微分几何第二章曲面论第七节常高斯曲率的曲面

偏微分方程()的通解为：
G A(v) B(v)u 由初始条件：G(0, v) 1,Gu(0, v) 0得：A(v) 1, B(v) 0. 曲面的第一基本形式为
I du2 dv2
(3).负常数高斯曲率的曲面(K 0) 齐次微分方程( )的特征方程为：
r2 K 0 特征根为：r1,2 K 齐次微分方程( )的两个线性无关的特解为：
u
u
E G
v
v
1 G
1 2 G G uu G u2
现设曲面S的高斯曲率K 常数，
则得二阶常系数偏微分方程：
2 G u2
K
G 0
()
根据初始条件：G(0, v) 1,Gu(0, v) 0.
按以下三种情形求出这个偏微分方程的解.
(1).正常数高斯曲率的曲面(K 0)
设 G (u,v)为偏微分方程()的通解，
得一半测地坐标网. 在此半测地坐标网下，
曲面的第一基本形式可简化为
I du2 G(u, v)dv2 其中G(u, v )满足条件
G(0,v) 1,Gu(0,v) 0. 测地线(C ) 此时，曲面的高斯曲率为：
K
1 EG
G E
u
u
E G
v
v
K
1 EG
G E
a2
I du2 cos2( K u)dv2 du2 cos2 u dv2
它 们 等 距 等 价.
a
例2. 由 刚 才 的 讨 论 可 知高，斯 曲 率 恒 等 于 零 的 曲面(可 展 曲 面)
的 第 一 基 本 形 式 与 平 面相 同 ， 可 与 平 面 等 距 等 价.
问题：负常高斯曲率的曲面与什么曲面等距等价呢？
dx dt
0,
从 而
x dx
,
切线与z轴交点Q的坐标为： 0, z
x dz dt
dx
dt
dt
dz 2
又 PQ a， x 2 x 2 dt a 2
dx dt
z
Q
a P(x, z)
o
x
由此解得：dz
a2 x2 dx
x
若令x a sint，则
dz a cos t a cos tdt a 1 sin2 t dt a( 1 sint)dt
e K u和e K u
ch
Ku e
Ku e
Ku
和sh
e Ku e Ku Ku
2
2
也是齐次微分方程( )的两个线性无关的特解.
齐次微分方程( )的通解为：
(u,v0 ) Ach( K u) Bsh( K u) 其中常数A, B依赖于v0，
偏微分方程()的通解为：
G A(v)ch( K u) B(v)sh( K u) 由初始条件：G(0, v) 1,Gu(0, v) 0得：A(v) 1, B(v) 0. 曲面的第一基本形式为
v,
u sin
v,
v}
在对应点有相同的高斯曲率K , K , 但它们不等距等价. 它们的第一基本形式不相同.
但是，如果K (u, v )是常数，情况就不同了.
7.1 常高斯曲率的曲面
由取上曲节面S可:知r：r(u,v)上的一条测地线(C)为v 曲线: u 0, 另取与(C)正交的测地线族为u 曲线,
第二章
曲面论
§7 常高斯曲率的曲面
1.常高斯曲率的曲面；
主要内容 2.伪球面； 3. 罗氏几何.
问题的提出
等距等价的两个曲面在对应点有相同的高斯曲率,
但反之不然. 即两个曲面在对应点有相同的高斯曲率，
但例它如们曲不 面S一:定r等{u距co等sv价,.usinv,ln u}
曲面S
:
r
{u cos
7.2 伪球面
定义 高斯曲率等于负常数的曲面统称为伪球率曲面.
定义 (曳物线) 如 果 曲 线(C )上 任 意 一 点 的 切 线 介 于切 点
和z轴 之 间 的 线 段 始 终 保 持定 长a，称此曲线为曳物线.
z轴 称 为 曳 物 线 的 渐 近 线.(如 图)
z
Q
曳物线方程
aP
设曳物线的参数方程为
x a cos ucos v
y
a
cos
u
sinv
z a sinu
球面的第一基本形式为：I a2du2 a2 cos2 udv2
作 参 数 变 换 ：u au, v av, 则 有 ：I du 2 cos2 u dv 2
而 具 有 正 常 数 高 斯 曲 率1
a 的 曲 面 的 第 一 基 本 形 式为 ：
sin
tan t 2
cos
t
)
o
y
伪球面的第一基本形式和高斯曲率 x
G A(v)cos( K u) B(v)sin( K u)
G A(v)cos( K u) B(v)sin( K u) 由初始条件：G(0, v) 1,Gu(0, v) 0得：A(v) 1, B(v) 0. 曲面的第一基本形式为
I du2 cos2( K u)dv2 (2).高斯曲率K 0
I du2 ch2( K u)dv2 由以上三种情形可以看出： 曲面的第一基本形式由常数K完全决定.于是有： 定理 具有相同常高斯曲率K的曲面总是等距等价的.
注 这种等价也是局部的.
例1.
高
斯
曲
率
恒
等
于1 a2
的
曲
面
可
以
和
半
径
为a的
球
面
等 距 等 价.
事 实 上 ，以原点为圆心，半径为a的球面方程为：
则(u, v0 )(v0为常数)为常微分方程：
d 2w du2 Kw 0
( )
的通解.
齐次微分方程( )的特征方程为：
r2 K 0 特征根为：r K i
齐次微分方程( )的通解为：
(u,v0 ) Acos( K u) Bsin( K u) 其中常数A, B依赖于v0， 偏微分方程()的通解为：
a sint
sint
s in t
z a(lntan t cos t)
2
xoz面上以z轴为渐近线的曳物线方程为：
x z
a sin t a(ln
tan
t 2
cos
t
)
定义 上述曳物线绕z轴旋转所得的旋转曲面称为伪球面.
伪球面的参数方程
z
x a sin t cos
y z
a sin t a(ln
o
x
x x(t)
z
z(t)
P( x, z)是曲线上任意一点，
曲线在该点的切向量为 {dx ，dz }, dt dt
曲 线 在 该 点 的 切 线 方 程为 ：
z
Q
a P(x, z)
o
x
X Z
x z
dx
dt dz
,
dt
切线上点的坐标为(：x
dx
,
z
dz )
dt
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dt
如果该点z在轴上，则x