2021年辅助角公式专题训练
辅助角公式专题训练
欧阳光明（2021.03.07）
教学目标
1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式
2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 教学重点与难点辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入
（1）两角和与差的正弦公式
()sin αβ+=_______________________；()sin αβ-=________________________.
（2）利用公式展开sin 4πα?
?
+ ???=___________________；反之，
αα=____________.
尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式
（11
cos 2
αα+ （2）sin αα 二、辅助角公式的推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？
其中辅助角β
由cos sin ββ?
=?
?
??=
??
确定，即辅助角β（通常πβ20<≤）的终边
经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角. 三、例题反馈
例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.
（1
1
cos 2
αα-（2）ααcos sin +
（3
αα（4）ααcos 4sin 3-
例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3
）cos αα-
例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360
x ≤<，求角x 的值.
例42)cos()12
12
3
x x π
π
+
++
=
，且 02x π
-<<，求sin cos x x -的值. 四、小结思考
（1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定?
（2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有
余弦的一个三角比的形式？
五、作业布置 1. 3cos 66ππαα???
?+-+ ? ????
?化为)sin(βα+A ()0A >的形式
=________________.
2. 关于x 的方程1
2sin x x k
=
有解，求实数k 的取值范围
.
3. 已知46
sin 4m x x m
-=
-，求实数m 的取值范围.
4. 利用辅助角公式化简：()
sin 801cos50?
??
5.已知函数1()cos 44f x x x =
-.（1）若5cos 13x =-，,2x ππ??
∈????
，求()f x
的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值.
6.已知函数21
1()sin 2sin cos cos sin()2
2
2
f x x x π
???=+-+(0)?π<<，其图像
过点1
(,)62
π
（1）求的?值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到
函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π??
????
上的最值.
7.已知函数()2cos sin()3
2
f x x x π
=+-
.（1）求函数()f x 的最小正周期及
取得最大值时x 的取值集合；（2）求函数()f x 图像的对称轴方程.
8.已知函数2()2cos sin cos 2
f x a x b x x =+-
，且(0)f =
，1
()4
2
f π
=.（1）
求函数()f x 的单调递减区间；（2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？ 9.设函数22()cos()2cos ,32
x
f x x x R π=+
+∈.（1）求()f x 的值域；
（2）求函数()f x 图像的对称中心坐标.
10. 已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+.（1）求函数()f x 的最
小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间,122ππ??
-????
上的
值域.
11.已知函数1
1()cos()cos(),()sin 23
3
24
f x x x
g x x ππ
=+-=-.（1）求()f x 的最
小正周期；（2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合.
12.设函数2()sin()cos 14
6
8
f x x x πππ
=--+，若函数()y g x =与()y f x =的图
像关于直线x=1对称，求当40,3x ??∈????
时，函数()y g x =的最大值.
13.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-.（1）求()3
f π
的值；（2）求函
数()f x 的最值.
14.已知向量(sin ,cos )m A A =，(3,1)n =-，1m n =，且A 为锐角. （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域.
辅助角公式专题练习
辅助角公式专题练习 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx =++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数 问题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin cos 22 αα+ ； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x + 2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3. 若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2
4.（2009安徽卷理）已知函数 ()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212 k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212 k k k Z ππππ++∈C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ?? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。 6.（2006年天津）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（ a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在 4 π = x 处取得最小值，则函数)4 3( x f y -=π 是 （ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 9. 若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 11.已知向量(cos(),1)3a x π=+,1 (cos(),)32 b x π=+-, (sin(),0)3 c x π =+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =）
(完整word版)辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学 生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+ 6π）=2cos （α-3 π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?= b a )
《辅助角公式》专题(更新版)
《辅助角公式》专题 2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 我们知道sin( )6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+= 1 cos 22 x x - cos x x cos x x + sin π12－3cos π12 cos )x x - x x sin15cos15o o + 【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】
问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2x x ? ?+?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋b 2， 其中φ (a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2 . (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝ ； (3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________； (5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】 【求周期】 1.求函数x x y 4sin 4cos 3+= 的最小正周期。
辅助角公式专题训练
辅助角公式专题训练 Revised by Petrel at 2021
辅 助角公式专题训练 教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 教学重点与难点辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入 （1）两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_______________________；()sin αβ-=________________________. （2）利用公式展开sin 4πα??+ ???=___________________ αα=____________. 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+（2 ）sin αα 二、辅助角公式的推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ，我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角. 三、例题反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （1 1cos 2 αα-（2）ααcos sin + （3 αα（4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα-（2）ααsin cos -
（3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值. 例42)cos()12123 x x π π +++=，且02x π-<<，求sin cos x x -的值. 四、小结思考（1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定 （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的 形式？ 五、作业布置 1.3cos 66ππαα????+-+ ? ????? 化为)sin(βα+A ()0A >的形式=________________. 2.关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围. 3.已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围. 4.利用辅助角公式化简：() sin 801cos50? ?? 5.已知函数1()cos 4f x x x =-.（1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值；（2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值. 6.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62 π （1）求的?值；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到 函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4π?????? 上的最值. 7.已知函数()2cos sin()3f x x x π=+-.（1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合；（2）求函数()f x 图像的对称轴方程.
辅助角公式的推导讲解学习
辅助角公式的推导
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+的推导 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角的 一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生 记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3 π ）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ是否可以化为一个角的三角函数形式呢 2.辅助角公式的推导 例2化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解:asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?=b a )
(完整版)辅助角公式专题训练
辅 助 角 公 式 专 项 训 练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数1()sin cos 44f x x x = -。 （1）若5cos 13x =-，,2x ππ??∈???? ，求()f x 的值； （2）将函数()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m π<<，求m 的值。 2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222 f x x x π???=+-+(0)?π<<，其图像过点1(,)62π。 (1)求的?值； (2)将()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0, 4π??????上的最值。 3.已知函数()2cos sin()32 f x x x π =+-。 （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。 4.已知函数2()2cos sin cos f x a x b x x =+，且(0)f =，1()42 f π=。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
5.设22()cos()2cos ,32 x f x x x R π=++∈。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ =-+-+。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122ππ??- ????上的值域。 7.已知函数11()cos()cos(),()sin 23324 f x x x g x x ππ=+-=-。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x =-的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2()sin()cos 1468f x x x πππ =--+，若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线x=1对称，求当40,3 x ??∈????时，()y g x =的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-。 （1）求()3 f π 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A =r ，1)n =-r ，1m n =r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos 24cos sin ()f x x x A x R =+∈的值域。
辅助角公式专题练习
精品文档 辅助角公式专题训练 一．知识点回顾 sin cos ) ) a x b x x x x ?+=+ =+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ?? = ?? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1）1sin 2αα+； （2cos αα+； （3）sin cos αα- （4sin()cos()6363 ππ αα-+-． 2、 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 3、已知函数()2cos .f x x x =-[0,],()x f x π∈求的值域
精品文档 4、函数2cos(2), [,]664y x x πππ =+∈-的值域 5、求5sin 12cos αα+ 的最值 6．求函数y ＝cos x ＋cos ? ???? x ＋π3的最大值 7.已知函数()cos (0)f x x x ωωω= +>，()y f x =的图像与直线2y =的 两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 （过程 ( ) A.5[,],12 12k k k Z π π ππ-+ ∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.[,],3 6 k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],6 3 k k k Z ππππ++∈ （果 过程
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参考答案 1.（6） sin cos ) ) a x b x x x x ?+==+ 其中辅助角?由cos sin ??? =? ? ??= ? ? 确定，即辅助角?的终边经过点(,)a b 2.[答案] C [解析] y ＝2sin ????π3－x －cos ??? ?π 6＋x ＝2cos ????π6＋x －cos ??? ?π 6＋x ＝cos ??? ?x ＋π 6(x ∈R )． ∵x ∈R ，∴x ＋π 6∈R ，∴y min ＝－1. 3.答案：B 解析 因为()(1)cos f x x x ==cos x x +=2cos()3 x π - 当3 x π = 是，函数取得最大值为2. 故选B
必修4之《辅助角公式》
高一数学期末复习————必修4之《辅助角公式》 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问 题，最终化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 2αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数 y ＝2sin ? ???? π 3－x －cos ? ?? ?? π 6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =，02 x π ≤<，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ????x ＋π3的最大值是________． 7.已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1 (cos(),)32 b x π=+-r , (sin(),0)3 c x π =+r ,求函数()h x =2a b b c ?-?+r r r r 的最大值及相应的x 的值. （本题中可以选用的公式有21cos 21 cos ,sin cos sin 222 a αααα+= =）
辅助角公式 教案
辅助角公式2010-4-7 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)x x +++ 0360x ≤< ，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思
(完整版)辅助角公式专题训练
辅助角公式专项训练（主观题安徽2012高考数学） 1.已知函数3 1 ()sin cos 44f x x x 。 （1）若5 cos 13x ，,2x ，求()f x 的值； （2）将函数 ()f x 的图像向右平移m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若0m ， 求m 的值。2.已知函数211()sin 2sin cos cos sin()222f x x x (0)，其图像过点1(,)62 。(1)求的 值；(2)将()y f x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不变，得到函数()y g x 的 图像，求函数()y g x 在区间0,4上的最值。 3.已知函数3 ()2cos sin()32f x x x 。 （1）求函数 ()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合； （2）求函数()f x 图像的对称轴方程。4.已知函数23 ()2cos sin cos 2f x a x b x x ，且3 (0)2f ，1 ()42f 。 （1）求()f x 的单调递减区间； （2）函数()f x 的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数？
5.设22 ()cos()2cos ,32x f x x x R 。 （1）求()f x 的值域；（2）求()f x 的对称中心。 6.已知()cos(2)2sin()sin()344f x x x x 。 （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间,122上的值域。 7.已知函数1 1 ()cos()cos(),()sin 23324f x x x g x x 。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()()()h x f x g x 的最大值，并求使()h x 取得最大值的x 的集合。 8.设2 ()sin()cos 1468f x x x ，若函数()y g x 与()y f x 的图像关于直线 x=1对称，求当4 0,3x 时，()y g x 的最大值。 9.已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x 。 （1）求()3f 的值；（2）求()f x 的最值。 10.已知向量(sin ,cos )m A A r ，(3,1)n r ，1m n r r g ，且A 为锐角。 （1）求角A 的大小；（2）求函数()cos24cos sin ()f x x x A x R 的值域。
辅助角公式专题练习
辅助角公式专题训练2013.3 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终 化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 22 αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ） sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x +
2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=- π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ? ? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。
辅助角公式专题训练 (2)
辅助角公式专题训练 教学目标 1、会将ααcos sin b a +(a 、b 不全为零)化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角与使用辅助角公式 教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 教学过程 一、复习引入 (1)两角与与差的正弦公式 ()sin αβ+=_______________________; ()sin αβ-=________________________、 (2)利用公式展开sin 4πα??+ ???=___________________; 反之 αα=____________、 尝试:将以下各式化为只含有正弦的形式,即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 1cos 2 αα+ (2)sin αα 二、辅助角公式的推导 对于一般形式ααcos sin b a +(a 、b 不全为零),如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ )sin()cos sin (cos sin 2 2222222βααααα++=++++=+b a b a b b a a b a b a 其中辅助角β 由cos sin ββ??????? ,即辅助角β(通常πβ20<≤)的终边经过点(,)a b ,我们称上述公式为辅助角公式,其中角β为辅助角、 三、例题反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式、 1cos 2 αα- (2)ααcos sin + αα (4)ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A (),[,0ππβ-∈>A )的形式、 (1)sin cos αα- (2)ααsin cos - (3)cos αα- 例3 、若sin(50)cos(20)x x +++o o 且0360x ≤ 化一公式（第一课时） 一、教材分析 化一公式在必修 4 的教材中并没有出现专门的一节进行讲解，是因为化一公式的本质其实就是两角和的正弦公式的逆应用。二、教学重点 对特殊角的化一公式的应用，两角和正弦的逆应用。知道要从系数中提出 a 2b2 . 三、教学难点 对a2b2的探究，理解为什么要提这个出来。 四、教学过程 （一）、知识回顾引入 前面我们学习了两角和的正弦公式，大家回顾一下应该等于： sin() sin cos sin cos 那我们看一下 sin=sin cos cos sin 3 cos 1 sin 33322 则那么请同学看下面两个题应该等于多少 例一：化简下面式子 （ 1）2 sin 2 cos 22 （ 2）1 sin 3 cos 22 解释：第一个式子中的2 可以看成 sin, cos, 变式后利用两角和正弦的逆应244 用课进行化简。第二个式子中的 1 和3 可以看成 cos , sin。 2233（二）、新授知识 那么现在我们来看下一个题： 例二：化简下面式子 （ 1） 2 sin 2 cos （ 2）sin 3 cos （提示学生和例一的关系，让学生自己转化到例一去） 解答：（1）22 sin 2 cos2sin 224 （2） 2 1 sin 3 cos2sin 3 22 为什么要提 2 出来呢？ 因为提出来后可以在里面创造出特殊角的三角函数，是我们想要的 那么刚才的这些题我们都比较容易看出他们和特殊角之间的关系，那么如果遇到较为复杂的系数我们该提多少出来呢？例三：化简下面式子 a sin x b cosx （让学生思考并讨论） 学生讨论后指出这里应该提出 a 2b2，因为里面剩下的a,b刚好 a 2b2a2b2 可以构一个角的正弦与余弦。 所以 a sin x b cosx a2b2sin(x) ，我们把这种把两三角函数变为一个三角 函数的公式称为化一公式。 由此我们就可以处理任何类似的式子了 例三：化简下面式子 3 15 sin x 3 5 cos x 解答：先观察，把315 与3 5 的公因式 35先提出来，变为 3 sin x cos x ，再利用公式，提出32 2 ，可以变为 653sin x1cos x65 sin x 12 226练习：化简下面式子： （ 1）3 cos x 3 sin x（2） 3 sin x cos x（ 3） 2 sin x 6 cos x 2244 （让学生上来做并讲解） （三）总结 同学们你们来说说这节课你收获到了什么？ 1，化一公式 2 ，逆向思维3，化归的思想（四）作业 练习册 ：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例 知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ； 2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ； 3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。 如T(α±β)可变形为: tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测： 1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( ) 711 A 、 711 B 、- 713 C 、 7 13D 、- 2、已知cos ????α－π6＋ sin α＝4 5 3，则 sin ????α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.4 5 3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5 13 ，则cos C 的值是( ) A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0 B ．±3 C ．0或 3 D ．0或 ±3 5 、三角式2cos55°－3sin5° cos5° 值为( ) A.3 2 B.3 C ．2 D ．1 题型训练 题型1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]???+. 变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20 ?? ? - 题型2给值求值 三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如()()ααββαββ=+-=-+，2()() ααβαβ=++-， 2()() αβαβα=+--， 22 αβαβ++=? ，()( ) 222αββ ααβ+=--- 例2 设cos ????α－β2＝－19 ，sin ????α2－β＝2 3，其中α∈????π2，π，β∈????0，π2，求cos(α＋β)． 变式2：π3π33π5 0π,cos(),sin(),4445413 βααβ<< <<-=+=已知求sin(α+β)的值. 题型3给值求角 已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。 例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12， tan β＝－1 7 ，求2α－β的值． 变式3：已知tan α= 17，tan β= 1 3 ，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值. 题型4辅助角公式的应用 ()sin cos a x b x x θ+=+ (其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由 tan b a θ= 确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 例4求函数2 5f (x )sin x cos x x =- x R )∈的单调递增区间？ 变式4（1）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= ； （2）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用 二倍角公式的升幂降幂 辅助角公式专项训练(主观题安徽 2012高考数学) 1 ⑵ 将函数f (x)的图像向右平移 m 个单位，使平移后的图像关于原点对称，若 0 m 求m 的值。 1 (,)。 6 2 (1)求的值; 1 ，纵坐标不变，得到函数y g(x)的 2 图像，求函数y g(x)在区间0,— 上的最值。 4 3.已知函数f (x) 2cos xsin(x —) (1)求函数f (x)的最小正周期及取得最大值时 x 的取值集合; (2)求函数f (x)图像的对称轴方程。 1.已知函数f(x) in x 4 COSX 。(1)右 COSX 4 13 ，求f (x)的值; 2.已知函数 f(x) 珈2xsin cos 2xcos ^si n (- )(0 2 2 )，其图像过点 ⑵ 将y f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的 2 (1 )求f(x)的单调递减区间； (2)函数f(X )的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数? (1 )求f (x)的值域；(2)求f (x)的对称中心。 (1)求函数f (x)的最小正周期和图像的对称轴方程; (2)求函数f (x)在区间 一，一上的值域。 12 2 4.已知函数 f (X ) 2a cos 2 x bsin xcosx 弓，且f(0) 5.设 f (x) cos(x 2r ) 2cos 2 -, x 2 6.已知f(x) COs(2x 3) 2sin(x 4)sin(x 3 7.已知函数 f (x) cos(§ x)cos(§ x),g(x) (1) 求 f (x)的最小正周期; f (x) g (x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的x 的集合。 4 对称，求当x 0,-时，y g(x)的最大值。 3 2 9.已知函数 f (x) 2cos 2x sin x 4cos x 。 (1 )求f(—)的值；(2)求f (x)的最值。 3 10.已知向量 mn (si nA cos A)，n (、、3, 1)，rrnign 1，且 A 为锐角。 (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x) cos2x 4cos xsin A(x R)的值域。 1sin2x 1。 2 4 (2)求函数h(x) 8.设 f (x) 2 sin(—x ) cos x 1，若函数 y 4 6 8 g(x)与 y f (x)的图像关于直线x=1 辅助角公式 一、教学目标 1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式 2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式 二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取 三、教学过程 1、复习?引入 两角和与差的正弦公式 ()sin αβ+=_________________________________ ()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα??+ ??? =_____________________ 反之, αα 化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式 （1 1cos 2 αα+ （2 ）sin αα 2、辅助角公式?推导 对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？ sin cos )) a b αααααβ+==+ 其中辅助角β 由cos sin ββ?=????=?? β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b ------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。 3、例题?反馈 例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （11cos 2αα- （2）ααcos sin + （3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。 例42)cos()12123x x ππ+ ++=，且 02 x π-<<，求sin cos x x -的值。 4、小结?思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定? （2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的 一个三角比的形式？ 5、作业布置 (1)3cos 66ππαα????+-+ ? ????? =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x 的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。 (3)、已知46sin 4m x x m -=-，求实数m 的取值范围。 (4)、利用辅助角公式化简： ()sin801cos50??? 四、教学反思 辅助角公式专题训练2015-3-23. 袁毅 一．知识点回顾 对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx+bcosx = ++++a b x a a b x b a b 222 2 2 2 (sin cos )· · 。记 a a b 2 2 +=cos θ， b a b 22 +=sin θ，则cos cos sin ))y x x x θθθ=+=+ 由此我们得到结论：asinx+bcosx=a b x 22++sin()θ，（* cos ,θ= sin θ=来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终 化为y=Asin(?+ωx )+k 的形式。 二．训练 1.化下列代数式为一个角的三角函数 （1 ）1sin 2αα+； （2 cos αα+； （3）sin cos αα- （4 ）sin()cos()6363 ππ αα-+-． （5）5sin 12cos αα+ （6）sin cos a x b x + 2．函数y ＝2sin ? ????π3－x －cos ? ?? ??π6＋x (x ∈R)的最小值等于 ( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5 3.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 ( ) A ．1 B ．2 C 1 D 2 4.（2009安徽卷理）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是( )A.5[,],1212k k k Z ππππ-+∈ B.511[,],1212k k k Z ππππ++∈C.[,],36k k k Z ππππ-+∈ D.2[,],63k k k Z ππππ++∈ 5. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=- π 8 对称，那么a= ( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1 6．函数y ＝cos x ＋cos ? ? ? ?? x ＋ π3的最大值是________． 7.2)cos()12 12 3x x π π + ++ = ，且 02 x π -<<，求sin cos x x -的值。 8.求函数f x k x k x x ()cos( )cos()sin()=+++--++61326132233 2πππ (,)x R k Z ∈∈的值域。化一公式,辅助角公式学习教案.docx
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