最短距离问题

最短距离问题

备课说明：

1、本课是在初二下学期，学生学完了轴对称、勾股定理、正方形等章节后的一次小专题训练课。

2、本课通过专项讲解，归纳出方法、规律，消除学生对此类题的陌生感和畏惧感，解决一片问题。

3、教学过程中设置了梯度性的变式训练，并与多个知识点结合训练，从而达到巩固消化的效果。

4、教学手段上利用了多媒体、幽默化比拟、跨学科实验等，确保效率的同时，提升生动性和趣味性。

5、设置了进阶思考题，为优生创设提升空间，为问题的后续延伸埋下伏笔，为加深拓展奠定基础。教学目标：1、理解解决最短距离问题的数学本质。

2、掌握解决最短距离问题的一般思想和方法。

3、培养学生的转化思想和数形结合思想

教学重点：1、让学生掌握程序化、算法化解决此类问题。

2、转化思想的理解和运用。

教学难点：1、理解解决此类问题的数学本质。

2、数形结合思想与构建能力的初步培养。

教学过程：

1、出示一幅“绿地上的小路”上的图片。

为求快捷、高效而“抄近路”是人的天性

2、连动物都掌握的公理：

左图：小狗要吃到骨头要怎样走才最近呢？

——两点之间线段最短

——推论：三角形两边之和大于第三边。

右图：牛想去河边喝水，要怎样走才最近呢？

——连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。（简称：垂线段最短）

3、典型问题：

例：1）如图，A、B是分别在河异侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？

2）如果B村庄改为与A同侧，且与原位置关于河对称，如图，A、B是分别在河同侧的两村庄，现要在河边修建一个水泵站向两村庄送水，水泵站建在何处才能使所用水管最短？

若把B改在关于河的对称位置，却并不改变水管的长度，所以此时水管长度仍然是最短的。

所以若当初题目的已知条件中，若A、B是在河的同侧时，我们可以让这种情况“回”到和它对应的异侧位置，即找到其中一点的对称点即可，由“两点之间，线段最短”可知只需连线，便可以轻易地找到最佳建站点。

解决程序为：

1）找河：找出那条河（直线或称为对称轴）

2）找对称点：两点中选择容易确定对称点的一点，并找到其对称点。

3）连线得交点：连线得到满足最短距离的动点位置。

4、变式：

1）如图，△ABC中，A、B为两定点，C是直线l上的一动点，当C点运动到何处时，△ABC的周长最短。

（让学生说出找到最佳点的程序）（2分钟）

2）如图，E是边长为4正方形ABCD边CD上的一点，且DE等于1，试在AC上确定一点P，使PD+PE的和最小，并求出这个最小值。

（师：两个村庄在哪里？河在哪里？谁是要确定的水泵站？）（4分钟）

3）如图，等腰直角三角形ABC的边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一个动点，则PB+PE的最小值为

（思考同上题，只是多了计算而已，求线段长的最有力武器是？）（5分钟）

4）如图，△ABC中，AB=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点，使得BM+MN的值最小，求这个最小值。

（思考同上题，注意程序化、算法化）

思考题：

5）* 如图，A 、B 是直线a 同侧的两定点，定长线段PQ 在直线a 上平行移动。问PQ 移动到什么位置时，AP+PQ+QB 的长最短。

6） * 求代数式4)4(122+-++x x （0≤x ≤4）的最小值。

小结：

1）证明最短往往用两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边。

2） 需掌握甚至记住程序化解决此类问题的方法。

3） 希望同学们认真去体会其中的解题中包含的转化思想。

作业：

思考题