解三角形(3)---解三角形的进一步讨论

解三角形(3)---解三角形的进一步讨论

思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

【探索研究】

例1、在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况。 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+，从而A

C a c sin sin = 1、当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有解，这时从sin sin b A B a

=

计算B 时，只能取锐角的值，因此有一个解。 2、如果已知的A 是锐角，并且b a >或b a =，这时从这时从sin sin b A B a =计算B 时，也只能取锐角的值，因此都只有一个解。

3、如果已知的A 是锐角，并且b a <，我们可以分下面三种情形来讨论：

（1）若sin a b A >，则有两解，B 取一个锐角的值，一个钝角的值；

（2）若sin a b A =，则只有一解，B 只能取直角；

（3）若sin a b A <，则无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

【随堂练习】

（1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。

（2）在∆ABC 中，若1a =，12

c =，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3）222x <<）

例2．在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

分析：由余弦定理可知

222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形

∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）

解：222753>+ ，即222a b c >+，

∴ABC 是钝角三角形∆．

【随堂练习】

（1）在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断∆ABC 的类型。

（2）已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

（答案：（1）ABC 是钝角三角形∆；（2）∆ABC 是等腰或直角三角形）

例3．在∆ABC 中，060A =，1b =，面积为32，求sin sin sin a b c A B C

++++的值 分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===以及正弦定理sin sin a b A B =sin c C

== sin sin sin a b c A B C

++++ 解：由13sin 22

S bc A ==得2c =， 则2222cos a b c bc A =+-=3，即3a =，从而

sin sin sin a b c A B C ++++2sin a A == 【随堂练习】

（1）在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积2203S =，求角C

（2）在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积2224a b c S +-=

，求角C

（答案：（1）060或0120；（2）045）

【课后作业】

（1）在∆ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情。

（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

（3）在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根，求这个三角形的面积。