二重极限与二次极限与一次极限的比较

二重极限与二次极限与一次极限的比较

如果二重极限是,二次极限分别为

,和.其中，

,, a, b是常数。则二重极限

存在，意味着，当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b)时，

f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。

二次极限存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近(X,b)[也就是(x,y)->(x,b)],然后再沿直线y=b逼近(a,b)时[也就是(x,b)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。

换句话说，若二次极限存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。

二次极限存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近(a,Y)[也就是(x,y)->(a,y)],然后再沿直线x=a逼近(a,b)时[也就是(a,y)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。

换句话说，若二次极限存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，

1),若二重极限存在且等于A, 则二次极限

和一定都存在且都等于A.比如，, 而且，显然

和也都存在，且都等于0。

2), 若二次极限或者中至少有1个不存在，则，若二重极限一定不存在。

比如，, 但不存在。则一定不存在。

3), 若二次极限和都存在但不等于，则，若二重极限一定不存在。再如，,

。则一定不存在。

4), 即使二次极限和都存在且等于，也不能保证，二重极限一定存在。

比如，,。但不

存在。因为，如果存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，

)恒等于1/2,不等于0。所以，一定不存在。

其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。

比较一：

二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。

一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。

比较二：

二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一定不存在。

一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。

本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.

首先二重极限显然是存在的,(x,y)--->(0,0)时,该函数是无穷小与有界函数的乘积,结果为0.

但是若先求y的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在,先求x的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的.

比较三：

二元函数：若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存在。

一元函数：若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。

比较四：

二元函数：即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证二重极限一定存在。

一元函数：若1元函数的左右极限都存在且相等，则极限一定存在且等于左右极限。

只有最后一条不同，因为在1维的时候，1维动点的所有可能的逼近路径只有2个，从左边逼近[左极限]和从右边逼近[右极限]。所以只要左右极限都存在且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。

但在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以，在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式（只要判断左右极限）来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。

反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限的这种特点，用来判断二重极限不存在就很方便了。只要找到1条可能的逼近路径，极限不存在，就可以认定二重极限不存在。或者只要找到2条可能的逼近路径，他们的极限不相等，也可以认定二重极限不存在。

最后，以上讨论当 a,b,A中包含有无穷大时，也有类似的结论。