几种常见的二次曲面 曲面方程的概念

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柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕
y 轴和
z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1
旋 转
椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2
1
球 面
（3）抛物线

y
2
2 pz绕
z 轴；
x 0
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
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三、柱面
在平面坐标系 x2 y2 1表示中心在原点的单位圆
如图 设 M( x, y, z),
z
d M1(0, y1, z1)
M F( y, z) 0
(1) z z1
（2）点 M 到 z 轴的距离
o
y
x
d x2 y2 | y1 |
将 z z1, y1 x2 y2 代入
F( y1, z1) 0
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将 z z1, y1 x2 y2 代入 F( y1, z1) 0
F x, y2 z2 0.
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例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为

z x2 y 2 cot
y
令a cot ,两边平方 x
得方程 F x2 y2 , z 0,
所以
F( y, z) 0 绕 z 轴旋转曲面方程.
F x2 y2 , z 0,
同理： F( y, z) 0 绕 y 轴旋转曲面方程
F y, x2 z2 0.
类似 曲线 C: F( x, y) 0 绕 x 轴旋转曲面方程.
所求方程为
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为
x2 y2 z2 R2 4
例 2 求与原点 O 及 M0(2,3,4) 的距离之比为1: 2 的点的全体所组成的曲面方程.
解 设 M ( x, y, z) 是曲面上任一点，
F x, y2 z2 0.
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曲线 C: F ( x, y) 0 绕 y 轴旋转曲面方程.
F x2 z2 , y 0,
类似 曲线 C: F ( x, z) 0 绕 z 轴旋转曲面方程.
F x2 y2 , z 0,
曲线 C: F ( x, z) 0 绕 x 轴旋转曲面方程.
第五节 几种常见的二次曲面
一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、二次曲面 五、小结及作业
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一、曲面方程的概念
平面上
y f (x) 表示一条平面曲线
y
y f (x)
空间上
x2 y2 z2 1
o
x
z
表示单位球面方程
y
x
2
曲面方程的定义
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0 有下述关系：
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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问题: 求yoz面上一条曲线C : F ( y, z) 0
绕z轴旋转所成的曲面方程.
[方法]
（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；
（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
那么，方程 F(x, y, z) 0 就叫做曲面 S 的方程，
而曲面 S 就叫做方程的图形．
注:
(1)平面是 0
s•
o
y
(2)任一曲面都可由F( x, y, z) 0表示
问题:
x2 y2 1在空间表示什么图形?
它 可 以 看 成 用 平 行 于z轴 的 直 线
z
沿xoy面上的圆x2 y2 1移动而成
y
x
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定义
平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 LL 叫 柱面的母线.
观察柱面的形 成过程:
解 根据题意有 z 1
z
用平面 z c 去截图形得圆：
( x 1)2 ( y 2)2 1 c (c 1)
当平面 z c 上下移动时， c
得到一系列圆
o
y
圆心在(1,2,c) ，半径为 1 c
x
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底．
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以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为 x 2 2 y 12 z 4 2 116 .
3
3 9
5
例 3 已知 A(1,2,3) ，B(2,1,4) ，求线段AB 的 垂直平分面的方程.
zz22 aa22((xx22yy22))
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例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2
1分别绕
x轴和
z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
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y2
反之不一定, 如x2 y2 z 2 1 0 3
例 1 建立球心在点 M0( x0 , y0 , z0 ) 、半径为
R 的球面方程. 解 设M( x, y, z)是球面上一点,
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R
解 设 M ( x, y, z) 是所求平面上任一点，
根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,
化简得所求方程
2x 6 y 2z 7 0.
6
例4 方程 z ( x 1)2 ( y 2)2 1 的图形是怎样的？