指数及指数函数 导学案

指数及指数函数知识梳理： 一）、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．有理指数幂的含义及其运算性质： ①rsr sa a a +⋅=；②()r s rsa a =；③()(0,0,,)rr rab a b a b r s Q =>>∈。

④∈=-p aap p (1Q ） ⑤m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．◆指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；基础检测：1、下列各式成立的是( )ABCD2、已知函数f （x ）=a x（a ＞0，a ≠1）在[1，2]上的最大值和最小值的和为6，则a=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53、若指数函数f （x ）=（3m ﹣1）x在R 上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞0且m ≠1 B ．m ≠ C ．m ＞且m ≠ D ．＜m ＜ 4、函数1()2,(0x f x a x a -=+->且1)a ≠的图象必经过定点（ ） A ．(1,2)- B ．()1,1- C ．()0,1- D ．()0,1 5、若 1.50.90.4814,8,2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则 （ ）A. c a b >>B. b a c >>C. a b c >>D. ac b >>6、已知a =， 0.32b =， 0.20.3c =，则,,a b c 三者的大小关系是（ ） A. b c a >> B. b a c >> C. a b c >> D. c b a >>7、若不等式2223122x axx a -+⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1B. 3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭8、函数()122x xf x =-的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =轴对称 9、函数的图象大致形状是（）A.B. C.D.10、定义： a bad bc c d =-，如121423234=⨯-⨯=-，当x R ∈时，312xe k ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）．A. (],3-∞-B. (),3-∞-C. ()3,-+∞D. [)3,-∞11、函数2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是 ( )A 、RB 、(0，＋∞)C 、(2，＋∞)D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，2112、若函数()221x x f x a -+=在()1,3上是减函数，则关于x 的不等式1x a >的解集为（ ）A. {}1x x B. {|1}x x < C. {}0x x D. {|0}x x <典例导悟： 13、化简（1）)0,0)(31()3)((656131212132>>÷-b a b a b a b a（2）()04130.753350.064[(2)]169---⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭；14、已知函数()()10x f x a x -=≥.其中0a >且1a ≠. （1）若0x ≥的图像经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求a 的值； （2）求函数()()0y f x x =≥的值域.15、已知定义在R 上的函数xx x f 212)(-=.（1）若f (x )=23，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+⋅t mf t f t对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围.16、已知函数34231)(+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x ax x f .（1）若1-=a ，求)(x f 的单调区间； （2）若)(x f 有最大值3，求a 的值.17、已知定义域为R 的函数122()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求b a ,的值；（2）关于x 的不等式f(x)2102t t -+<，对任意x R ∈恒成立，求t 取值范围1、【答案】D2、【答案】A 【解析】解：根据指数函数的性质：当x=1时，f （x ）取得最大值，那么x=2取得最小值，或者x=1时，f （x ）取得最小值，那么x=2取得最大值．∴a+a 2=6． ∵a ＞0，a ≠1，∴a=2．3、【答案】D 【解析】解：∵指数函数f （x ）=（3m ﹣1）x 是R 上的减函数， ∴0＜3m ﹣1＜1，解得：＜m ＜．4、【答案】D5、【答案】D 【解析】0.9 1.80.48 1.44 1.542,82,2a b c =====所以a c b >>6、【答案】A 【解析】由指数函数的单调性可知0.3x y =是单调递减的所以0.50.20.30.3<即1a c <<； 2x y =是单调增的，所以0.30221y =>=，故选A.7、【答案】B 【解析】不等式2223122x axx a -+⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立等价于22230x ax x a -++>恒成立，即()222340a a -->，解得： 34a >，故选B. 8、【答案】A 【解析】()()22x x f x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，选A. 9、【答案】B 【解析】因为，所以，即，且当时，函数的单调递减函数；当时，函数的单调递增函数，应选答案B 。

10、【答案】A 【解析】由题意32312x x e e =-，则233x e ->-，因此23x e k -≥恒成立．则有3k ≤-．故选A ． 11、【答案】D12、【答案】D 【解析】因为()221xx f x a -+=在()1,3上是减函数，且221t x x =-+在()1,3上是增函数，所以函数y a =在(),-∞+∞上是减函数，所以01a <<.由1x a >得0x < 13、（1）a 9- (2)2716三、解答题14、【答案】（1）12a =；（2）())1,f x a -⎡∈+∞⎣.【解析】（1）函数图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，2112a -=，则12a =；（2）()()10x f x a x -=≥， 由0x ≥得11x -≥-，当01a <<时，11x a a --≤，所以()(10,f x a -⎤∈⎦，当1a >时，11x aa --≥，所以())1,f x a -⎡∈+∞⎣．15、【解析】（1）由条件可知122x x-=23， 解得2x =2或2x=-12（舍去）， ∴x =1 （2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t t tt tm -+-≥, 即24(21)(21)t t m -≥--， 2210t ->∵，2(21)t m ≥-+∴ [1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴，故m 的取值范围是[5,)-+∞16、【解析】（1）当1-=a 时，2431()3x x f x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则u ＝－x 2－4x ＋3＝－（x ＋2）2＋7，在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，而y ＝13u⎛⎫⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以f （x ）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f （x ）的递增区间是（－2，＋∞），递减区间是（－∞，－2）. （2）令h （x ）＝ax 2－4x ＋3，y ＝()13h x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于)(x f 有最大值3，所以h （x ）应有最小值－1，因此必有0121614a a a>⎧⎪-⎨=-⎪⎩解得a ＝1，即当f （x ）有最大值3时，a 的值等于1.17、【解析】 (1)因为)(x f 是奇函数，所以0)0(=f 即，解得12b =，所以a x f x x ++-=+1212)(，又由)1()1(f f -=-知，aa ++--=++-1121412解得2=a ．(2),121212212)(1++-=++-=+x x x x f 因为,02>x 所以.2112121,1121,112<++-⇒<+⇒>+x x x即,21)(<x f 从而,21212≥-t t 解之.121≥-≤t t 或。