化很大， 因此， 以下再 给出与问题 １ 更类似 的结论． 定理 ３ 对任意 ａ 、ｃ 、ｂ ∈Ｒ＋ 都有 ，
１
４ 第三种推广 ． 问题 １ 提出的是平方关 系， 那么对于 ３ 次方， ４ 次方， ． … 是否也有类似的结论呢？ 引理 １ 设 ａ 、ｂ∈Ｒ＋， ａ ＋ｂ ａ －６ 则 ｎ≥ ｎ １＋
ｎｎ ． ６ 一１
’ ２ ＋） 成． ． （ … 立 完 ａ ａ＜ 一 兰 证 ｌ篇 ＋＋ …
ａ
证： 参看文 ［ 第３５ ３ ６ 页。 】
则 ≤ ＜
－
， 口＿ ６ ｃ ， 当 ＝
３ ≤
＜ １ ，
定理 ５ 设 △ ＪＣ中三边长分别为ａ ｂ ， Ｅ ｝ 、 、Ｃ
不等式是数学研 究的重要 内容， 含有几何元
礼口 ＋ｎ ＋… ＋０） ０ ＋ａ ＋… ＋０） （ ｝ ； ２ ≥（ １ ２ 。 ，
素（ 线段、角、面积等） 的不等式称为几何不等
式． 几何不等式涉及的 内容丰富， 处理 问题的方
毗若等篇
法与技巧灵活多变． …提出下列问题 文
问题 １ 设 ＡＡＢ Ｃ中三边长分别为 ０ ｂ ， 、 、ｃ
０２ ０１＋ ｎ２ ０３＋ … ＋ ｎ２ ｎ ０
＝ｎ（１ ３ ２ ＋ｎ ＋… ＋０） ； ｎ ｎ ＞ｎ，
ｎｎ０ｌ十 ｎｎ０２十 … ＋ ｎｎ０ｎ一１
再 鬈譬蒂＜，证（ ６ 证 ｛ 即 ２＋ ＋ ｎ。 ２
Ｃ）＜（ 口＋ｂ ）， ＋ｃ 即证以 ＋ｂ ＋Ｃ ２＜２ｂ ａ＋
２ｃ ｃ． ｂ ｃ （＋Ｃ ＞ｂ，ｃ ０ ｂ＋２ａ 由ａ ＋ｂ ＝ｂ ａ ） ｂ＋ｃ ＝ ｃ ＋ｎ ＞Ｃ，ｎ ｂ （＋ｂ ＞０ ， （ ） 。 ｃ ＋ａ ＝ａｃ ） ６
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第五讲 几何不等式 例题选讲
A1 P
例1 平面上给定n个点A1、A2、……An。求证： 平面上给定n个点A ……A 求证： 在任意一个半径为1的圆上至少存在一点M 在任意一个半径为1的圆上至少存在一点M，使 MA1＋MA2＋……＋MAn>=n。 ……＋ >=n
A2 Ai An Q 例1 例1
第五讲 几何不等式 例题选讲
例2 设a、b、c是任意三角形的边长，证明： 是任意三角形的边长，证明： a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)。 <2(ab+bc+ca)。源自第五讲 几何不等式 例题选讲
例3 在锐角△ABC中，已知最大高线AH等于 在锐角△ABC中 已知最大高线AH等于 中线BM。证明∠ 中线BM。证明∠B=<600。
第五讲 几何不等式（一） 一、基础知识
思考问题：三角形中有 思考问题： 哪些不等关系？ 哪些不等关系？
第五讲 几何不等式 三角形中的不等式
两点间线段最短，即折线段与线段长的关系。 两点间线段最短，即折线段与线段长的关系。 三角形的边的不等关系。 三角形的边的不等关系。 内折线与外折线不等关系，内折角与外折角的关系。 内折线与外折线不等关系，内折角与外折角的关系。 直角三角形中的边不等关系。 直角三角形中的边不等关系。 三角形中的边角不等关系。 三角形中的边角不等关系。 三角形中边与高的关系。 三角形中边与高的关系。 两个三角形中边与角的关系。 两个三角形中边与角的关系。
第五讲 几何不等式 几个结论
周长为定值的平面闭曲线所围面积最大的曲线一定是圆 周（例3）。 底边和顶角一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大。 底边和顶角一定的所有三角形中，等腰三角形面积最大。 底边和周长一定的所有三角形中，等腰三角形的面积最大。 底边和周长一定的所有三角形中，等腰三角形的面积最大。 内接于定圆的所有多边形中，以正多边形面积最大。 内接于定圆的所有多边形中，以正多边形面积最大。 周长一定的所有多边形中，正多边形面积最大。 周长一定的所有多边形中，正多边形面积最大。 垂足三角形的周长在所有三角形的内接三角形中最短。 垂足三角形的周长在所有三角形的内接三角形中最短。