不定积分和微分

f (x)dx F(x) c 或 F ，(x) f (x)

1已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分, 已知 f( (x))dx F(x) c ,求 f(x)

dx

2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理 已知 F

/

(

(x))

f (x )

，求 F (x)

/ 2 2

例 2 ( 1) f (sin x) tan x ，求 f (x)

不定积分和微分

、公式d

dx

-J f (x)dx f (x)和 f /

(x)dx 一 f (x)dx f (x) c 的应用

dx

注意：f(x)的不定积分为F(x) c F(x)是f(x)的原函数 解：令 sin 2x t ，则 cos 21 1 t ， tan 2x

sin 2 x t 2

cos x

f (x)是F (x)的导数,

方法：求导得f( (x)) F /

(x)，令(x) t ，则x

1

(t)，即 f(x)

/ 1

F ( (x))

例 1 ( 1) f (x)dx x 2 c ，求 xf (1 x 2)dx

解：对 f (x)dx

2

x c 求导得f (x)

2x ，f(1

x 2) 2 2x 2

则 xf (1 x 2)dx

2 2

x(2 2x )dx x

2x 2 c

3

(2)

xf (x)dx

arcsinx c ，求 -dx -

f(x)

解：对 xf (x)dx

arcsinx c 两边求导得 xf (x)

，即 f(x)

_1_ X\1 x 2

利用两边求导处理 x 1

① 2 1 x 2d(1 "I

3

X 2)? c

方法：令(x) t ，则 x 1(t)，即 F /(t)

f( /(t))，故 F(x)

f( /(t))dt

即『(t)

—— 两边积分的 f (t) ——dt

1 t

1 t

(2)已知 f /( x) x[ f / (x)

1]，求 f (x)

，求 f(u)

t

当t 0时，fit) e 2

，

两边积分得f(t)

解：令 x t ，则上式为 f /(t) t[ f / ( t) 1]， f /(x) x[f /( x) 1]

由上面两式得f /(x) 两边积分得f (x) 2x

x 2 1 2x x 2

1

2 dx In (x 1) c (3)设 f (u)在

内可导, 且 f(0)

解：令In x t 得x

e t ，则

f /

(t)

1

■..e

t

t

e e t 1

即 f /(t)

当 t 0 时，f /(t)

两边积分得

f(t)

dt

又因为设f (t)在

u

内可导，所以f(t)在

u

内连续

t

而 lim f (t) lim (2e 2

t 0

t 0

C 2)

2 c

2，

Pm f

(t )!叩

c

1

) c 1

因为f (t)在t 0处连续, 则

2 c 2 c 1 0，即 c 1 0, c 2

2

t

t 0

故f (t)

丄

2e 2

2 t 0

In |t 1| c

f /(ln x)

(4)设y

f (x)在x 处的改变量为 y

0), y(0) 1，求 y /(i)

x o( x) ( x

y

解：由 y

y x o( x) 知y /

y 即

dy dx

1 x

1 x y 1 x

两边积分得

dy dx 得 ln y

ln(1 x)

c

y 1 x

而 y(0) 1 故c

0，即 y 1 x

故 y /(1) 1

(5)设 f (x) o ―in ^ dt ，求 o f (x)dx

/

sin x

xsin x ,

解：o f (x)dx xf (x) |0

o xf (x)dx

dx dx

「sin xdx 2

F (x) f(x)

，求被积函数中含有 f ( (x))的 f (x)dx F (x) c

积分

1由f(x) F /(x)求出f(x)，代入积分计算 2、把积分转化为

f( (x))d( (x))的形式，利用 f(x)dx F(x) c 求值

解：因为 f (x) (e x )/

e x ，所以

f (In x)

1、由f (x)求f( (x))，再把f( (x))的表达式代入积分计算

2

x

则 x 2 f (ln x)dx xdx

c

2

、已知F(x)是f (x)的原函数 例3( 1)竺上是f (x)的原函数，a

x 解：因为s ^ 是f (x)的原函数，所以

x

f(ax) axt 1

dx 2

a a

0，求

f(x)dx

f (ax) dx a

sin x c x

sin ax c —

a x

f(t)dt 詈 (2) e x 是 f (x)的原函数，求

x 2 f (ln x)dx

三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有

f( (x))的积分