弯曲应力、强度计算参考资料

第六章 弯曲应力和强度一、授课学时:6学时 二、重点与难点:重点:弯曲正应力、剪应力分布,弯曲强度条件应用 难点:弯曲正应力、剪应力推导过程和弯曲中心的概念重点处理:从弯曲变形的特点出发，让学生了解两个应力的分布规律，并对两个应力的分布进行对比，加强学生理解和记忆。

分析弯曲正应力、剪应力公式中各项的意义,计算方法,结合T 型截面梁铸铁梁.这一典型问题分析,并在作业中进一步强化训练.难点处理: 结合梁弯曲变形的特点，推导两个应力公式，在推导中，充分利用前面的知识，发挥学生的主动性，让学生自己选择解决方法，加强学生对内容的掌握。

对照AN =σ,PIT ρτ=的推导消化难点,以学生理解这一推导思路.结合纯弯曲的条件和两个方向平面弯曲理解弯曲中心.三、主要内容:（一） 弯曲正应力 1、 纯弯曲时的正应力图所示简支梁AB ，载荷P 作用在梁的纵向对称面内，梁的弯曲为对称弯曲，其计算简图如图所示。

从AB 梁的剪力图）和弯矩图可以看到，AC 和DB 梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种弯曲称为横力弯曲；而在CD 梁段内，横截面上则只有弯矩而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。

横力弯曲时，0≠=Q dxdM。

可以知道，梁的各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，由于0==Q dxdM，可知梁的各截面上弯矩为一不变的常数值，即M =常量。

因此，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。

下面，首先分析梁在纯弯曲时横截面上的弯曲正应力。

纯弯曲时，根据梁的静力关系知道，横截面上的正应力σ组成的内力系的合力矩即为弯矩M 。

但是，只利用静力关系是不可能找到应力分布规律的，因此，所研究的问题是超静定的。

和拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的剪应力的分析一样，必须综合考虑梁的变形关系、物理关系和静力关系进行分析。

（1） 变形几何关系为了分析梁的关系，变形前先在梁的侧面画上与轴线平行的纵线以及与梁轴垂直的横线，分别表示变形前梁的纵向纤维和梁的横截面（图6-2a ）。

在材料试验机上作纯弯曲实验，可以观察以下现象：（1）梁上的纵线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近梁凹侧一边的纵线缩短，而靠近凸侧一边的纵线伸长。

（2）梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直。

（3）在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。

横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。

这就是弯曲变形的平面假设。

（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。

为进一步研究与正应力有关的梁的纵向纤维的变形规律，如图所示，用横截面1-1和2-2从梁中截取出长为dx 的一个微段，横截面选用如图所示的z y -坐标系。

图中，y 轴为横截面的对称轴，z 轴为中性轴。

从图中可以看到，横截面1-1和2-2间相对转过的角度为θd ，中性层⋂21O O 曲率半径为ρ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）ab 为圆弧曲线。

因此，纵线ab 的伸长为θθρθρθρyd d d y dx d y l =-+=-+=∆)()(而其线应变为ρθρθεy d yd e l ==∆=由于中性层等远的各纵向纤维变形相同，所以，公式线应变ε即为横截面上坐标为y 的所有各点处的纵向纤维的线应变。

（2）物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。

当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为y EE ρεσ==该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上ρE为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。

中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。

（3）静力关系图所示梁的横截面的窨直角坐标系xyz O -中，y 轴为截而后纵向对称轴，Z 轴为截面的中性轴，x 为通过截面上O 点与截面垂直的轴。

横截面上坐标为),(z y 的点的正应力为σ，截面上各点的微内力dA σ组成与横截面垂直的空间平行力系（图中只画出了该平行力系中的一个微内力，C 为横截面的形心）。

这个内力系只可能简化为三个内力分量，即平行于x 轴的轴力N ，对z 轴的力偶矩M 和对轴的力偶矩y M ，分别为dA y M dA z M dAN AA y Aσσσ⎰⎰⎰===梁纯弯曲时，横截布没有轴力，有 0==⎰AdA N σ将物理关系代入上式可得：0==⎰⎰AAydA EydA Eρρ由于弯曲时0≠ρE，必然有0==⎰z AS ydA此式表明，z 轴，即横截面的中性轴一定是形心轴，点O 即为截面的形心（O 点和C 点重合）。

x 轴即为梁的轴线。

从而，完全确定了纯弯曲时中性轴z 在横截面上的位置。

同时，由于对称弯曲时梁的横截面上弯矩0=y M ，可得0==⎰A y dA z M σ由于横截面上的正应力σ只与点的y 坐标成正比而与z 坐标无关，而y 轴又为截面的纵向对称轴，所以，这一关系式是自动满足的。

最后，根据对称弯曲时梁的横截面上弯矩z M M =，将物理关系代入下式M dA y EdA y M AAz ===⎰⎰2ρσ式中积分z AI dA y =⎰2是横截面对中性轴z 的惯性距，上式可表达为EIM=ρ1式中，ρ1是纯弯曲时梁轴线变形后的曲率。

该式表明，z EI 越大，则曲率ρ1越小。

因此，z EI 称为梁的抗弯刚度。

将该式代入式微分关系，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式zy I M =σ即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧为拉压力，凹入的一侧为压应力。

设m ax y 为横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离，则截面上的最大正应力为zI My maxmax =σ 如引入符号m axy I W zz =则截面上最大弯曲正应力可以表达为zW M=max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。

它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]3长度。

矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：621223maxbh h bh y I W zz ===直径为d 的圆截面：3226433maxd d d y I W z z ∏=∏==至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。

若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如T 形截面。

这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。

最大拉应力为：zt I My 1)(=σ 最大压应力为：ze I My 2)(=σ 2、横力弯曲时的正应力弹性理论分析表明，对横力弯曲时的细长梁，即截面高度h 远小于跨度l 的梁，横截面上的下述附加正应力和纵向纤维间的正应力都是非常微小的。

而且，用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，即zI My=σ 来计算细长梁横力弯曲时的正应力，和梁内的真实压力相比，并不会引起很大的误差，能够满足工程问题所要求的精度。

所以，对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。

3、弯曲正应力强度条件梁在弯曲时，横截面上一部分点为拉应力，另一部分点为压应力。

对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面。

因此，弯曲正应力的强度条件为：[]σσ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=maxmaxz W M 对于铸铁等这一类脆性材料，则由于其抗拉和抗压的许用应力不同，工程上常将此种梁的截面做成如T 字形等对中性轴不对称的截面（6-6b ），其最大拉应力和最大压应力的强度条件分别为[]t z tt I My σσ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛=maxmax )(和 []c z cc I My σσ≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛=maxmax )(式中，t y 和c y 分别表示梁上拉应力最大点和压应力最大点的y 坐标。

[]t σ和[]c σ分别为脆性材料的弯曲许用拉应力和许用压应力。

例．图所示外伸梁，用铸铁制成，截面为T 字形。

已知梁的载荷kN P 101=，kN P 42=,铸铁的许用应力[][]MPa MPa c t 100,30==σσ。

截面的尺寸如图所示试校核此梁。

解：①计算梁的支反力并作弯矩图 根据AB 梁的平衡条件，求得支反力为 kN R kN R B A 11,3==作AB 梁的弯矩图如图6-7（b ）所示。

可以看到在梁的C 截面上有最大正弯矩 m kN M C ⋅=3 在B 截面上有梁的最大负弯矩：m kN M B ⋅-=4②确定截面形心位置并计算形心轴惯性矩 T 字形截面尺寸如图6-7（a ）所示，心z y '-为考虑坐标系，确定截面形心的位置。

由AR 1y y 'mm A S y y Z 50201209020802012010902021=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯='==T 形截面对其形心轴z 的轴惯性矩⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+⨯=232330201201212020402090122090z I=461089.7m -⨯③分别校核铸铁梁的拉伸和压缩强度 对等直梁，若材料为塑性材料时梁的截面大多数为具有水平对称轴的截面，梁内的最大拉应力和最大压应力相等，并且都发生在梁的弯矩绝对值最大的截面上。

而脆性材料梁的截面大都制成象T 字形等没有水平对称轴的截面。

这时，梁的最大拉应力（或压应力）不仅取决于弯矩数值的大小，还与弯矩的正负符号（方向）及截面开头有关。

因此，要分别校核危险截面B 和C 上的弯曲正应力。

在B 截面：()[]()[]c z B c t z B t MPa I y M MPa I y M σσσσ<=⨯⨯⨯⨯==<⨯⨯⨯⨯==----1.451098.710901041.251098.710501046331max6332max在C 截面：[]c z C MPa I y M σσ<=⨯⨯⨯⨯==--8.181098.71050103)(6332max[]t z c tt MPa I y M σσ>=⨯⨯⨯⨯==--8.331098.71090103)(6331max 所以，铸铁梁的拉伸强度不满足，即AB 梁是不安全的。

4、提高弯曲强度的措施（1）合理安排梁的支承及载荷 （2）梁的合理截面 （3）等强度梁（二）弯曲剪应力横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪应力。

同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。