2018高考——空间向量与立体几何(理科)

第14讲 空间向量与立体几何

知识要点

一．空间向量

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示

（

2）向量具有平移不变性

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

b a AB OA OB +=+=； b a OB OA BA -=-=;

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向

量，a

平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a

＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>

AC AB λ=

<=>OB y OA x OC += (1=+y x 其中） （4）与a 共线的单位向量为a

a ±

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数

,x y 使

p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=

<=>

)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有

序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量

,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意

三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，

使OC z OB y OA x OP ++=

。

6. 空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -

中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，

zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz 中的点设为(0,y,z)

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用

{,,}i j k 表

示。空间中任一向量

k z j y i x a ++==（x,y,z ）

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112

233(,,)a b a b a b a b +=+++，

112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，

112233a b a b a b a b ⋅=++，

112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。

②若

111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则),,(121212z z y y x x AB ---=。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ③定比分点公式：若

111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，PB AP λ=，则点P 坐标为

)1,1,1(

2

12121λ

λλλλλ++++++z z y y x x 。推导：设P （x,y,z ）则

),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然，当P 为AB 中点时，

)2

,2,2(

2

12121z z y y x x P +++ ④),,(),,,(,,,333222111

z y x C z y x B ）z y ，A（x

ABC 中∆，三角形重心P 坐标为

)2

,2,3(

3

21321321z z z y y y x x x P ++++++ ⑤ΔABC 的五心：

内心P

：内切圆的圆心，角平分线的交点：

AP +

=λ（单位向量）

外心P

：外接圆的圆心，中垂线的交点：==

垂心P ：高的交点：PC PB PC PA PB

PA ⋅=⋅=⋅（移项，内积为0，则垂直）

重心P ：中线的交点，三等分点（中位线比）)(3

1

AC AB AP += 中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =

⋅=+21||b b b b =

⋅=+

（5）夹角公式：21cos ||||a b

a b a b a ⋅⋅=

=

⋅+